MHT CET 2026 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) એક પૂર્ણ પરિભ્રમણ માટે કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = 2\pi$ રેડિયન હોય છે.
કણ $2$ પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરતો હોવાથી, કુલ કોણીય સ્થાનાંતર નીચે મુજબ મળે:
$\theta = n \times 2\pi$
$\theta = 2 \times 2\pi = 4\pi$ રેડિયન.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ધારો કે $B$ પરનો છોકરો $y$-અક્ષ પર ગતિ કરે છે અને $A$ પરનો છોકરો $x$-અક્ષ પર ગતિ કરે છે.
$t$ સમય પછી, $B$ થી છોકરાનું સ્થાન $(0, V_1 t)$ છે.
સાપેક્ષ સ્થાનાંતરને ધ્યાનમાં લેતા, $A$ થી છોકરાનું સ્થાન $(a, Vt)$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે, સાપેક્ષ વેગની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
$A$ પરના છોકરા પાસે $y$-દિશામાં $V_1$ વેગનો ઘટક હોવો જોઈએ જેથી તે $B$ પરના છોકરા સાથે મેળ ખાય, અને $a$ અંતર કાપવા માટે $x$-દિશામાં $V_x$ વેગનો ઘટક હોવો જોઈએ.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ, $V^2 = V_x^2 + V_1^2$, તેથી $V_x = \sqrt{V^2 - V_1^2}$.
$a$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{a}{V_x} = \frac{a}{\sqrt{V^2 - V_1^2}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા, $t = [\frac{a^2}{(V^2 - V_1^2)}]^{1/2}$ મળે છે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં, વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
શરૂઆતમાં, વેગ $v$ શિરોલંબ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે, જેનો અર્થ છે કે તે સમક્ષિતિજ સાથે $90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
તેથી, વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v \cos(30^{\circ}) = v \frac{\sqrt{3}}{2}$ થાય.
પછીની ક્ષણે, વેગ $v'$ સમક્ષિતિજ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
આ નવા વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v'_x = v' \cos(60^{\circ}) = v' \frac{1}{2}$ થાય.
સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહેતો હોવાથી, $v_x = v'_x$.
$v \frac{\sqrt{3}}{2} = v' \frac{1}{2}$.
$v'$ માટે ઉકેલતા, આપણને $v' = v\sqrt{3}$ મળે છે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે, જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે, $\theta$ એ પ્રક્ષિપ્ત કોણ છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
પ્રથમ પદાર્થ માટે, અવધિ $R_1 = \frac{u^2 \sin(2\alpha)}{g}$ છે.
બીજા પદાર્થ માટે, અવધિ $R_2 = \frac{u^2 \sin(2\beta)}{g}$ છે.
આપેલ છે કે $\alpha + \beta = 90^{\circ}$, તેથી $\beta = 90^{\circ} - \alpha$.
આ કિંમતને $R_2$ ના સૂત્રમાં મૂકતા, આપણને મળે છે $R_2 = \frac{u^2 \sin(2(90^{\circ} - \alpha))}{g} = \frac{u^2 \sin(180^{\circ} - 2\alpha)}{g}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(180^{\circ} - \theta) = \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા, $R_2 = \frac{u^2 \sin(2\alpha)}{g}$ મળે છે.
આમ $R_1 = R_2$ હોવાથી, ગુણોત્તર $R_1 : R_2 = 1 : 1$ થશે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે, જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $\theta$ એ પ્રક્ષેપણ કોણ છે.
આપેલ છે કે બંને દડા $A$ અને $B$ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ સમાન છે, તેથી $H_A = H_B$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $\frac{u_A^2 \sin^2(45^{\circ})}{2g} = \frac{u_B^2 \sin^2(60^{\circ})}{2g}$.
બંને બાજુથી $2g$ દૂર કરતા, $u_A^2 \sin^2(45^{\circ}) = u_B^2 \sin^2(60^{\circ})$.
કિંમતો મૂકતા, $\sin(45^{\circ}) = 1/\sqrt{2}$ અને $\sin(60^{\circ}) = \sqrt{3}/2$, તેથી $u_A^2 (1/\sqrt{2})^2 = u_B^2 (\sqrt{3}/2)^2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $u_A^2 (1/2) = u_B^2 (3/4)$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા, $\frac{u_A^2}{u_B^2} = \frac{3/4}{1/2} = \frac{3}{4} \times 2 = \frac{3}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા, પ્રારંભિક વેગનો ગુણોત્તર $\frac{u_A}{u_B} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ મળે છે.

(A) મહત્તમ ઊંચાઈએ સ્થિતિઊર્જા $PE = mgh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $h$ એ પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ છે.
દડા $P$ માટે, શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે, તેથી સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ થશે.
દડા $P$ માટે મહત્તમ ઊંચાઈ $H_P = \frac{u^2 \sin^2(30^{\circ})}{2g} = \frac{u^2 (0.5)^2}{2g} = \frac{u^2}{8g}$ છે.
દડા $Q$ માટે, જે શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે, સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
દડા $Q$ માટે મહત્તમ ઊંચાઈ $H_Q = \frac{u^2 \sin^2(90^{\circ})}{2g} = \frac{u^2}{2g}$ છે.
દડા $P$ અને દડા $Q$ ની સ્થિતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{PE_P}{PE_Q} = \frac{mgH_P}{mgH_Q} = \frac{H_P}{H_Q} = \frac{u^2/8g}{u^2/2g} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ થાય.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
આપેલ છે કે $R = nH$, તેથી કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = n \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right)$.
બંને બાજુ સાદું રૂપ આપતા:
$2 \cos \theta = \frac{n \sin \theta}{2}$.
$\tan \theta$ માટે ગોઠવતા:
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{4}{n}$.
તેથી, $\tan \theta = \frac{4}{n}$, જેનો અર્થ છે કે $\theta = \tan^{-1}(\frac{4}{n})$.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = x - \frac{gx^2}{2}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $\tan \theta = 1$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $\theta = 45^{\circ}$.
વળી, $x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા, $\frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta} = \frac{g}{2}$ મળે છે.
આ સાદું રૂપ આપતા $u^2 \cos^2 \theta = 1$ થાય છે.
$\theta = 45^{\circ}$ અને $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ કિંમત મૂકતા, $u^2 (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 1$ મળે છે.
$u^2 (\frac{1}{2}) = 1 \implies u^2 = 2$.
તેથી, પ્રારંભિક વેગ $u = \sqrt{2} \text{ m/s}$ થાય.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે, જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $\theta$ એ પ્રક્ષેપણ કોણ છે.
આપેલ છે કે બંને ગોળાઓ માટે મહત્તમ ઊંચાઈ સમાન છે, તેથી $H_1 = H_2$.
તેથી, $\frac{u_1^2 \sin^2 \theta_1}{2g} = \frac{u_2^2 \sin^2 \theta_2}{2g}$.
આ સમીકરણ $u_1^2 \sin^2 \theta_1 = u_2^2 \sin^2 \theta_2$ માં પરિણમે છે.
આપેલ કિંમતો $\theta_1 = 30^{\circ}$ અને $\theta_2 = 45^{\circ}$ મૂકતા:
$u_1^2 \sin^2(30^{\circ}) = u_2^2 \sin^2(45^{\circ})$.
$u_1^2 (0.5)^2 = u_2^2 (1/\sqrt{2})^2$.
$u_1^2 (1/4) = u_2^2 (1/2)$.
$u_1^2 / u_2^2 = (1/2) / (1/4) = 4/2 = 2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા, આપણને $u_1 / u_2 = \sqrt{2} / 1$ મળે છે.
આમ, તેમના પ્રારંભિક વેગનો ગુણોત્તર $\sqrt{2}:1$ છે.

(C) બહિર્ગોળ પુલના સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુએ, કાર પર લાગતા બળોમાં નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(mg)$ અને ઉપરની તરફ લાગતું લંબબળ $(N)$ છે.
વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી પરિણામી કેન્દ્રગામી બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને લંબબળના તફાવત દ્વારા મળે છે.
તેથી, ગતિનું સમીકરણ: $mg - N = \frac{mv^2}{R}$ થાય.
લંબબળ (થ્રસ્ટ) માટે સાદું રૂપ આપતા: $N = mg - \frac{mv^2}{R}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 40 \text{ g} = 0.04 \text{ kg}$, ત્રિજ્યા $r = 50 \text{ cm} = 0.5 \text{ m}$, આવૃત્તિ $f = 30 \text{ rpm} = 0.5 \text{ rev/s}$.
કોણીય વેગ $\omega = 2\pi f = 2 \times \pi \times 0.5 = \pi \text{ rad/s}$.
શિરોલંબ વર્તુળના સૌથી નીચેના બિંદુએ તણાવ $T$ નું સૂત્ર $T = mg + \frac{mv^2}{r} = mg + mr\omega^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $T = (0.04 \times 10) + (0.04 \times 0.5 \times \pi^2)$.
$\pi^2 = 10$ આપેલ હોવાથી, $T = 0.4 + (0.04 \times 0.5 \times 10) = 0.4 + 0.2 = 0.6 \text{ N}$.

