Properties of ITF Questions in Gujarati

(C) આપણી પાસે છે, $\sum_{n=1}^k \tan ^{-1}\left(\frac{1}{n^2+3 n+3}\right) = \tan ^{-1} \alpha$.
નિત્યસમ $\tan ^{-1} x - \tan ^{-1} y = \tan ^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણે સરવાળાની અંદરના પદને ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
$\frac{1}{n^2+3n+3} = \frac{(n+2)-(n+1)}{1+(n+2)(n+1)}$.
આમ, સરવાળો આ મુજબ બને છે:
$\sum_{n=1}^k (\tan ^{-1}(n+2) - \tan ^{-1}(n+1)) = \tan ^{-1} \alpha$.
સરવાળાને વિસ્તૃત કરતા:
$(\tan ^{-1} 3 - \tan ^{-1} 2) + (\tan ^{-1} 4 - \tan ^{-1} 3) + \dots + (\tan ^{-1}(k+2) - \tan ^{-1}(k+1)) = \tan ^{-1} \alpha$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે, તેથી બધા મધ્યવર્તી પદો રદ થઈ જાય છે:
$\tan ^{-1}(k+2) - \tan ^{-1} 2 = \tan ^{-1} \alpha$.
ફરીથી સૂત્ર લાગુ કરતા:
$\tan ^{-1}\left(\frac{(k+2)-2}{1+(k+2)(2)}\right) = \tan ^{-1} \alpha$.
$\tan ^{-1}\left(\frac{k}{1+2k+4}\right) = \tan ^{-1} \alpha$.
તેથી, $\alpha = \frac{k}{2k+5}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $2 \tan^{-1} 2x = \sin^{-1} \left( \frac{4x}{1+4x^2} \right)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ $\sin^{-1} \left( \frac{2\theta}{1+\theta^2} \right) = 2 \tan^{-1} \theta$, જે $-1 \leq \theta \leq 1$ માટે સાચું છે.
અહીં, $\theta = 2x$ લેતા, સમીકરણ $2 \tan^{-1} 2x = \sin^{-1} \left( \frac{2(2x)}{1+(2x)^2} \right)$ બને છે.
આ નિત્યસમ ત્યારે જ માન્ય છે જો $-1 \leq 2x \leq 1$ હોય.
$2$ વડે ભાગતા, આપણને $-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ, $x$ ના મૂલ્યો $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ અંતરાલમાં આવેલા છે.

(D) આપેલ છે, $y=\tan ^{-1}\left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{4 x-4 x^3}{1-6 x^2+x^4}\right)$.
$x=\tan \theta$ લેતા, તેથી $\theta = \tan^{-1} x$.
આ પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$y = \tan^{-1}(\tan 3\theta) + \tan^{-1}(\tan 4\theta)$.
આનું સાદું રૂપ $y = 3\theta + 4\theta = 7\theta$ થાય છે.
કિંમત પાછી મૂકતા, $y = 7 \tan^{-1} x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x} = 7 \times \frac{1}{1+x^2} = \frac{7}{1+x^2}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} x$ નો વિસ્તાર $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ છે.
$\sin ^{-1} x = 2 \sin ^{-1} 2a$ હોવાથી, $2 \sin ^{-1} 2a$ ની કિંમત $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ અંતરાલમાં હોવી જોઈએ.
$\Rightarrow -\frac{\pi}{2} \leq 2 \sin ^{-1} 2a \leq \frac{\pi}{2}$
$\Rightarrow -\frac{\pi}{4} \leq \sin ^{-1} 2a \leq \frac{\pi}{4}$
બધી બાજુ સાઈન લેતા:
$\sin(-\frac{\pi}{4}) \leq 2a \leq \sin(\frac{\pi}{4})$
$\Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{2}} \leq 2a \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$
$2$ વડે ભાગતા:
$-\frac{1}{2\sqrt{2}} \leq a \leq \frac{1}{2\sqrt{2}}$
જે $|a| \leq \frac{1}{2\sqrt{2}}$ ને સમાન છે.

(B) શ્રેણીનું $n$ મું પદ $t_{n} = \cot^{-1}(2n^2)$ છે.
$\cot^{-1} x = \tan^{-1} \frac{1}{x}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા, $t_{n} = \tan^{-1} \frac{1}{2n^2}$ મળે.
આને $t_{n} = \tan^{-1} \frac{2}{4n^2} = \tan^{-1} \frac{(2n+1) - (2n-1)}{1 + (2n+1)(2n-1)}$ તરીકે લખી શકાય.
$\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $t_{n} = \tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1}(2n-1)$ મળે.
સરવાળો $S_{n} = \sum_{k=1}^{n} t_{k} = (\tan^{-1} 3 - \tan^{-1} 1) + (\tan^{-1} 5 - \tan^{-1} 3) + \dots + (\tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1}(2n-1))$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે, તેથી $S_{n} = \tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1} 1$.
$n \rightarrow \infty$ લેતા, $\lim_{n \rightarrow \infty} S_{n} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} \theta$ નો વિસ્તાર $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ છે.
આપેલ છે કે $\sin ^{-1} x+\sin ^{-1} y+\sin ^{-1} z=\frac{3 \pi}{2}$.
દરેક પદ $\sin ^{-1} x, \sin ^{-1} y, \sin ^{-1} z$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{\pi}{2}$ હોવાથી, સરવાળો $\frac{3 \pi}{2}$ ત્યારે જ શક્ય છે જો $\sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$, $\sin ^{-1} y = \frac{\pi}{2}$, અને $\sin ^{-1} z = \frac{\pi}{2}$ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે $x = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, $y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, અને $z = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$x^{9}+y^{9}+z^{9}-\frac{1}{x^{9} y^{9} z^{9}} = (1)^{9}+(1)^{9}+(1)^{9}-\frac{1}{(1)^{9}(1)^{9}(1)^{9}}$
$= 1+1+1-\frac{1}{1 \times 1 \times 1}$
$= 3-1 = 2$.