(D) જ્યારે બે સ્પ્રિંગોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે, ત્યારે બંને સ્પ્રિંગ પર સમાન બળ $F$ લાગે છે.
હૂકના નિયમ મુજબ, પ્રથમ સ્પ્રિંગમાં વિસ્તરણ $x_1 = F/K_1$ છે.
બીજી સ્પ્રિંગમાં વિસ્તરણ $x_2 = F/K_2$ છે.
તંત્રમાં ઉત્પન્ન થતું કુલ વિસ્તરણ $x$ એ વ્યક્તિગત વિસ્તરણોનો સરવાળો છે:
$x = x_1 + x_2$
કિંમતો મૂકતા, આપણને મળે છે:
$x = F/K_1 + F/K_2 = F(1/K_1 + 1/K_2)$.

(C) ધારો કે માણસનું દળ '$m$' છે અને ગુરુત્વપ્રવેગ '$g$' છે.
જ્યારે લિફ્ટ '$a$' પ્રવેગથી ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે, ત્યારે આભાસી વજન $W_1 = m(g + a) = 660 \text{ N}$ થાય.
જ્યારે લિફ્ટ '$a$' પ્રવેગથી નીચેની તરફ ગતિ કરે છે, ત્યારે આભાસી વજન $W_2 = m(g - a) = 380 \text{ N}$ થાય.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$m(g + a) + m(g - a) = 660 + 380$
$mg + ma + mg - ma = 1040$
$2mg = 1040$
$mg = 520 \text{ N}$.
માણસનું સાચું વજન '$mg$' છે, જે $520 \text{ N}$ છે.

(D) તંત્રનું કુલ દળ $M_{total} = M + M/2 = 3M/2$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, તંત્રનો પ્રવેગ $a = F / M_{total} = F / (3M/2) = 2F / 3M$ થાય.
દોરડાના મધ્યમાં તણાવ શોધવા માટે, તે તણાવ દ્વારા ખેંચાતા તંત્રના ભાગને ધ્યાનમાં લો. આમાં $M$ દળનો બ્લોક અને દોરડાનો પ્રથમ અડધો ભાગ જેનું દળ $(M/2) / 2 = M/4$ છે, તેનો સમાવેશ થાય છે.
મધ્યમાં તણાવ $T$ દ્વારા ખેંચાતું કુલ દળ $M' = M + M/4 = 5M/4$ છે.
આ ભાગ માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $T = M'a = (5M/4) \times (2F/3M) = 5F/6$ મળે.

(C) લીસી ગરગડી પરથી પસાર થતી અવિસ્તરણીય દોરી વડે જોડાયેલા $m_1$ અને $m_2$ દળના તંત્ર માટે, પ્રવેગ $a$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$a = \frac{m_2 - m_1}{m_2 + m_1} g$
આપેલ છે કે પ્રવેગ $a = \frac{g}{n}$, તેથી બંને પદોને સરખાવતા:
$\frac{g}{n} = \frac{m_2 - m_1}{m_2 + m_1} g$
$\frac{1}{n} = \frac{m_2 - m_1}{m_2 + m_1}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$m_2 + m_1 = n(m_2 - m_1)$
$m_2 + m_1 = n m_2 - n m_1$
$m_1$ અને $m_2$ વાળા પદોને એક બાજુ લાવતા:
$m_1 + n m_1 = n m_2 - m_2$
$m_1(n + 1) = m_2(n - 1)$
તેથી, ગુણોત્તર $\frac{m_2}{m_1}$ થશે:
$\frac{m_2}{m_1} = \frac{n + 1}{n - 1}$

(B) જડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમ એટલે એવી ફ્રેમ કે જે પ્રવેગિત નથી, એટલે કે તે કાં તો સ્થિર છે અથવા અચળ વેગથી ગતિ કરી રહી છે.
વિકલ્પ $A$ માં, વિમાન ઉડાન ભરી રહ્યું છે, જેમાં પ્રવેગ હોય છે.
વિકલ્પ $B$ માં, બસ અચળ વેગથી ગતિ કરી રહી છે, જેનો અર્થ છે કે તેનો પ્રવેગ $0$ છે. તેથી, તે એક જડત્વીય ફ્રેમ છે.
વિકલ્પ $C$ માં, બાળક મેરી-ગો-રાઉન્ડમાં ગોળ ફરી રહ્યું છે, જેમાં દિશા બદલાવાને કારણે કેન્દ્રગામી પ્રવેગ ઉત્પન્ન થાય છે.
વિકલ્પ $D$ માં, ટ્રેન ધીમી પડી રહી છે, જેમાં પ્રતિપ્રવેગ (deceleration) હોય છે.
આમ, સાચો જવાબ $B$ છે.

(A) તંત્રનું કુલ દળ $M = 2 \text{ kg} + 8 \text{ kg} + 12 \text{ kg} = 22 \text{ kg}$ છે.
તંત્રનો પ્રવેગ $a = F / M = F / 22$ છે.
$T_1$ એ $12 \text{ kg}$ ના બ્લોકને ખેંચતી દોરીમાં રહેલું તણાવ છે. તેથી, $T_1 = 12 \times a = 12 \times (F / 22) = 6F / 11$.
$T_2$ એ $12 \text{ kg}$ અને $8 \text{ kg}$ ના બ્લોક્સને ખેંચતી દોરીમાં રહેલું તણાવ છે. તેથી, $T_2 = (12 + 8) \times a = 20 \times (F / 22) = 10F / 11$.
તણાવ $T_1$ અને $T_2$ નો ગુણોત્તર $T_1 / T_2 = (6F / 11) / (10F / 11) = 6 / 10 = 3 / 5$ થાય છે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ, પ્રમાણભૂત ભૌતિકશાસ્ત્રની ગણતરીમાં વિસંગતતા જણાય છે. આકૃતિના આધારે ગણતરી કરતા ગુણોત્તર $3:5$ મળે છે, જે વિકલ્પોમાં ઉપલબ્ધ નથી.

(B) શિરોલંબ વર્તુળમાં ફરતી ડોલમાંથી પાણી નીચે ન પડે તે માટે, સૌથી ઉપરના બિંદુએ લઘુત્તમ વેગ $v$ ઓછામાં ઓછો $\sqrt{rg}$ હોવો જોઈએ.
અહીં ત્રિજ્યા $r$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ છે.
કોણીય વેગ $\omega$ અને રેખીય વેગ $v$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = r\omega$ છે, જેનો અર્થ છે કે $\omega = v/r$.
લઘુત્તમ વેગ $v = \sqrt{rg}$ મૂકતા, આપણને $\omega = \frac{\sqrt{rg}}{r} = \sqrt{\frac{g}{r}}$ મળે છે.
પરિભ્રમણનો આવર્તકાળ $T$ એ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $T = 2\pi \sqrt{\frac{r}{g}}$ મળે છે.

(A) સૌથી નીચલા બિંદુએ, દોરીમાં તણાવ '$T$' નું સમીકરણ $T = mg + \frac{mv^2}{r}$ છે, જ્યાં '$v$' એ સૌથી નીચલા બિંદુએ વેગ છે અને '$r$' એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
પદાર્થ શિરોલંબ લૂપ પૂર્ણ કરે તે માટે, સૌથી ઉપરના બિંદુએ લઘુત્તમ વેગ $v_{top} = \sqrt{gr}$ હોવો જોઈએ.
સૌથી નીચલા બિંદુ અને સૌથી ઉપરના બિંદુ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{2}mv_{bottom}^2 = \frac{1}{2}mv_{top}^2 + mg(2r)$.
$v_{top}^2 = gr$ મૂકતા, આપણને $\frac{1}{2}mv_{bottom}^2 = \frac{1}{2}m(gr) + 2mgr = \frac{5}{2}mgr$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $v_{bottom}^2 = 5gr$.
હવે, તણાવના સમીકરણમાં $v_{bottom}^2 = 5gr$ મૂકતા: $T = mg + \frac{m(5gr)}{r} = mg + 5mg = 6mg$.
આમ, સૌથી નીચલા બિંદુએ આભાસી વજન (તણાવ) $6mg$ છે.

(A) આપેલ દળ $m = 1 \text{ kg}$ અને બળ $\vec{F} = t\hat{i} + 3t^2\hat{j}$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા, પ્રવેગ $\vec{a} = \vec{F}/m = (t\hat{i} + 3t^2\hat{j}) / 1 = t\hat{i} + 3t^2\hat{j} \text{ m/s}^2$.
વેગ $\vec{v} = \int \vec{a} dt = \int (t\hat{i} + 3t^2\hat{j}) dt = (t^2/2)\hat{i} + t^3\hat{j} \text{ m/s}$ (ધારો કે પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય છે).
$t = 2 \text{ s}$ સમયે:
બળ $\vec{F} = 2\hat{i} + 3(2)^2\hat{j} = 2\hat{i} + 12\hat{j} \text{ N}$.
વેગ $\vec{v} = (2^2/2)\hat{i} + 2^3\hat{j} = 2\hat{i} + 8\hat{j} \text{ m/s}$.
પાવર $P = \vec{F} \cdot \vec{v} = (2\hat{i} + 12\hat{j}) \cdot (2\hat{i} + 8\hat{j}) = (2 \times 2) + (12 \times 8) = 4 + 96 = 100 \text{ W}$.

(B) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, મહત્તમ સંકોચન સમયે બ્લોકની ગતિ ઉર્જા સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}Kx^2$
વેગ '$v$' માટે ઉકેલતા:
$v^2 = \frac{K}{m}x^2 \implies v = x\sqrt{\frac{K}{m}}$
બ્લોકનું વેગમાન '$p$' એ દળ અને વેગનો ગુણાકાર છે:
$p = mv = m \left( x\sqrt{\frac{K}{m}} \right)$
$p = x\sqrt{m^2 \cdot \frac{K}{m}} = x\sqrt{Km}$

(C) સ્પ્રિંગને તેની મૂળ સ્થિતિમાંથી '$x$' લંબાઈ સુધી ખેંચવા માટે થયેલ કાર્ય $W = \frac{1}{2}Kx^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $K$ એ સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક છે.
પ્રથમ તબક્કા માટે, સ્થાનાંતર $x$ છે, તેથી થયેલ કાર્ય $W_1 = \frac{1}{2}Kx^2$ છે.
બીજા તબક્કા માટે, સ્પ્રિંગને $x$ ના વિસ્તરણથી $2x$ ના વિસ્તરણ સુધી ખેંચવામાં આવે છે. થયેલ કાર્ય $W_2$ એ સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર છે:
$W_2 = U_{\text{અંતિમ}} - U_{\text{પ્રારંભિક}} = \frac{1}{2}K(2x)^2 - \frac{1}{2}Kx^2$.
$W_2 = \frac{1}{2}K(4x^2) - \frac{1}{2}Kx^2 = \frac{1}{2}K(3x^2) = 3(\frac{1}{2}Kx^2)$.
કારણ કે $W_1 = \frac{1}{2}Kx^2$, તેથી $W_2 = 3W_1$ થાય છે.

(D) એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત માટે, વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ $m_1 V_1 - m_2 V_2 = -m_1 V_2 + m_2 V_1$ થાય છે.
પદોને ગોઠવતા, આપણને $m_1(V_1 + V_2) = m_2(V_1 + V_2)$ મળે છે.
અહીં $V_1 + V_2 \neq 0$ હોવાથી, બંને બાજુ $(V_1 + V_2)$ વડે ભાગતા $m_1 = m_2$ મળે છે.
તેથી, ગુણોત્તર $\frac{m_2}{m_1} = 1$ થાય છે.

(A) વ્યાખ્યા મુજબ, સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ એ એવી અથડામણ છે જેમાં ગતિઊર્જાનો કોઈ વ્યય થતો નથી.
તેથી, અથડામણ પહેલાં તંત્રની કુલ ગતિઊર્જા એ અથડામણ પછી તંત્રની કુલ ગતિઊર્જા જેટલી જ રહે છે.
વધુમાં, સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $(e)$ નું મૂલ્ય $1$ હોય છે.

(B) ધારો કે કેન્દ્ર $A$ નું સ્થાન ઉગમબિંદુ પર છે, તેથી $x_A = 0$ છે.
ગોળાઓ સમાન છે અને એકબીજાને સ્પર્શે છે, તેથી ક્રમિક કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર ગોળાઓના વ્યાસ જેટલું છે, ધારો કે તે $d$ છે.
તેથી, $x_A = 0$, $x_B = d$, અને $x_C = 2d$ છે.
નોંધો કે $AB = d$ અને $AC = 2d$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $X_{cm}$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$X_{cm} = \frac{m(x_A) + m(x_B) + m(x_C)}{m + m + m}$
$X_{cm} = \frac{m(0) + m(d) + m(2d)}{3m} = \frac{3md}{3m} = d$ મળે છે.
હવે, $d$ ને આપેલા અંતરોના પદોમાં દર્શાવતા:
કારણ કે $AB = d$ અને $AC = 2d$ છે, તેથી $d = AB$ અને $d = AC/2$ છે.
વધુમાં, $AB + AC = d + 2d = 3d$, તેથી $d = \frac{AB + AC}{3}$ થાય.
આમ, $A$ થી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર $\frac{AB + AC}{3}$ છે.

(D) ધારો કે કણ $A$ નું સ્થાન $x_1 = 0$ cm અને કણ $B$ નું સ્થાન $x_2 = 9$ cm છે.
દળ $m_1 = 2$ g અને $m_2 = 4$ g છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $X_{cm}$ શોધવાનું સૂત્ર:
$X_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$X_{cm} = \frac{2(0) + 4(9)}{2 + 4} = \frac{36}{6} = 6$ cm ($A$ થી).
કુલ લંબાઈ $9$ cm હોવાથી, $B$ થી અંતર $9 - 6 = 3$ cm થશે.
આમ, દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $A$ થી $6$ cm દૂર અથવા $B$ થી $3$ cm દૂર છે.

(B) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન એ અથડામણ પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
$M$ દળનું પ્રારંભિક વેગમાન: $\vec{p}_1 = M(V\hat{i}) = MV\hat{i}$.
$2M$ દળનું પ્રારંભિક વેગમાન: $\vec{p}_2 = 2M(3V\hat{j}) = 6MV\hat{j}$.
કુલ પ્રારંભિક વેગમાન: $\vec{p}_{initial} = MV\hat{i} + 6MV\hat{j}$.
અથડામણ પછી, બંને દળ જોડાઈને $(M + 2M) = 3M$ દળનો એક પદાર્થ બનાવે છે.
ધારો કે અંતિમ વેગ $\vec{V}_{final}$ છે.
અંતિમ વેગમાન: $\vec{p}_{final} = (3M)\vec{V}_{final}$.
પ્રારંભિક અને અંતિમ વેગમાનને સરખાવતા: $MV\hat{i} + 6MV\hat{j} = 3M\vec{V}_{final}$.
$3M$ વડે ભાગતા: $\vec{V}_{final} = \frac{MV\hat{i} + 6MV\hat{j}}{3M} = \frac{V}{3}\hat{i} + 2V\hat{j}$.

(B) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, શરૂઆતમાં પદાર્થ સ્થિર હોવાથી, કુલ પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
તેથી, અંતિમ વેગમાન પણ $0$ હોવું જોઈએ: $M_1 V_1 - M_2 V_2 = 0 \implies M_1 V_1 = M_2 V_2$.
આના પરથી વેગનો ગુણોત્તર $V_1/V_2 = M_2/M_1$ મળે છે.
ગતિઊર્જા $K$ એ $K = \frac{1}{2} M V^2 = \frac{P^2}{2M}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $P$ એ વેગમાન છે.
વેગમાનના મૂલ્યો સમાન હોવાથી $(P_1 = P_2 = P)$, ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{K_1}{K_2} = \frac{P^2 / (2M_1)}{P^2 / (2M_2)} = \frac{M_2}{M_1}$ થાય છે.

(B) એક દડા માટે વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p = mv - (-mv) = 2mv$ છે.
અહીં $100$ દડાઓ હોવાથી, વેગમાનમાં થતો કુલ ફેરફાર $\Delta P_{total} = 100 \times 2mv = 200mv$ થશે.
દીવાલ પર લાગતું બળ એ વેગમાનના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે, $F = \Delta P_{total} / t$.
તેથી, $F = 200mv/t$.

(B) મશીનગન દ્વારા લાગતું બળ એ ગોળીઓના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
$F = n \cdot \frac{\Delta p}{\Delta t} = n \cdot m \cdot v$
જ્યાં $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ છોડવામાં આવતી ગોળીઓની સંખ્યા છે, $m$ એ એક ગોળીનું દળ છે, અને $v$ એ ગોળીનો વેગ છે.
આપેલ છે: $m = 40 \text{ g} = 0.04 \text{ kg}$, $v = 600 \text{ m/s}$, અને $F = 168 \text{ N}$.
કિંમતો મૂકતા:
$168 = n \cdot (0.04 \text{ kg}) \cdot (600 \text{ m/s})$
$168 = n \cdot 24$
$n = \frac{168}{24} = 7$
તેથી, પ્રતિ સેકન્ડ છોડી શકાતી ગોળીઓની સંખ્યા $7$ છે.