(D) આપણને અસમતા $\cos ^{-1} x < \sin ^{-1} x$ આપેલી છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$, તેથી $\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x$.
આ કિંમત અસમતામાં મૂકતા, આપણને મળે છે:
$\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x < \sin ^{-1} x$
$\frac{\pi}{2} < 2 \sin ^{-1} x$
$\sin ^{-1} x > \frac{\pi}{4}$
બંને બાજુ સાઈન (sine) લેતા (કારણ કે $\sin x$ તેના પ્રદેશમાં વધતું વિધેય છે):
$x > \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$
$x > \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\sin ^{-1} x$ અને $\cos ^{-1} x$ નો પ્રદેશ $[-1, 1]$ હોવાથી, $x \le 1$ હોવું જોઈએ.
તેથી, ઉકેલ ગણ $x \in \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 1\right]$ છે.

(A) આપેલ છે, $\sin ^{-1}\left(\frac{x}{13}\right)+\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{13}{12}\right)=\frac{\pi}{2} \quad ...(i)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{cosec}^{-1}(z) = \sin^{-1}(\frac{1}{z})$.
તેથી, $\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{13}{12}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$.
આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\sin ^{-1}\left(\frac{x}{13}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)=\frac{\pi}{2}$.
આપણે નિત્યસમ $\sin^{-1}(\theta) + \cos^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ જાણીએ છીએ.
વળી, $\sin^{-1}(\frac{12}{13}) = \cos^{-1}(\sqrt{1 - (\frac{12}{13})^2}) = \cos^{-1}(\sqrt{1 - \frac{144}{169}}) = \cos^{-1}(\sqrt{\frac{25}{169}}) = \cos^{-1}(\frac{5}{13})$.
તેથી, $\sin^{-1}(\frac{x}{13}) + \cos^{-1}(\frac{5}{13}) = \frac{\pi}{2}$.
આને $\sin^{-1}(\theta) + \cos^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $\frac{x}{13} = \frac{5}{13}$ મળે.
આમ, $x = 5$.

(C) આપેલ છે કે $\cos ^{-1} \alpha+\cos ^{-1} \beta+\cos ^{-1} \gamma=3 \pi$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos ^{-1} x$ નો વિસ્તાર $[0, \pi]$ છે.
ત્રણ પદોનો સરવાળો $3 \pi$ છે અને દરેક પદની મહત્તમ કિંમત $\pi$ હોઈ શકે, તેથી દરેક પદ $\pi$ હોવું જોઈએ.
તેથી, $\cos ^{-1} \alpha = \pi$, $\cos ^{-1} \beta = \pi$, અને $\cos ^{-1} \gamma = \pi$.
આનો અર્થ એ છે કે $\alpha = \cos(\pi) = -1$, $\beta = \cos(\pi) = -1$, અને $\gamma = \cos(\pi) = -1$.
હવે, આપણે પદાવલિ $\alpha(\beta+\gamma)+\beta(\gamma+\alpha)+\gamma(\alpha+\beta)$ ની ગણતરી કરીએ.
$\alpha = -1$, $\beta = -1$, અને $\gamma = -1$ મૂકતા:
$(-1)(-1-1) + (-1)(-1-1) + (-1)(-1-1) = (-1)(-2) + (-1)(-2) + (-1)(-2) = 2 + 2 + 2 = 6$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $2 \cot ^{-1} \frac{1}{2} - \cot ^{-1} \frac{4}{3}$
$x > 0$ માટે $\cot ^{-1} x = \tan ^{-1} \frac{1}{x}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$= 2 \tan ^{-1} 2 - \tan ^{-1} \frac{3}{4}$
$x > 1$ માટે $2 \tan ^{-1} x = \pi + \tan ^{-1} \frac{2x}{1-x^2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$= \pi + \tan ^{-1} \frac{2(2)}{1-2^2} - \tan ^{-1} \frac{3}{4}$
$= \pi + \tan ^{-1} \frac{4}{-3} - \tan ^{-1} \frac{3}{4}$
$= \pi - \tan ^{-1} \frac{4}{3} - \tan ^{-1} \frac{3}{4}$
$= \pi - (\tan ^{-1} \frac{4}{3} + \tan ^{-1} \frac{3}{4})$
$x > 0$ માટે $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$= \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$

(B) ધારો કે $f(x) = (\sin^{-1}x)^{2} + (\cos^{-1}x)^{2}$.
$\cos^{-1}x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}x$ હોવાથી, આપણને મળે:
$f(x) = (\sin^{-1}x)^{2} + (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1}x)^{2}$
$f(x) = 2(\sin^{-1}x)^{2} - \pi \sin^{-1}x + \frac{\pi^{2}}{4}$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા, $f(x) = 2(\sin^{-1}x - \frac{\pi}{4})^{2} + \frac{\pi^{2}}{8}$.
$x \in [-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}]$ માટે, $\sin^{-1}x$ નો વિસ્તાર $[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}]$ છે.
$f(x)$ ને મહત્તમ કરવા માટે, આપણે $\sin^{-1}x$ ની એવી કિંમત પસંદ કરીએ જે $\frac{\pi}{4}$ થી સૌથી દૂર હોય, જે $-\frac{\pi}{3}$ છે.
મહત્તમ કિંમત $= 2(-\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4})^{2} + \frac{\pi^{2}}{8} = 2(-\frac{7\pi}{12})^{2} + \frac{\pi^{2}}{8} = \frac{49\pi^{2}}{72} + \frac{9\pi^{2}}{72} = \frac{58\pi^{2}}{72} = \frac{29\pi^{2}}{36}$.
આમ, $m = 29$ અને $n = 36$. $\gcd(29, 36) = 1$ હોવાથી, $m+n = 29 + 36 = 65$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\tan^{-1}4x + \tan^{-1}6x = \frac{\pi}{6}$.
સૂત્ર $\tan^{-1}A + \tan^{-1}B = \tan^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1}\left(\frac{4x+6x}{1-(4x)(6x)}\right) = \frac{\pi}{6}$.
$\frac{10x}{1-24x^2} = \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$10\sqrt{3}x = 1 - 24x^2 \implies 24x^2 + 10\sqrt{3}x - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-10\sqrt{3} \pm \sqrt{(10\sqrt{3})^2 - 4(24)(-1)}}{2(24)} = \frac{-10\sqrt{3} \pm \sqrt{300 + 96}}{48} = \frac{-10\sqrt{3} \pm \sqrt{396}}{48} = \frac{-10\sqrt{3} \pm 6\sqrt{11}}{48} = \frac{-5\sqrt{3} \pm 3\sqrt{11}}{24}$.
અંતરાલ $-\frac{1}{2\sqrt{6}} < x < \frac{1}{2\sqrt{6}}$ છે, જ્યાં $\frac{1}{2\sqrt{6}} \approx 0.204$.
$x_1 = \frac{-5\sqrt{3} + 3\sqrt{11}}{24} \approx \frac{-8.66 + 9.95}{24} \approx 0.054$ (અંતરાલમાં છે).
$x_2 = \frac{-5\sqrt{3} - 3\sqrt{11}}{24} \approx \frac{-8.66 - 9.95}{24} \approx -0.775$ (અંતરાલમાં નથી).
માત્ર એક જ ઉકેલ શરતનું પાલન કરે છે.