(A) લીસા ઢળતા સમતલ પર સરકતા પદાર્થ માટે, ઘર્ષણ ન હોવાથી, બધી સ્થિતિઊર્જાનું રૂપાંતર સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જામાં થાય છે: $mgh = \frac{1}{2}mV^2$, જે આપે છે $V = \sqrt{2gh}$ અથવા $V^2 = 2gh$.
તે જ ઢળતા સમતલ પર ગબડતી રીંગ માટે, સ્થિતિઊર્જાનું રૂપાંતર સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિઊર્જા બંનેમાં થાય છે: $mgh = \frac{1}{2}mv'^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
રીંગ માટે $I = mr^2$ અને $\omega = v'/r$ હોવાથી, આપણને મળે છે $mgh = \frac{1}{2}mv'^2 + \frac{1}{2}(mr^2)(v'/r)^2 = \frac{1}{2}mv'^2 + \frac{1}{2}mv'^2 = mv'^2$.
આમ, $v'^2 = gh$.
$gh = V^2/2$ ને સમીકરણમાં મૂકતા, આપણને મળે છે $v'^2 = V^2/2$, જેનો અર્થ છે કે $v' = \frac{V}{\sqrt{2}}$.

(B) ગબડતી વસ્તુની કુલ ગતિઊર્જા $(KE)$ એ તેની સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે: $KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
નક્કર ગોળા માટે, જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}mr^2$ અને સરક્યા વિના ગબડવા માટે, $\omega = v/r$.
આ કિંમતો મૂકતા, $KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2)(v/r)^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$.
અહીં $m = 1$ kg અને $KE = 7 \times 10^{-3}$ $J$ આપેલ છે:
$7 \times 10^{-3} = \frac{7}{10} (1) v^2$.
$v^2 = 10^{-2} \implies v = 0.1$ m/s.
cm/s માં રૂપાંતર કરતા: $0.1 \text{ m/s} = 0.1 \times 100 \text{ cm/s} = 10 \text{ cm/s}$.

(A) ઢળતા સમતલ પર ગબડતા પદાર્થનો પ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{1 + k^2/R^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $k$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે અને $R$ એ પદાર્થની ત્રિજ્યા છે.
નક્કર નળાકાર માટે, જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} MR^2$ છે, તેથી $k^2 = R^2/2$, જે $k^2/R^2 = 1/2$ આપે છે.
આમ, $a_c = \frac{g \sin \theta}{1 + 1/2} = \frac{g \sin \theta}{3/2} = \frac{2}{3} g \sin \theta$.
નક્કર ગોળા માટે, જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} MR^2$ છે, તેથી $k^2 = 2/5 R^2$, જે $k^2/R^2 = 2/5$ આપે છે.
આમ, $a_s = \frac{g \sin \theta}{1 + 2/5} = \frac{g \sin \theta}{7/5} = \frac{5}{7} g \sin \theta$.
નળાકાર અને ગોળાના પ્રવેગનો ગુણોત્તર $a_c/a_s = (2/3) / (5/7) = (2/3) \times (7/5) = 14/15$ થાય.

(B) નક્કર ગોળા માટે, તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
ગોળો સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી, તેનો રેખીય વેગ $v$ અને કોણીય વેગ $\omega$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = R\omega$ છે.
ચાકગતિઊર્જા $K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(\frac{2}{5}MR^2)(\frac{v^2}{R^2}) = \frac{1}{5}Mv^2$ થાય.
સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા $K_{trans} = \frac{1}{2}Mv^2$ છે.
કુલ ગતિઊર્જા $K_{total} = K_{trans} + K_{rot} = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{5}Mv^2 = \frac{7}{10}Mv^2$ થાય.
કુલ ગતિઊર્જા અને ચાકગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_{total}}{K_{rot}} = \frac{\frac{7}{10}Mv^2}{\frac{1}{5}Mv^2} = \frac{7}{10} \times 5 = \frac{7}{2}$ મળે.

(D) નક્કર ગોળો જ્યારે ઢળતી સપાટી પર ગબડે છે, ત્યારે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mgh = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
અહીં $I = \frac{2}{5}mr^2$ અને $\omega = \frac{v_1}{r}$ હોવાથી: $mgh = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2)(\frac{v_1}{r})^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{5}mv_1^2 = \frac{7}{10}mv_1^2$.
તેથી, $v_1 = \sqrt{\frac{10gh}{7}}$.
જ્યારે ગોળો સરકે છે (ઘર્ષણ વગર), ત્યારે સ્થિતિ ઉર્જા સંપૂર્ણપણે સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $mgh = \frac{1}{2}mv_2^2$.
તેથી, $v_2 = \sqrt{2gh}$.
ગુણોત્તર $V_1 : V_2 = \sqrt{\frac{10gh}{7}} : \sqrt{2gh} = \sqrt{\frac{10}{7}} : \sqrt{2} = \sqrt{\frac{5}{7}} = \sqrt{5} : \sqrt{7}$.

(A) પૃથ્વીની ચાકગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
$I = \frac{2}{5} MR^2$ હોવાથી, આપણે લખી શકીએ $K = \frac{1}{2} (\frac{2}{5} MR^2) \omega^2 = \frac{L^2}{2I}$, જ્યાં $L = I\omega$ એ કોણીય વેગમાન છે.
પૃથ્વી પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી, કોણીય વેગમાન $L$ અચળ રહે છે.
તેથી, $K \propto \frac{1}{I}$.
ત્રિજ્યા $R' = R/3$ જેટલી સંકોચાય છે, તેથી નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = \frac{2}{5} M(R/3)^2 = \frac{1}{9} I$ થાય.
સંકોચન પછીની ગતિઊર્જા $(K')$ અને પહેલાની ગતિઊર્જા $(K)$ નો ગુણોત્તર $K'/K = I/I' = I / (I/9) = 9$ થાય.

(A) $m$ દળ ધરાવતા કણનું $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથમાં $\omega$ કોણીય વેગ સાથે ગતિ કરતા કોણીય વેગમાનનું સૂત્ર $L = I\omega$ છે, જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
બિંદુવત દળ $m$ માટે, જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mr^2$ છે.
તેથી, કોણીય વેગમાન $L = mr^2\omega$ થાય.
પ્રારંભિક સ્થિતિમાં, $L_1 = mr^2\omega$.
અંતિમ સ્થિતિમાં, દોરીની લંબાઈ (ત્રિજ્યા) અડધી કરવામાં આવે છે, તેથી $r' = r/2$, અને કોણીય વેગ $\omega$ અચળ રહે છે.
નવું કોણીય વેગમાન $L_2 = m(r')^2\omega$ થશે.
$r' = r/2$ મૂકતા, $L_2 = m(r/2)^2\omega = m(r^2/4)\omega = (1/4)mr^2\omega$.
આમ, $L_1 = mr^2\omega$ હોવાથી, $L_2 = L_1/4 = L/4$ મળે.

(A) ભ્રમણ કરતી વસ્તુનું કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $I$ એ જડત્વની આઘૂર્ણ છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે. ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{L^2}{2I}$ છે.
આપેલ છે: પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $= L$, પ્રારંભિક આવૃત્તિ $= f$, પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $= K$.
નવી આવૃત્તિ $f' = 3f$, જેનો અર્થ છે કે નવો કોણીય વેગ $\omega' = 3\omega$.
નવી ગતિઊર્જા $K' = K/3$.
સૂત્ર $L = \frac{2K}{\omega}$ નો ઉપયોગ કરતા:
નવું કોણીય વેગમાન $L' = \frac{2K'}{\omega'} = \frac{2(K/3)}{3\omega} = \frac{1}{9} \left( \frac{2K}{\omega} \right) = \frac{L}{9}$.

(B) કોઈ પદાર્થની ચાકગતિ ઉર્જા $(K)$ નું સૂત્ર: $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે, જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
આપેલ છે: $K = 500 \text{ J}$ અને આવૃત્તિ $f = 5 \text{ Hz}$.
કોણીય વેગ $\omega$ અને આવૃત્તિ $f$ વચ્ચેનો સંબંધ: $\omega = 2 \pi f$.
$f$ ની કિંમત મૂકતા: $\omega = 2 \times \pi \times 5 = 10 \pi \text{ rad/s}$.
હવે, ચાકગતિ ઉર્જાના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $500 = \frac{1}{2} \times I \times (10 \pi)^2$.
$500 = \frac{1}{2} \times I \times 100 \pi^2$.
$500 = 50 \times I \times \pi^2$.
$\pi^2 = 10$ લેતા: $500 = 50 \times I \times 10$.
$500 = 500 \times I$.
તેથી, $I = 1 \text{ kg m}^2$.

(A) પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 600 \text{ rpm} = \frac{600 \times 2\pi}{60} \text{ rad/s} = 20\pi \text{ rad/s}$.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = 0 \text{ rad/s}$.
લીધેલ સમય $t = 0.5 \text{ મિનિટ} = 30 \text{ s}$.
કોણીય ગતિના સમીકરણ $\omega = \omega_0 + \alpha t$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે:
$0 = 20\pi + \alpha(30)$.
$\alpha = -\frac{20\pi}{30} = -\frac{2\pi}{3} \text{ rad/s}^2$.
કોણીય મંદન એ કોણીય પ્રવેગનું મૂલ્ય છે, જે $\frac{2\pi}{3} \text{ rad/s}^2$ છે.

(C) મિનિટ કાંટાની કોણીય ઝડપ $(\omega_m)$ $2\pi / 60 \text{ min} = 2\pi / 1 \text{ કલાક} = 2\pi \text{ rad/h}$ છે.
કલાક કાંટાની કોણીય ઝડપ $(\omega_h)$ $2\pi / 12 \text{ કલાક} = \pi / 6 \text{ rad/h}$ છે.
સાપેક્ષ કોણીય ઝડપ $\omega_{rel} = \omega_m - \omega_h = 2\pi - \pi/6 = 11\pi/6 \text{ rad/h}$ થાય.
આને $\text{rad/s}$ માં ફેરવતા: $\omega_{rel} = (11\pi / 6) \text{ rad/h} \times (1 \text{ h} / 3600 \text{ s}) = 11\pi / 21600 \text{ rad/s}$ મળે.

(D) પરિભ્રમણ કરતા પદાર્થને આપવામાં આવતો પાવર $(P)$ એ ટોર્ક $(\tau)$ અને કોણીય વેગ $(\omega)$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
$P = \tau \cdot \omega$
આપણે જાણીએ છીએ કે ટોર્ક એ જડત્વની આઘૂર્ણ $(I)$ અને કોણીય પ્રવેગ $(\alpha)$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે:
$\tau = I \cdot \alpha$
ટોર્ક માટેના આ સમીકરણને પાવરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$P = (I \cdot \alpha) \cdot \omega$
તત્કાલીન કોણીય વેગ $(\omega)$ શોધવા માટે, સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\omega = P / (I \cdot \alpha)$
તેથી, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) કોઈ પદાર્થની ચાકગતિ ઉર્જા $K$ નું સૂત્ર $K = L^2 / (2I)$ છે, જ્યાં $L$ એ કોણીય વેગમાન છે અને $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
આપેલ છે કે બંને પદાર્થો $A$ અને $B$ ની ચાકગતિ ઉર્જા સમાન છે, તેથી $K_A = K_B$.
તેથી, $L_A^2 / (2I_A) = L_B^2 / (2I_B)$.
$L_A / L_B$ નો ગુણોત્તર શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા, આપણને $L_A^2 / L_B^2 = I_A / I_B$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા, આપણને $L_A / L_B = \sqrt{I_A / I_B}$ મળે છે.

(B) ભ્રમણ કરતી વસ્તુની ચાકગતિ ઊર્જા $K$ નું સૂત્ર $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે, જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
શરૂઆતમાં, $K = \frac{1}{2} I \omega^2$.
જ્યારે નૃત્યાંગના તેના હાથ ફેલાવે છે, ત્યારે નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = 3I$ અને નવો કોણીય વેગ $\omega' = \frac{1}{3} \omega$ થાય છે.
નવી ગતિ ઊર્જા $K'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$K' = \frac{1}{2} I' (\omega')^2$
$K' = \frac{1}{2} (3I) (\frac{1}{3} \omega)^2$
$K' = \frac{1}{2} (3I) (\frac{1}{9} \omega^2)$
$K' = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} I \omega^2)$
કારણ કે $K = \frac{1}{2} I \omega^2$, તેથી $K' = \frac{K}{3}$.

(B) કોણીય વેગ $\omega$ અને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ સાથે ભ્રમણ કરતા પદાર્થની ચાકગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થનું કોણીય વેગમાન $L = I \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય વેગમાનના સમીકરણ પરથી, આપણને $\omega = \frac{L}{I}$ મળે છે.
આ કિંમતને ચાકગતિ ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$K = \frac{1}{2} I \left( \frac{L}{I} \right)^2 = \frac{1}{2} I \left( \frac{L^2}{I^2} \right) = \frac{L^2}{2I}$.
અહીં $K = x$ અને $L = y$ આપેલ હોવાથી, $x = \frac{y^2}{2I}$ થાય.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા, $I = \frac{y^2}{2x}$ મળે છે.

(C) ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ ના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે, એટલે કે $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$.
અહીં $\vec{r} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{F} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ આપેલ છે.
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix}$.
$\vec{\tau} = \hat{i}(-1 - (-2)) - \hat{j}(-1 - (-3)) + \hat{k}(2 - 3)$.
$\vec{\tau} = \hat{i}(1) - \hat{j}(2) + \hat{k}(-1) = \hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$.
ટોર્કનું મૂલ્ય $|\vec{\tau}| = \sqrt{(1)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \text{ N m}$ થાય.

(B) ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $k$ એ સૂત્ર $I = Mk^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $I$ એ જડત્વની આઘૂર્ણ છે અને $M$ એ પદાર્થનું દળ છે.
કિસ્સો $1$: ધરી કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે અને લંબાઈને લંબ છે.
જડત્વની આઘૂર્ણ $I_1 = \frac{ML^2}{12}$ છે.
તેથી, $Mk_1^2 = \frac{ML^2}{12} \implies k_1 = \frac{L}{\sqrt{12}} = \frac{L}{2\sqrt{3}}$.
કિસ્સો $2$: ધરી એક છેડામાંથી પસાર થાય છે અને લંબાઈને લંબ છે.
જડત્વની આઘૂર્ણ $I_2 = \frac{ML^2}{3}$ છે.
તેથી, $Mk_2^2 = \frac{ML^2}{3} \implies k_2 = \frac{L}{\sqrt{3}}$.
પ્રથમ કિસ્સામાં અને બીજા કિસ્સામાં ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર:
$\frac{k_1}{k_2} = \frac{L / (2\sqrt{3})}{L / \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$.

(C) પ્રારંભિક સ્થિતિ: પ્રથમ રીંગની જડત્વની આઘૂર્ણ $I_1 = I$ છે. કોણીય વેગ $\omega_1 = \omega$ છે. પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
અંતિમ સ્થિતિ: જ્યારે તેના પર બીજી સમાન રીંગ મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે કુલ જડત્વની આઘૂર્ણ $I_f = I + I = 2I$ થાય છે. તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી, કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે: $L_i = L_f$.
$I \omega = (2I) \omega_f$, જે આપણને $\omega_f = \frac{\omega}{2}$ આપે છે.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2} (2I) (\frac{\omega}{2})^2 = I \cdot \frac{\omega^2}{4} = \frac{1}{4} I \omega^2$ થાય છે.
ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta K = K_i - K_f = \frac{1}{2} I \omega^2 - \frac{1}{4} I \omega^2 = \frac{1}{4} I \omega^2$ છે.

(B) તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ $I = \frac{1}{2}MR^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: દળ $M = 1$ kg, ત્રિજ્યા $R = 0.4$ m,કોણીય પ્રવેગ $\alpha = 10$ rad/s$^2$.
$I = \frac{1}{2} \times 1 \times (0.4)^2 = 0.5 \times 0.16 = 0.08$ kg m$^2$.
ટોર્ક $(\tau)$ $\tau = I\alpha$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\tau = 0.08 \times 10 = 0.8$ Nm.
વળી, ટોર્ક $\tau = F \times R$ દ્વારા પણ મળે છે, જ્યાં $F$ એ સ્પર્શક બળ છે.
$0.8 = F \times 0.4$.
$F = \frac{0.8}{0.4} = 2$ $N$.
તેથી, તકતીની કિનારી પર લાગતું સ્પર્શક બળ $2$ $N$ છે.

(B) સળિયાનું દળ $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = (A \times L) \times d = 2Ad$ થાય.
સળિયાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{12} ML^2$ છે.
$M = 2Ad$ અને $L = 2 \text{ m}$ મૂકતા:
$I = \frac{1}{12} (2Ad) (2)^2 = \frac{1}{12} (2Ad) (4) = \frac{8Ad}{12} = \frac{2}{3} Ad$ મળે.
ચાકગતિ ઉર્જા $E = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
$I = \frac{2}{3} Ad$ મૂકતા:
$E = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} Ad) \omega^2 = \frac{1}{3} Ad \omega^2$ થાય.
$\omega^2$ માટે ઉકેલતા:
$\omega^2 = \frac{3E}{Ad}$.
વર્ગમૂળ લેતા:
$\omega = (\frac{3E}{Ad})^{1/2}$ મળે.
આપેલ સમીકરણ $\omega = (\frac{\alpha E}{Ad})^{1/2}$ સાથે સરખાવતા, $\alpha = 3$ મળે છે.