(A) ધારો કે $x = \sin\theta$. કારણ કે $x \in [-1/2, 1/2]$, તેથી $\theta \in [-\pi/6, \pi/6]$ થાય.
આપેલ પદાવલિ $y = 3\sin^{-1}(\sin\theta) + \sin^{-1}(\sin(3\theta))$ બને છે.
કારણ કે $\theta \in [-\pi/6, \pi/6]$, તેથી $3\theta \in [-\pi/2, \pi/2]$ થાય.
તેથી, $\sin^{-1}(\sin\theta) = \theta$ અને $\sin^{-1}(\sin(3\theta)) = 3\theta$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા, $y = 3\theta + 3\theta = 6\theta$ મળે.
આપેલ છે કે $\theta \in [-\pi/6, \pi/6]$, તેથી $6$ વડે ગુણતા $6\theta \in [-\pi, \pi]$ મળે.
આમ, $y \in [-\pi, \pi]$ થાય.

(B) આપેલ સમીકરણ $\tan^{-1}(1 - \alpha) + \tan^{-1}(1 - \beta) = \frac{\pi}{4}$ છે.
સૂત્ર $\tan^{-1}x + \tan^{-1}y = \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે $\frac{(1-\alpha)+(1-\beta)}{1-(1-\alpha)(1-\beta)} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $2 - (\alpha + \beta) = 1 - (1 - \alpha - \beta + \alpha\beta)$ મળે છે.
$2 - \alpha - \beta = \alpha + \beta - \alpha\beta \Rightarrow 2 = 2(\alpha + \beta) - \alpha\beta$.
સમીકરણમાં $\beta = \frac{1}{3\alpha}$ મૂકતા:
$2 = 2(\alpha + \frac{1}{3\alpha}) - \alpha(\frac{1}{3\alpha}) = 2\alpha + \frac{2}{3\alpha} - \frac{1}{3}$.
$2 + \frac{1}{3} = 2\alpha + \frac{2}{3\alpha} \Rightarrow \frac{7}{3} = \frac{6\alpha^2 + 2}{3\alpha}$.
$7\alpha = 6\alpha^2 + 2 \Rightarrow 6\alpha^2 - 7\alpha + 2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(2\alpha - 1)(3\alpha - 2) = 0$.
તેથી, $\alpha = \frac{1}{2}$ અથવા $\alpha = \frac{2}{3}$.
જો $\alpha = \frac{1}{2}$ હોય, તો $\beta = \frac{1}{3(1/2)} = \frac{2}{3}$.
જો $\alpha = \frac{2}{3}$ હોય, તો $\beta = \frac{1}{3(2/3)} = \frac{1}{2}$.
બંને કિસ્સામાં, $\alpha + \beta = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{7}{6}$.
તેથી, $6(\alpha + \beta) = 6 \times \frac{7}{6} = 7$.

(A) આપણે નિત્યસમ $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ પદ $\tan^{-1} \left( \frac{2^{p-1}}{1+2^{2p-1}} \right)$ ને આપણે $\tan^{-1} \left( \frac{2^p - 2^{p-1}}{1 + 2^p \cdot 2^{p-1}} \right) = \tan^{-1}(2^p) - \tan^{-1}(2^{p-1})$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
હવે, આ ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણીનો સરવાળો કરતા: $\sum_{p=1}^{11} (\tan^{-1}(2^p) - \tan^{-1}(2^{p-1})) = (\tan^{-1}(2^1) - \tan^{-1}(2^0)) + (\tan^{-1}(2^2) - \tan^{-1}(2^1)) + \dots + (\tan^{-1}(2^{11}) - \tan^{-1}(2^{10}))$.
આનું સાદું રૂપ $\tan^{-1}(2^{11}) - \tan^{-1}(2^0) = \tan^{-1}(2048) - \frac{\pi}{4}$ મળે છે.
આ કિંમતને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{\pi}{4} + (\tan^{-1}(2048) - \frac{\pi}{4}) = \tan^{-1}(2048)$.
આમ, $\tan^{-1} \alpha = \tan^{-1}(2048)$, જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 2048$.
તેથી, $\tan \alpha = \tan(2048)$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} (\frac{x - y}{1 + xy})$ થાય છે.
કારણ કે $a_1, a_2, \dots, a_n$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે, તેથી $a_{k+1} - a_k = d$ થાય.
આમ, સરવાળાના દરેક પદને $\tan^{-1} (\frac{a_{k+1} - a_k}{1 + a_k a_{k+1}}) = \tan^{-1} a_{k+1} - \tan^{-1} a_k$ તરીકે લખી શકાય છે.
આપેલ પદાવલિ $\tan [(\tan^{-1} a_2 - \tan^{-1} a_1) + (\tan^{-1} a_3 - \tan^{-1} a_2) + \dots + (\tan^{-1} a_n - \tan^{-1} a_{n-1})]$ બને છે.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ સરવાળો છે, જેનું સાદું રૂપ $\tan [\tan^{-1} a_n - \tan^{-1} a_1]$ થાય છે.
સૂત્ર $\tan (\tan^{-1} x - \tan^{-1} y) = \frac{x - y}{1 + xy}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $\frac{a_n - a_1}{1 + a_n a_1}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે $\sec^{-1} \left( \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} \right) = 2a$, તેથી $\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} = \sec(2a)$ થાય.
યોગ-વિયોગ (componendo and dividendo) લેતા: $\frac{(x^2 + y^2) + (x^2 - y^2)}{(x^2 + y^2) - (x^2 - y^2)} = \frac{\sec(2a) + 1}{\sec(2a) - 1}$.
$\frac{2x^2}{2y^2} = \frac{\frac{1}{\cos(2a)} + 1}{\frac{1}{\cos(2a)} - 1} = \frac{1 + \cos(2a)}{1 - \cos(2a)} = \frac{2\cos^2(a)}{2\sin^2(a)} = \cot^2(a)$.
તેથી, $\frac{x^2}{y^2} = \cot^2(a) \implies x^2 = y^2 \cot^2(a)$.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $2x = 2y \frac{dy}{dx} \cot^2(a)$.
$x = y \frac{dy}{dx} \cot^2(a) \implies y \frac{dy}{dx} = x \tan^2(a)$.
$y \frac{dy}{dx} = x \cdot f(a)$ સાથે સરખાવતા, આપણને $f(a) = \tan^2(a)$ મળે છે.
તેથી, $f \left( \frac{2\pi}{3} \right) = \tan^2 \left( \frac{2\pi}{3} \right) = (-\sqrt{3})^2 = 3$.