(A) ધારો કે દરેક સમાન એર કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે.
શરૂઆતમાં, બંને $V$ e.m.f. ધરાવતી બેટરી સાથે શ્રેણીમાં છે. સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C/2$ છે.
જ્યારે એક કેપેસિટરને $K$ અચળાંક ધરાવતા ડાયઇલેક્ટ્રિકમાં મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે તેનું નવું કેપેસિટન્સ $C' = KC$ થાય છે.
નવું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}' = \frac{C \cdot KC}{C + KC} = \frac{KC}{K + 1}$ થાય છે.
બેટરી દ્વારા આપવામાં આવતો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = C_{eq}' V = \frac{KCV}{K + 1}$ છે.
કેપેસિટર શ્રેણીમાં હોવાથી, બંનેમાંથી સમાન વિદ્યુતભાર $Q$ વહે છે.
એર કેપેસિટર (જેમાં ડાયઇલેક્ટ્રિક નથી) પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = \frac{Q}{C} = \frac{KCV}{C(K + 1)} = \frac{KV}{K + 1}$ થશે.

(C) $1$. આપેલ પરિપથમાં, કેપેસિટર $C_1$ અને $C_2$ શ્રેણીમાં છે, અને $C_3$ અને $C_4$ શ્રેણીમાં છે. આ બંને શાખાઓ એકબીજાને સમાંતર છે.
$2$. પ્રથમ શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $(C_1, C_2)$: $1/C_{12} = 1/C_1 + 1/C_2 = 1/1 + 1/2 = 3/2 \implies C_{12} = 2/3 \mu F$.
$3$. બીજી શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $(C_3, C_4)$: $1/C_{34} = 1/C_3 + 1/C_4 = 1/3 + 1/4 = 7/12 \implies C_{34} = 12/7 \mu F$.
$4$. $C_2$ પરનો વિદ્યુતભાર $(Q_2)$: $C_1$ અને $C_2$ શ્રેણીમાં હોવાથી, તેમનો વિદ્યુતભાર સમાન હશે $Q_{12} = C_{12} \times V$.
$5$. $C_4$ પરનો વિદ્યુતભાર $(Q_4)$: $C_3$ અને $C_4$ શ્રેણીમાં હોવાથી, તેમનો વિદ્યુતભાર સમાન હશે $Q_{34} = C_{34} \times V$.
$6$. ગુણોત્તર $Q_2/Q_4$ ની ગણતરી કરતા સાચો જવાબ $2/9$ મળે છે.

(A) ધારો કે દરેક સમાન કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે.
ત્રણ કેપેસિટરોના શ્રેણી જોડાણ માટે, સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_s = C/3$ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_s = (1/2) C_s V_s^2 = (1/2) (C/3) V_s^2 = (C V_s^2) / 6$ છે.
ત્રણ કેપેસિટરોના સમાંતર જોડાણ માટે, સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = 3C$ છે.
સમાંતર જોડાણમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_p = (1/2) C_p V_p^2 = (1/2) (3C) V_p^2 = (3 C V_p^2) / 2$ છે.
આપેલ છે કે સંગ્રહિત ઉર્જા સમાન છે, તેથી $U_p = U_s$.
$(3 C V_p^2) / 2 = (C V_s^2) / 6$.
$V_p^2 / V_s^2 = (1/6) * (2/3) = 2/18 = 1/9$.
વર્ગમૂળ લેતા, $V_p / V_s = 1/3$.
આમ, સમાંતર અને શ્રેણી જોડાણમાં વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતનો ગુણોત્તર $1 : 3$ છે.

(B) જ્યારે કેપેસિટરોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે, ત્યારે દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ સમાન હોય છે.
સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ એ $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{C_1 + C_2}{C_1 C_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, તેથી $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$ થાય.
સંયોજનમાં સંગ્રહિત કુલ વિદ્યુતભાર $Q = C_{eq} V = \left( \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} \right) V$ છે.
કેપેસિટર $C_2$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_2 = \frac{Q}{C_2}$ છે.
$Q$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $V_2 = \frac{1}{C_2} \left( \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} \right) V = \frac{C_1 V}{C_1 + C_2}$ મળે છે.

(A) $1$. શરૂઆતમાં, $2C$ અને $C$ કેપેસિટર સમાંતર જોડાયેલા છે અને $V$ સ્થિતિમાનની બેટરી સાથે જોડાયેલા છે. સંગ્રહિત કુલ વિદ્યુતભાર $Q = (2C + C)V = 3CV$ છે.
$2$. જ્યારે બેટરી દૂર કરવામાં આવે છે, ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q = 3CV$ અચળ રહે છે.
$3$. કેપેસિટર $C$ માં $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક ભર્યા પછી, તેનું નવું કેપેસિટન્સ $C' = KC$ થાય છે. $2C$ કેપેસિટર બદલાતું નથી.
$4$. કેપેસિટર હજુ પણ સમાંતરમાં છે, તેથી તેઓ સમાન સ્થિતિમાનનો તફાવત $V'$ ધરાવે છે.
$5$. નવું કુલ કેપેસિટન્સ $C_{eq} = 2C + KC = C(K + 2)$ છે.
$6$. $Q = C_{eq}V'$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા, આપણને $3CV = C(K + 2)V'$ મળે છે.
$7$. $V'$ માટે ઉકેલતા, $V' = \frac{3CV}{C(K + 2)} = \frac{3V}{(K + 2)}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $C_1 = C$ અને $C_2 = 2C$.
શ્રેણી જોડાણ માટે, સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_s = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{C \times 2C}{C + 2C} = \frac{2C^2}{3C} = \frac{2}{3}C$ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_s = \frac{1}{2} C_s V_s^2 = \frac{1}{2} (\frac{2}{3}C) V_s^2 = \frac{1}{3} C V_s^2$ છે.
સમાંતર જોડાણ માટે, સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_p = C_1 + C_2 = C + 2C = 3C$ છે.
સમાંતર જોડાણમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_p = \frac{1}{2} C_p V_p^2 = \frac{1}{2} (3C) V_p^2 = \frac{3}{2} C V_p^2$ છે.
આપેલ છે કે સંગ્રહિત ઉર્જા સમાન છે, તેથી $U_s = U_p$.
$\frac{1}{3} C V_s^2 = \frac{3}{2} C V_p^2$.
$\frac{V_s^2}{V_p^2} = \frac{3}{2} \times 3 = \frac{9}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા, $\frac{V_s}{V_p} = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
આમ, ગુણોત્તર $V_s : V_p = 3 : \sqrt{2}$ છે.

(D) પરિપથ આકૃતિ પરથી, કેપેસિટર $C_1$ અને $C_2$ સમાંતર જોડાણમાં છે.
ધારો કે સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = C_1 + C_2$ છે.
હવે, પરિપથમાં $C_p$ અને $C_3$ વોલ્ટેજ સ્ત્રોત $V$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
શ્રેણી પરિપથમાં, વોલ્ટેજ કેપેસિટન્સના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં વહેંચાય છે.
કેપેસિટર માટે વોલ્ટેજ ડિવાઈડરના નિયમ મુજબ $C_3$ પરનો વોલ્ટેજ:
$V_3 = V \times \frac{C_p}{C_p + C_3}$
સમીકરણમાં $C_p = C_1 + C_2$ મૂકતા:
$V_3 = V \times \frac{C_1 + C_2}{C_1 + C_2 + C_3}$
આમ, $C_3$ પરનો વોલ્ટેજ $\frac{(C_1 + C_2)V}{(C_1 + C_2 + C_3)}$ થશે.

(C) આકૃતિ પરથી, ત્રણ કેપેસિટરો $2C$, $3C$, અને $4C$ સમાંતર જોડાણમાં છે.
ધારો કે આ સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p$ છે.
$C_p = 2C + 3C + 4C = 9C$ થાય.
હવે, આ સંયોજન $C_p$, બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચે કેપેસિટ $C^1$ સાથે શ્રેણી જોડાણમાં છે.
શ્રેણી જોડાણમાં બે કેપેસિટરોનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ શોધવાનું સૂત્ર $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_p} + \frac{1}{C^1}$ છે.
અહીં $C_{eq} = 6C$ આપેલ છે, તેથી:
$\frac{1}{6C} = \frac{1}{9C} + \frac{1}{C^1}$.
$\frac{1}{C^1} = \frac{1}{6C} - \frac{1}{9C}$.
$\frac{1}{C^1} = \frac{3 - 2}{18C} = \frac{1}{18C}$.
તેથી, $C^1 = 18C$ મળે.

(A) ધારો કે દરેક કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં, સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_s = C/3$ થાય છે.
શ્રેણીમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_s = (1/2) C_s V^2 = (1/2) (C/3) V^2 = (1/6) C V^2$ છે.
સમાંતર જોડાણમાં, સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = 3C$ થાય છે.
સમાંતર જોડાણમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_p = (1/2) C_p V^2 = (1/2) (3C) V^2 = (3/2) C V^2$ છે.
શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનો ગુણોત્તર $U_s / U_p = ((1/6) C V^2) / ((3/2) C V^2) = (1/6) * (2/3) = 2/18 = 1/9$ થાય છે.
આમ, ગુણોત્તર $1 : 9$ છે.