(D) પગલું $1$: સૂત્ર $3 \tan^{-1}(x) = \tan^{-1}\left(\frac{3x - x^3}{1 - 3x^2}\right)$ નો ઉપયોગ કરો.
પગલું $2$: સૂત્રમાં $x = 1/2$ મૂકો.
પગલું $3$: અંશની ગણતરી કરો: $3(1/2) - (1/2)^3 = 3/2 - 1/8 = 12/8 - 1/8 = 11/8$.
પગલું $4$: છેદની ગણતરી કરો: $1 - 3(1/2)^2 = 1 - 3/4 = 1/4$.
પગલું $5$: પદાવલિ $\tan^{-1}\left(\frac{11/8}{1/4}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{11}{8} \times 4\right) = \tan^{-1}(11/2)$ થાય છે.

(B) ધારો કે $\theta = \sin^{-1}(1/5)$, તો $\sin \theta = 1/5$ થાય.
આપણે $\sin(3\theta)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નિત્યસમ $\sin(3\theta) = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin \theta = 1/5$ ને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\sin(3\theta) = 3(1/5) - 4(1/5)^3$
$\sin(3\theta) = 3/5 - 4/125$
$\sin(3\theta) = (75 - 4) / 125 = 71/125$.

(C) ધારો કે $x = \tan \theta$. તો $\theta = \tan^{-1} x$ થાય.
$|x| \le 1$ માટે પ્રમાણિત ત્રિકોણમિતીય આદેશનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin^{-1}(\frac{2x}{1+x^2}) = 2 \tan^{-1} x = 2\theta$
$\cos^{-1}(\frac{1-x^2}{1+x^2}) = 2 \tan^{-1} x = 2\theta$
$\tan^{-1}(\frac{2x}{1-x^2}) = 2 \tan^{-1} x = 2\theta$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$3(2\theta) - 4(2\theta) + 2(2\theta) = \frac{\pi}{3}$
$6\theta - 8\theta + 4\theta = \frac{\pi}{3}$
$2\theta = \frac{\pi}{3}$
$\theta = \frac{\pi}{6}$
કારણ કે $x = \tan \theta$ છે, તેથી $x = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ મળે છે.

(A) પગલું $1$: $xy > 1$ માટે ગુણધર્મ $\tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(y) = \pi + \tan^{-1}(\frac{x+y}{1-xy})$ નો ઉપયોગ કરો.
પગલું $2$: $\tan^{-1}(3) + \tan^{-1}(5) = \pi + \tan^{-1}(\frac{3+5}{1-15}) = \pi + \tan^{-1}(\frac{8}{-14}) = \pi - \tan^{-1}(4/7)$ ને જોડો.
પગલું $3$: પદાવલિ $\tan^{-1}(1) + \pi - \tan^{-1}(4/7) + \tan^{-1}(1/4) = \pi + \tan^{-1}(1) + \tan^{-1}(1/4) - \tan^{-1}(4/7)$ બને છે.
પગલું $4$: $\tan^{-1}(1) + \tan^{-1}(1/4) = \tan^{-1}(\frac{1+1/4}{1-1/4}) = \tan^{-1}(\frac{5/4}{3/4}) = \tan^{-1}(5/3)$ નો ઉપયોગ કરો.
પગલું $5$: હવે, $\tan^{-1}(5/3) - \tan^{-1}(4/7) = \tan^{-1}(\frac{5/3 - 4/7}{1 + (5/3)(4/7)}) = \tan^{-1}(\frac{35-12}{21+20}) = \tan^{-1}(23/41)$.
પગલું $6$: $\tan^{-1}(\alpha/2)$ સાથે સરખાવતા, $\alpha/2 = 23/41$, તેથી $\alpha = 46/41$.

(C) ધારો કે $\alpha = \sin^{-1}(12/13)$, તો $\sin \alpha = 12/13$। તેથી, $\tan \alpha = 12/5$।
ધારો કે $\beta = \cos^{-1}(4/5)$, તો $\cos \beta = 4/5$। તેથી, $\tan \beta = 3/4$।
હવે, $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{12/5 + 3/4}{1 - (12/5)(3/4)} = \frac{(48+15)/20}{1 - 36/20} = \frac{63/20}{-16/20} = -63/16$।
કારણ કે $\alpha + \beta$ બીજા ચરણમાં છે, $\alpha + \beta = \pi - \tan^{-1}(63/16)$।
તેથી, $\alpha + \beta + \tan^{-1}(63/16) = \pi - \tan^{-1}(63/16) + \tan^{-1}(63/16) = \pi$।

(C) અમે નિત્યસમ $\tan^{-1}(a) - \tan^{-1}(b) = \tan^{-1}(\frac{a-b}{1+ab})$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
નોંધો કે $\frac{1}{n^2+n+1} = \frac{(n+1)-n}{1+n(n+1)}$ છે.
તેથી, $\tan^{-1}(\frac{1}{n^2+n+1}) = \tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1}(n)$ છે.
સરવાળો $\sum_{n=1}^{2026} (\tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1}(n))$ છે.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ સરવાળો છે: $(\tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(1)) + (\tan^{-1}(3) - \tan^{-1}(2)) + \dots + (\tan^{-1}(2027) - \tan^{-1}(2026))$.
સરવાળો સાદું રૂપ આપતા $\tan^{-1}(2027) - \tan^{-1}(1)$ મળે છે.
નિત્યસમનો ફરીથી ઉપયોગ કરતા: $\tan^{-1}(2027) - \tan^{-1}(1) = \tan^{-1}(\frac{2027-1}{1+2027 \cdot 1}) = \tan^{-1}(\frac{2026}{2028}) = \tan^{-1}(\frac{1013}{1014})$.
આપણને $\tan^{-1}(1 - \frac{1}{x}) = \tan^{-1}(\frac{1013}{1014})$ આપેલ છે.
તેથી, $1 - \frac{1}{x} = \frac{1013}{1014} \implies \frac{1}{x} = 1 - \frac{1013}{1014} = \frac{1}{1014}$.
તેથી, $x = 1014$.

(A) પગલું $1$: $\sin^{-1}(\sin \frac{7\pi}{6})$ ને સરળ બનાવો. $\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$ હોવાથી, $\sin(\frac{7\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = \sin(-\frac{\pi}{6})$ થાય. તેથી, $\sin^{-1}(\sin \frac{7\pi}{6}) = -\frac{\pi}{6}$.
પગલું $2$: $\cos^{-1}(\cos \frac{7\pi}{6})$ ને સરળ બનાવો. $\frac{7\pi}{6} = 2\pi - \frac{5\pi}{6}$ હોવાથી, $\cos(\frac{7\pi}{6}) = \cos(\frac{5\pi}{6})$ થાય. તેથી, $\cos^{-1}(\cos \frac{7\pi}{6}) = \frac{5\pi}{6}$.
પગલું $3$: $\tan^{-1}(\tan \frac{2\pi}{3})$ ને સરળ બનાવો. $\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$ હોવાથી, $\tan(\frac{2\pi}{3}) = -\tan(\frac{\pi}{3}) = \tan(-\frac{\pi}{3})$ થાય. તેથી, $\tan^{-1}(\tan \frac{2\pi}{3}) = -\frac{\pi}{3}$.
પગલું $4$: કિંમતોનો સરવાળો: $-\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$. આપેલા વિકલ્પો સાચા નથી.

(B) પગલું $1$: $\cos^{-1}(-\frac{1}{2})$ ની કિંમત શોધો. કારણ કે $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$, તેથી $\cos^{-1}(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$ થાય.
પગલું $2$: આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકો: $\cos(\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3})$.
પગલું $3$: ખૂણાનું સાદું રૂપ આપો: $\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} = \pi$.
પગલું $4$: $\cos(\pi) = -1$ ની ગણતરી કરો.

(D) આપેલ પદાવલિ $y = \cot^{-1} \left[ \frac{\sqrt{1 - \sin x} + \sqrt{1 + \sin x}}{\sqrt{1 - \sin x} - \sqrt{1 + \sin x}} \right]$ છે.
$x \in (0, \frac{\pi}{2})$ હોવાથી, $\frac{x}{2} \in (0, \frac{\pi}{4})$ થાય.
$1 \pm \sin x = (\cos \frac{x}{2} \pm \sin \frac{x}{2})^2$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $\sqrt{1 \pm \sin x} = |\cos \frac{x}{2} \pm \sin \frac{x}{2}|$ મળે છે.
$0 < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{4}$ હોવાથી, $\cos \frac{x}{2} > \sin \frac{x}{2} > 0$ થાય.
તેથી, $\sqrt{1 + \sin x} = \cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}$ અને $\sqrt{1 - \sin x} = \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}$ મળે.
આ કિંમતો મૂકતા, $\cot^{-1}$ ની અંદરની પદાવલિ $\frac{(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}) + (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})}{(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}) - (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})} = \frac{2 \cos \frac{x}{2}}{-2 \sin \frac{x}{2}} = -\cot \frac{x}{2}$ થાય છે.
તેથી, $y = \cot^{-1}(-\cot \frac{x}{2}) = \pi - \cot^{-1}(\cot \frac{x}{2}) = \pi - \frac{x}{2}$.

(C) પગલું $1$: $\cos^{-1}(\cos \frac{4\pi}{3})$ ને સરળ બનાવો. કારણ કે $\frac{4\pi}{3}$ એ વિસ્તાર $[0, \pi]$ માં નથી, આપણે લખીએ છીએ $\cos \frac{4\pi}{3} = \cos(2\pi - \frac{2\pi}{3}) = \cos \frac{2\pi}{3}$. તેથી, $\cos^{-1}(\cos \frac{2\pi}{3}) = \frac{2\pi}{3}$.
પગલું $2$: $\sin^{-1}(\sin \frac{4\pi}{3})$ ને સરળ બનાવો. કારણ કે $\frac{4\pi}{3}$ એ વિસ્તાર $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ માં નથી, આપણે લખીએ છીએ $\sin \frac{4\pi}{3} = \sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\sin \frac{\pi}{3} = \sin(-\frac{\pi}{3})$. તેથી, $\sin^{-1}(\sin(-\frac{\pi}{3})) = -\frac{\pi}{3}$.
પગલું $3$: પરિણામોનો સરવાળો કરો: $\frac{2\pi}{3} + (-\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{3}$.