(B) ધારો કે સર્કિટ ડાયાગ્રામના આધારે નોડ્સ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. સર્કિટમાં $3C, 3C, 2C, 1C, 2C$ મૂલ્યના પાંચ કેપેસિટર્સ છે.
સર્કિટનું વિશ્લેષણ કરીને, આપણે તેને સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સરળ બનાવી શકીએ છીએ.
$1$. $3C$ કેપેસિટર (ઉપર ડાબી બાજુ) અને $3C$ કેપેસિટર (વર્ટિકલ) શ્રેણીમાં છે, જે $C_{eq1} = (3C \times 3C) / (3C + 3C) = 1.5C$ આપે છે.
$2$. $1C$ અને $2C$ કેપેસિટર્સ (જમણી બાજુ) શ્રેણીમાં છે, જે $C_{eq2} = (1C \times 2C) / (1C + 2C) = (2/3)C$ આપે છે.
$3$. આ બંને શાખાઓ મધ્યના $2C$ કેપેસિટર સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે.
$4$. કુલ સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq} = 1.5C + (2/3)C + 2C = 6C$ છે.
સંગ્રહિત ઉર્જા $U = (1/2) C_{eq} V^2 = (1/2) (6C) V^2 = 3CV^2$ છે.
આમ, સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $6C$ છે અને ઉર્જા $3CV^2$ છે.

(C) પ્રથમ કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર: $q_1 = CV$.
બીજા કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર: $q_2 = (3C)(3V) = 9CV$.
તેમને વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતા સાથે જોડવામાં આવ્યા હોવાથી, કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{net} = q_2 - q_1 = 9CV - CV = 8CV$.
સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C + 3C = 4C$ છે.
સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V'$ એ $V' = Q_{net} / C_{eq} = 8CV / 4C = 2V$ દ્વારા મળે છે.
ગોઠવણીની અંતિમ ઉર્જા $U_f = (1/2) C_{eq} (V')^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $U_f = (1/2) (4C) (2V)^2 = (1/2) (4C) (4V^2) = 8CV^2$.

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A'}{d'}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $A'$ એ ક્ષેત્રફળ છે અને $d'$ એ અંતર છે.
દરેક કેપેસિટરનું ક્ષેત્રફળ $A' = A/3$ આપેલ છે.
ત્રણ કેપેસિટરના કેપેસિટન્સ નીચે મુજબ છે:
$C_1 = \frac{\epsilon_0 (A/3)}{d} = \frac{\epsilon_0 A}{3d}$
$C_2 = \frac{\epsilon_0 (A/3)}{2d} = \frac{\epsilon_0 A}{6d}$
$C_3 = \frac{\epsilon_0 (A/3)}{3d} = \frac{\epsilon_0 A}{9d}$
તેઓ સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી, સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ એ વ્યક્તિગત કેપેસિટન્સનો સરવાળો થશે:
$C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3$
$C_{eq} = \frac{\epsilon_0 A}{3d} + \frac{\epsilon_0 A}{6d} + \frac{\epsilon_0 A}{9d}$
છેદમાં $18d$ સામાન્ય લેતા:
$C_{eq} = \frac{6\epsilon_0 A + 3\epsilon_0 A + 2\epsilon_0 A}{18d} = \frac{11\epsilon_0 A}{18d}$.

(D) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સુવાહક ગોળા માટે, મુક્ત અવકાશમાં કેપેસિટન્સ $C = 4\pi\epsilon_0R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગોળાનું ઘનફળ $V = (4/3)\pi R^3$ છે.
ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $A = 4\pi R^2$ છે.
ઘનફળને પૃષ્ઠફળ વડે ભાગતા, આપણને $V/A = [(4/3)\pi R^3] / [4\pi R^2] = R/3$ મળે છે.
તેથી, $R = 3V/A$.
$R$ ની આ કિંમતને કેપેસિટન્સના સૂત્રમાં મૂકતા:
$C = 4\pi\epsilon_0(3V/A) = 12\pi\epsilon_0V/A$.

(A) હવા ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસીટન્સ $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d} = 15 \text{ pF}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર બમણું $(d' = 2d)$ કરવામાં આવે અને $K = 3.5$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતું માધ્યમ ઉમેરવામાં આવે, ત્યારે નવું કેપેસીટન્સ $C' = \frac{K \epsilon_0 A}{d'}$ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા, $C' = \frac{3.5 \times \epsilon_0 A}{2d} = \frac{3.5}{2} \times C_0$.
$C' = 1.75 \times 15 \text{ pF} = 26.25 \text{ pF}$.
આપેલ છે કે $C' = x/4 \text{ pF}$, તેથી $26.25 = x/4$.
આમ, $x = 26.25 \times 4 = 105$.

(B) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસીટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કેપેસિટર માટે, ક્ષેત્રફળ $A_1 = A/2$ અને અંતર $d_1 = d$ છે. તેથી, $C_1 = \frac{\epsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{\epsilon_0 A}{2d}$.
બીજા કેપેસિટર માટે, ક્ષેત્રફળ $A_2 = A/2$ અને અંતર $d_2 = 2d$ છે. તેથી, $C_2 = \frac{\epsilon_0 (A/2)}{2d} = \frac{\epsilon_0 A}{4d}$.
કેપેસિટરો સમાંતરમાં જોડાયેલા હોવાથી, સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2$ થશે.
$C_{eq} = \frac{\epsilon_0 A}{2d} + \frac{\epsilon_0 A}{4d} = \frac{2\epsilon_0 A + \epsilon_0 A}{4d} = \frac{3\epsilon_0 A}{4d}$.

(C) જ્યારે $q_1$ અને $q_2$ વિદ્યુતભાર ધરાવતી બે મોટી વાહક પ્લેટોને એકબીજાને સમાંતર મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે અંદરની સપાટીઓ પરનો વિદ્યુતભાર $q_{inner} = \frac{q_1 - q_2}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ વિદ્યુતભાર $q_{inner}$ પ્લેટો વચ્ચેના વિદ્યુતક્ષેત્ર માટે જવાબદાર છે.
પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{q_{inner}}{A \epsilon_0} = \frac{q_1 - q_2}{2A \epsilon_0}$ છે.
પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = E \cdot d$ છે, જ્યાં $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{A \epsilon_0}{d}$ હોવાથી, આપણને $\frac{1}{C} = \frac{d}{A \epsilon_0}$ મળે છે.
આ કિંમત $V$ ના સમીકરણમાં મૂકતા, $V = \frac{q_1 - q_2}{2A \epsilon_0} \cdot d = \frac{q_1 - q_2}{2} \cdot \frac{d}{A \epsilon_0} = \frac{q_1 - q_2}{2C}$ મળે છે.

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $A$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે અને $d$ એ તેમની વચ્ચેનું અંતર છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર પ્લેટો માટે, ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$.
તેથી, $C_1 = \frac{\epsilon_0 \pi r^2}{d}$.
બીજા કિસ્સામાં, નવી ત્રિજ્યા $r' = \sqrt{3}r$ અને નવું અંતર $d' = \frac{d}{2}$ છે.
નવું ક્ષેત્રફળ $A' = \pi (r')^2 = \pi (\sqrt{3}r)^2 = 3\pi r^2$.
નવું કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{\epsilon_0 A'}{d'} = \frac{\epsilon_0 (3\pi r^2)}{d/2} = 6 \left( \frac{\epsilon_0 \pi r^2}{d} \right) = 6C_1$.
તેથી, ગુણોત્તર $C_1 : C_2 = C_1 : 6C_1 = 1 : 6$.

(B) $9\text{A}$ નો કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ બિંદુ $P$ પર દાખલ થાય છે અને બે માર્ગોમાં વહેંચાય છે: એક માર્ગ સીધો શાખા $PR$ માંથી પસાર થાય છે (જેમાં વિદ્યુતપ્રવાહ $I_2$ વહે છે), અને બીજો માર્ગ શાખા $PQ$ અને પછી $QR$ માંથી પસાર થઈને $R$ સુધી પહોંચે છે (જેમાં વિદ્યુતપ્રવાહ $I_1$ વહે છે).
ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી અને દરેક બાજુનો અવરોધ $3\Omega$ હોવાથી, શાખા $PR$ નો અવરોધ $R_1 = 3\Omega$ છે.
માર્ગ $PQR$ નો અવરોધ $R_2 = R_{PQ} + R_{QR} = 3\Omega + 3\Omega = 6\Omega$ છે.
કરંટ ડિવાઈડરના નિયમ મુજબ, શાખામાં વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ તેના અવરોધના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
$I_1 = I_{total} \times \frac{R_1}{R_1 + R_2} = 9 \times \frac{3}{3 + 6} = 9 \times \frac{3}{9} = 3\text{A}$.
$I_2 = I_{total} \times \frac{R_2}{R_1 + R_2} = 9 \times \frac{6}{3 + 6} = 9 \times \frac{6}{9} = 6\text{A}$.
આમ, $I_1 = 3\text{A}$ અને $I_2 = 6\text{A}$ છે.