(B) $\sin^{-1}(x-2)$ નો પ્રદેશ $[1, 3]$, $\cos^{-1}(x)$ નો $[-1, 1]$, $\tan^{-1}(x+2)$ નો $(-\infty, \infty)$, અને $\cot^{-1}(x+4)$ નો $(-\infty, \infty)$ છે.
આ પ્રદેશોનો છેદગણ $\{1\}$ છે.
સમીકરણમાં $x = 1$ મૂકતા:
$-\frac{\pi}{2} + 0 + \tan^{-1}(3) + \cot^{-1}(5) = \sec^{-1}(\sqrt{k}) - \frac{\pi}{2}$
$\tan^{-1}(3) + \cot^{-1}(5) = \sec^{-1}(\sqrt{k})$
$\tan^{-1}(3) = \cot^{-1}(1/3)$ નો ઉપયોગ કરતા, $\cot^{-1}(1/3) + \cot^{-1}(5) = \sec^{-1}(\sqrt{k})$ મળે.
ધારો કે $\alpha = \cot^{-1}(1/3)$ અને $\beta = \cot^{-1}(5)$ છે. તો $\cot(\alpha + \beta) = \frac{(1/3)(5) - 1}{1/3 + 5} = \frac{2/3}{16/3} = \frac{1}{8}$.
તેથી, $\alpha + \beta = \cot^{-1}(1/8) = \tan^{-1}(8) = \sec^{-1}(\sqrt{65})$.
આમ, $\sqrt{k} = \sqrt{65}$, તેથી $k = 65$ મળે.
આપણે $\cos(2 \csc^{-1}\sqrt{65-1}) = \cos(2 \csc^{-1}(8))$ ની કિંમત શોધવાની છે.
ધારો કે $\theta = \csc^{-1}(8)$, તો $\sin \theta = 1/8$ થાય.
તેથી $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2 \theta = 1 - 2(1/8)^2 = 1 - 1/32 = \frac{31}{32}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\tan^{-1} (ax) + \tan^{-1} (3x) = \frac{\pi}{4}$ છે.
સૂત્ર $\tan^{-1} A + \tan^{-1} B = \tan^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1} \left( \frac{ax + 3x}{1 - 3ax^2} \right) = \frac{\pi}{4}$ મળે છે.
બંને બાજુ $\tan$ લેતા: $\frac{x(a+3)}{1-3ax^2} = \tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1$ થાય.
સમીકરણમાં $x = \frac{1}{6}$ મૂકતા:
$\frac{\frac{1}{6}(a+3)}{1 - 3a(\frac{1}{6})^2} = 1$.
$\frac{\frac{a+3}{6}}{1 - \frac{3a}{36}} = 1 \implies \frac{a+3}{6} = 1 - \frac{a}{12}$.
$12$ વડે ગુણતા: $2(a+3) = 12 - a$.
$2a + 6 = 12 - a \implies 3a = 6 \implies a = 2$.

(A) ધારો કે $f(x) = (\sin^{-1} x)^2 + (\cos^{-1} x)^2$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x$ થાય છે.
આ કિંમત મૂકતા, $f(x) = (\sin^{-1} x)^2 + (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x)^2$ મળે.
ધારો કે $u = \sin^{-1} x$ છે. કારણ કે $x \in [-1, 1]$, તેથી $u \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ છે.
$f(u) = u^2 + (\frac{\pi}{2} - u)^2 = u^2 + \frac{\pi^2}{4} - \pi u + u^2 = 2u^2 - \pi u + \frac{\pi^2}{4}$ મળે.
આ ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય છે. ન્યૂનતમ કિંમત $u = -\frac{b}{2a} = -\frac{-\pi}{2(2)} = \frac{\pi}{4}$ પર મળે છે.
કારણ કે $\frac{\pi}{4} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, ન્યૂનતમ કિંમત $f(\frac{\pi}{4}) = 2(\frac{\pi}{4})^2 - \pi(\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi^2}{4} = 2(\frac{\pi^2}{16}) - \frac{\pi^2}{4} + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{8}$ થાય છે.

(B) $f(x)$ નો પ્રદેશ $x \in [-1, 1]$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x$.
આને $f(x)$ માં મૂકતા:
$f(x) = (\sin^{-1} x)^2 + (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x)^2$.
ધારો કે $t = \sin^{-1} x$. કારણ કે $x \in [-1, 1]$, $t \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
$f(t) = t^2 + (\frac{\pi}{2} - t)^2 = t^2 + \frac{\pi^2}{4} - \pi t + t^2 = 2t^2 - \pi t + \frac{\pi^2}{4}$.
આ ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય છે. શિરોબિંદુ $t = -\frac{-\pi}{2(2)} = \frac{\pi}{4}$ પર છે.
કારણ કે $\frac{\pi}{4} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, ન્યૂનતમ મૂલ્ય $f(\frac{\pi}{4}) = 2(\frac{\pi}{4})^2 - \pi(\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{8} - \frac{\pi^2}{4} + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{8}$ છે.
મહત્તમ મૂલ્ય અંતરાલ $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ ના અંતિમ બિંદુઓ પર મળે છે.
$f(-\frac{\pi}{2}) = 2(-\frac{\pi}{2})^2 - \pi(-\frac{\pi}{2}) + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{2} + \frac{\pi^2}{2} + \frac{\pi^2}{4} = \frac{5\pi^2}{4}$.
$f(\frac{\pi}{2}) = 2(\frac{\pi}{2})^2 - \pi(\frac{\pi}{2}) + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{2} - \frac{\pi^2}{2} + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{4}$.
આમ, મહત્તમ મૂલ્ય $\frac{5\pi^2}{4}$ અને ન્યૂનતમ મૂલ્ય $\frac{\pi^2}{8}$ છે.
સરવાળો $= \frac{5\pi^2}{4} + \frac{\pi^2}{8} = \frac{10\pi^2 + \pi^2}{8} = \frac{11\pi^2}{8}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
ધારો કે $a = \tan^{-1} x$ અને $b = \cot^{-1} x$ છે. તેથી $a + b = \frac{\pi}{2}$, એટલે કે $b = \frac{\pi}{2} - a$ થશે.
આપેલ સમીકરણ $a^2 + b^2 = \frac{5\pi^2}{8}$ છે.
$b$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $a^2 + (\frac{\pi}{2} - a)^2 = \frac{5\pi^2}{8}$ મળે છે.
$a^2 + \frac{\pi^2}{4} - \pi a + a^2 = \frac{5\pi^2}{8}$.
$2a^2 - \pi a + \frac{2\pi^2}{8} - \frac{5\pi^2}{8} = 0$.
$2a^2 - \pi a - \frac{3\pi^2}{8} = 0$.
$8$ વડે ગુણતા: $16a^2 - 8\pi a - 3\pi^2 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા, $a = \frac{8\pi \pm \sqrt{64\pi^2 + 192\pi^2}}{32} = \frac{8\pi \pm 16\pi}{32}$ મળે છે.
કિસ્સો $1$: $a = \frac{24\pi}{32} = \frac{3\pi}{4}$. કારણ કે $\tan^{-1} x$ નો વિસ્તાર $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ છે, આ અમાન્ય છે.
કિસ્સો $2$: $a = \frac{-8\pi}{32} = -\frac{\pi}{4}$.
આમ, $\tan^{-1} x = -\frac{\pi}{4}$, જેનો અર્થ છે કે $x = \tan(-\frac{\pi}{4}) = -1$.

(A) ધારો કે $u = \sin^{-1} x$ છે. કારણ કે $0 \le x \le 1$, તેથી $0 \le u \le \frac{\pi}{2}$ છે.
ત્યારે $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - u$ થાય.
પદાવલિ $f(u) = u^3 + (\frac{\pi}{2} - u)^3$ બને છે, જ્યાં $u \in [0, \frac{\pi}{2}]$ છે.
$f(u) = u^3 + \frac{\pi^3}{8} - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{3\pi}{2}u^2 - u^3 = \frac{3\pi}{2}u^2 - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{\pi^3}{8}$ છે.
વિસ્તાર શોધવા માટે, ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધો: $f'(u) = 3\pi u - \frac{3\pi^2}{4} = 0 \implies u = \frac{\pi}{4}$ છે.
$u = 0$ પર, $f(0) = \frac{\pi^3}{8}$ છે.
$u = \frac{\pi}{4}$ પર, $f(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\pi}{4})^3 + (\frac{\pi}{4})^3 = 2(\frac{\pi^3}{64}) = \frac{\pi^3}{32}$ છે.
$u = \frac{\pi}{2}$ પર, $f(\frac{\pi}{2}) = (\frac{\pi}{2})^3 + 0 = \frac{\pi^3}{8}$ છે.
આમ, ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{\pi^3}{32}$ છે અને મહત્તમ કિંમત $\frac{\pi^3}{8}$ છે.
આપેલ છે કે $a\pi^3 = f(u)$, તેથી $\frac{\pi^3}{32} \le a\pi^3 \le \frac{\pi^3}{8}$, જેનાથી $\frac{1}{32} \le a \le \frac{1}{8}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $a \ge \frac{1}{32}$.

(B) આપેલ છે $\sin(\cos^{-1} x + \tan^{-1} x) - \cos(\sin^{-1} x + \tan^{-1} x) = \sin(\cot^{-1} 2)$.
ધારો કે $\theta = \tan^{-1} x$. તેથી $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \theta$ અને $\sin^{-1} x = \theta$ થાય.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$\sin(\frac{\pi}{2} - \theta + \theta) - \cos(\theta + \theta) = \sin(\cot^{-1} 2)$
$\sin(\frac{\pi}{2}) - \cos(2\theta) = \sin(\cot^{-1} 2)$
$1 - \cos(2\theta) = \sin(\cot^{-1} 2)$
$1 - \frac{1-x^2}{1+x^2} = \frac{1}{\sqrt{5}}$
$\frac{2x^2}{1+x^2} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
અહીં $x = 1/2$ લેતા $\frac{2(1/4)}{1+1/4} = 2/5$ મળે છે, તેથી પ્રશ્નમાં $\sin(\cot^{-1} 2)$ ના બદલે $2/5$ હોવું જોઈએ.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
ધારો કે $A = \sin^{-1} x$ અને $B = \cos^{-1} x$ છે. તેથી $A + B = \frac{\pi}{2}$, જેનો અર્થ છે કે $B = \frac{\pi}{2} - A$.
આપેલ સમીકરણ $2A - 3B = 4$ છે.
સમીકરણમાં $B = \frac{\pi}{2} - A$ મૂકતા: $2A - 3(\frac{\pi}{2} - A) = 4$.
$2A - \frac{3\pi}{2} + 3A = 4 \implies 5A = 4 + \frac{3\pi}{2} = \frac{8 + 3\pi}{2} \implies A = \frac{8 + 3\pi}{10}$.
હવે $B$ ની કિંમત શોધો: $B = \frac{\pi}{2} - \frac{8 + 3\pi}{10} = \frac{5\pi - 8 - 3\pi}{10} = \frac{2\pi - 8}{10} = \frac{\pi - 4}{5}$.
આપણે $2A + 3B$ શોધવાનું છે: $2(\frac{8 + 3\pi}{10}) + 3(\frac{2\pi - 8}{10}) = \frac{16 + 6\pi + 6\pi - 24}{10} = \frac{12\pi - 8}{10} = \frac{6\pi - 4}{5}$.

(C) ધારો કે $\cos^{-1} x = \theta$, તો $\cos \theta = x$ થાય. તેથી $\cot(\cos^{-1} x) = \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$.
ધારો કે $\tan^{-1} \frac{a}{\sqrt{b^2 - a^2}} = \phi$, તો $\tan \phi = \frac{a}{\sqrt{b^2 - a^2}}$ થાય.
નિત્યસમ $\sec^2 \phi = 1 + \tan^2 \phi$ નો ઉપયોગ કરતા, $\sec^2 \phi = 1 + \frac{a^2}{b^2 - a^2} = \frac{b^2 - a^2 + a^2}{b^2 - a^2} = \frac{b^2}{b^2 - a^2}$.
તેથી, $\sec \phi = \frac{b}{\sqrt{b^2 - a^2}}$.
બંને બાજુ સરખાવતા: $\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{b}{\sqrt{b^2 - a^2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{x^2}{1 - x^2} = \frac{b^2}{b^2 - a^2}$.
$x^2(b^2 - a^2) = b^2(1 - x^2) = b^2 - b^2 x^2$.
$x^2(b^2 - a^2 + b^2) = b^2 \implies x^2(2b^2 - a^2) = b^2$.
$x^2 = \frac{b^2}{2b^2 - a^2} \implies x = \frac{b}{\sqrt{2b^2 - a^2}}$.

(B) આપેલ છે: $\tan^{-1} \left[ \frac{\sqrt{5} - 2\sqrt{6}}{1 + \sqrt{6}} \right] = \frac{\pi}{3} - \tan^{-1}(k)$.
$\tan^{-1}$ ની અંદરની પદાવલિને સરળ બનાવતા, $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{1 + \sqrt{6}} = \tan(\tan^{-1}(\sqrt{3}) - \tan^{-1}(\sqrt{2})) = \tan(\frac{\pi}{3} - \tan^{-1}(\sqrt{2}))$ મળે છે.
આપેલ સમીકરણ સાથે સરખામણી કરતા, $\tan^{-1}(\sqrt{2}) = \tan^{-1}(k)$, તેથી $k = \sqrt{2}$.
આપણે $\sec^{-1}(\sqrt{2})$ ની કિંમત શોધવાની છે.
કારણ કે $\sec(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$, તેથી $\sec^{-1}(\sqrt{2}) = \frac{\pi}{4}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ છે $y = \cot^{-1} \left( \frac{1 + \sin 5x}{\cos 5x} \right)$।
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \sin \theta = \left( \cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2} \right)^2$ અને $\cos \theta = \cos^2 \frac{\theta}{2} - \sin^2 \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \cot^{-1} \left( \frac{(\cos \frac{5x}{2} + \sin \frac{5x}{2})^2}{(\cos \frac{5x}{2} - \sin \frac{5x}{2})(\cos \frac{5x}{2} + \sin \frac{5x}{2})} \right)$
$y = \cot^{-1} \left( \frac{\cos \frac{5x}{2} + \sin \frac{5x}{2}}{\cos \frac{5x}{2} - \sin \frac{5x}{2}} \right)$
અંશ અને છેદને $\cos \frac{5x}{2}$ વડે ભાગતા:
$y = \cot^{-1} \left( \frac{1 + \tan \frac{5x}{2}}{1 - \tan \frac{5x}{2}} \right) = \cot^{-1} \left( \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{5x}{2} \right) \right)$
કારણ કે $\cot^{-1}(\tan \theta) = \cot^{-1}(\cot(\frac{\pi}{2} - \theta))$, આપણને મળે છે:
$y = \frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} + \frac{5x}{2}) = \frac{\pi}{4} - \frac{5x}{2}$
તેથી, $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\frac{\pi}{4} - \frac{5x}{2}) = -\frac{5}{2}$।

(D) ધારો કે $x = \cos \theta$, તો $\theta = \cos^{-1} x$ થાય.
$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}} = \sqrt{\frac{2\sin^2(\theta/2)}{2\cos^2(\theta/2)}} = \tan(\theta/2)$ થાય.
હવે, $\cot^{-1}(\tan(\theta/2)) = \cot^{-1}(\cot(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2})) = \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}$ થાય.
આને $y$ ના પદમાં મૂકતા:
$y = \cos^2(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}) = \sin^2(\theta/2)$ થાય.
નિત્યસમ $\sin^2(\theta/2) = \frac{1-\cos \theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \frac{1-x}{2} = \frac{1}{2} - \frac{x}{2}$ થાય.
તેથી, $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}) = -\frac{1}{2}$ થાય.

(A) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_k = \tan^{-1} \left( \frac{1}{1 + k(k + 1)} \right)$ છે.
આપણે દલીલને $\frac{(k + 1) - k}{1 + k(k + 1)}$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
નિત્યસમ $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x - y}{1 + xy} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $T_k = \tan^{-1}(k + 1) - \tan^{-1}(k)$ મળે છે.
સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{n} (\tan^{-1}(k + 1) - \tan^{-1}(k))$ છે.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે: $S_n = (\tan^{-1} 2 - \tan^{-1} 1) + (\tan^{-1} 3 - \tan^{-1} 2) + \dots + (\tan^{-1}(n + 1) - \tan^{-1} n)$.
બધા મધ્યવર્તી પદો રદ થઈ જાય છે, અને $S_n = \tan^{-1}(n + 1) - \tan^{-1}(1)$ બાકી રહે છે.
ફરીથી નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા, $S_n = \tan^{-1} \left( \frac{(n + 1) - 1}{1 + (n + 1)(1)} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{n}{n + 2} \right)$.

(A) આપેલ છે કે $\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = \pi/2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{-1} y + \cos^{-1} y = \pi/2$, તેથી $\sin^{-1} y = \pi/2 - \cos^{-1} y$.
આ કિંમતને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $\sin^{-1} x = \pi/2 - \sin^{-1} y = \cos^{-1} y$.
બંને બાજુ $\sin$ લેતા: $x = \sin(\cos^{-1} y)$.
નિત્યસમ $\sin(\cos^{-1} y) = \sqrt{1 - y^2}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $x = \sqrt{1 - y^2}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, આપણને $x^2 = 1 - y^2$ મળે છે.