(D) સૌ પ્રથમ, ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $(G)$ શોધો:
$G = \frac{V_g}{I_g} = \frac{0.75 \text{ V}}{10 \times 10^{-3} \text{ A}} = \frac{0.75}{0.01} = 75 \Omega$.
ગેલ્વેનોમીટરને $I = 10 \text{ A}$ ની મર્યાદાવાળા એમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, સમાંતરમાં શંટ અવરોધ $(S)$ જોડવામાં આવે છે.
શંટ અવરોધનું સૂત્ર $S = \frac{I_g \times G}{I - I_g}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$S = \frac{10 \times 10^{-3} \times 75}{10 - 10 \times 10^{-3}} = \frac{0.75}{10 - 0.01} = \frac{0.75}{9.99}$.
$S = \frac{75}{999} \Omega$.

(B) પોટેન્શિયોમીટરમાં, પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ '$k$' ને $k = \frac{V}{L} = \frac{E_0 R_p}{(R_p + R_s)L}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યાં '$E_0$' એ ડ્રાઇવિંગ સોર્સનું $EMF$ છે,'$R_p$' એ પોટેન્શિયોમીટર વાયરનો અવરોધ છે,'$R_s$' એ શ્રેણી અવરોધ છે, અને '$L$' એ વાયરની કુલ લંબાઈ છે.
જ્યારે પોટેન્શિયોમીટર વાયરની લંબાઈ '$L$' વધારવામાં આવે છે, ત્યારે વાયરનો કુલ અવરોધ '$R_p$' પણ પ્રમાણસર વધે છે (કારણ કે $R = \rho \frac{L}{A}$).
જો ડ્રાઇવિંગ સોર્સ અને શ્રેણી અવરોધ બદલાતા ન હોય, તો વાયર પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ સમાન રહે છે, પરંતુ તે હવે લાંબી લંબાઈ પર વહેંચાય છે.
તેથી, પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ '$k = \frac{V}{L}$' ઘટે છે.
બેલેન્સિંગ લંબાઈ '$l$' એ સંબંધ '$E = k \cdot l$' દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં '$E$' એ માપવામાં આવતા કોષનું $EMF$ છે.
કારણ કે '$E$' અચળ છે અને '$k$' ઘટ્યું છે, તેથી બેલેન્સિંગ લંબાઈ '$l = \frac{E}{k}$' વધવી જોઈએ.

(C) પોટેન્શિયોમીટર તારનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો ઘટાડો છે.
આપેલ છે, કુલ લંબાઈ $L = 4 \text{ m}$ અને કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 3 \text{ V}$.
$k = \frac{V}{L} = \frac{3 \text{ V}}{4 \text{ m}} = 0.75 \text{ V/m}$.
સંતુલન લંબાઈ $l = 100 \text{ cm} = 1 \text{ m}$ છે.
કોષનું e.m.f. $E = k \times l$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા, $E = 0.75 \text{ V/m} \times 1 \text{ m} = 0.75 \text{ V}$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) પોટેન્શિયોમીટરના સિદ્ધાંત મુજબ, $E \propto l$, એટલે કે $E = kl$, જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયોમીટર વાયરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં: $E_1 = 1.5 \text{ V}$ અને $l_1 = 60 \text{ cm}$. તેથી, $1.5 = k \times 60$ (સમીકરણ $1$).
બીજા કિસ્સામાં: નલ પોઈન્ટની લંબાઈ $40 \text{ cm}$ વધે છે, તેથી $l_2 = 60 + 40 = 100 \text{ cm}$.
નવા કોષનું emf $E_2 = E$ છે. તેથી, $E = k \times 100$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ ને સમીકરણ $1$ વડે ભાગતા: $E / 1.5 = 100 / 60 = 10 / 6 = 5 / 3$.
તેથી, $E = 1.5 \times (5 / 3) = 0.5 \times 5 = 2.5 \text{ V}$.
આપણને આપેલ છે કે $E = x/10 \text{ V}$, તેથી $x/10 = 2.5$, જેનો અર્થ છે કે $x = 25$.

(B) ધારો કે ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $G$ છે અને કુલ પ્રવાહ $I$ છે.
આપેલ છે કે શંટ અવરોધ $S = \frac{1}{n-1} G$.
ગેલ્વેનોમીટરમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_g$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$I_g = I \times \frac{S}{G + S}$
$S$ ની કિંમત મૂકતા:
$I_g = I \times \frac{\frac{G}{n-1}}{G + \frac{G}{n-1}}$
$I_g = I \times \frac{\frac{G}{n-1}}{\frac{G(n-1) + G}{n-1}}$
$I_g = I \times \frac{G}{G(n-1 + 1)}$
$I_g = I \times \frac{G}{Gn}$
$I_g = \frac{I}{n}$
તેથી, ગેલ્વેનોમીટરમાંથી પસાર થતા કુલ પ્રવાહનો અંશ $\frac{I_g}{I} = \frac{1}{n}$ છે.

(C) ધારો કે $I_g$ એ ગેલ્વેનોમીટરનો ફૂલ-સ્કેલ ડિફ્લેક્શન પ્રવાહ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં, કુલ અવરોધ $(G + 200)\Omega$ છે અને વોલ્ટેજ રેન્જ $V = I_g(G + 200)$ છે.
બીજા કિસ્સામાં, કુલ અવરોધ $(G + 2000)\Omega$ છે અને નવી વોલ્ટેજ રેન્જ $3V = I_g(G + 2000)$ છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{3V}{V} = \frac{I_g(G + 2000)}{I_g(G + 200)}$.
$3 = \frac{G + 2000}{G + 200}$.
$3(G + 200) = G + 2000$.
$3G + 600 = G + 2000$.
$2G = 1400$.
$G = 700\Omega$.

(C) પોટેન્શિયોમીટર તારનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો ઘટાડો છે.
આપેલ છે, કુલ લંબાઈ $L = 4 \text{ m} = 400 \text{ cm}$ અને કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 2 \text{ V}$.
$k = \frac{V}{L} = \frac{2 \text{ V}}{400 \text{ cm}} = 0.005 \text{ V/cm}$.
$l = 80 \text{ cm}$ લંબાઈ પર સંતુલિત થતા કોષનું e.m.f. $E = k \times l$ દ્વારા મળે છે.
$E = 0.005 \text{ V/cm} \times 80 \text{ cm} = 0.4 \text{ V}$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) પોટેન્શિયોમીટર તારનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો ઘટાડો છે.
આપેલ છે, કુલ લંબાઈ $L = 4 \text{ m}$ અને કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 3 \text{ V}$.
$k = \frac{V}{L} = \frac{3 \text{ V}}{4 \text{ m}} = 0.75 \text{ V/m}$.
સંતુલન લંબાઈ $l = 100 \text{ cm} = 1 \text{ m}$ છે.
કોષનું e.m.f. $E = k \times l$ દ્વારા મળે છે.
$E = 0.75 \text{ V/m} \times 1 \text{ m} = 0.75 \text{ V}$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ગેલ્વેનોમીટરને વોલ્ટમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, ગેલ્વેનોમીટરની શ્રેણીમાં એક મોટો અવરોધ $R$ જોડવો પડે છે.
ધારો કે $I_g$ એ ગેલ્વેનોમીટરનો પૂર્ણ-સ્કેલ ડિફ્લેક્શન પ્રવાહ છે.
આપેલ છે કે, $V_g = I_g \times G$, તેથી $I_g = \frac{V_g}{G}$.
માપવા માટેનો કુલ વોલ્ટેજ $V$ એ ગેલ્વેનોમીટર પરનો વોલ્ટેજ અને શ્રેણી અવરોધ $R$ પરના વોલ્ટેજનો સરવાળો છે.
$V = I_g(G + R)$
સમીકરણમાં $I_g = \frac{V_g}{G}$ મૂકતા:
$V = \frac{V_g}{G}(G + R)$
$\frac{V}{V_g} = \frac{G + R}{G}$
$\frac{V}{V_g} = 1 + \frac{R}{G}$
$\frac{R}{G} = \frac{V}{V_g} - 1$
$R = G(\frac{V}{V_g} - 1)$

(C) ધારો કે ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $G = 100 \Omega$ છે અને પૂર્ણ-સ્કેલ આવર્તન પ્રવાહ $I_g$ છે.
$V_1 = 15 \text{ V}$ ની રેન્જ ધરાવતા વોલ્ટમીટર માટે, કુલ અવરોધ $R_1 = G + X = 100 + X$ થાય.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ, $V_1 = I_g(G + X) \implies 15 = I_g(100 + X) \quad \dots(1)$.
રેન્જ બમણી કરવા માટે, નવી રેન્જ $V_2 = 2 \times 15 = 30 \text{ V}$ થાય.
નવો કુલ અવરોધ $R_2 = G + X + 1500 = 100 + X + 1500 = 1600 + X$ થાય.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ, $V_2 = I_g(G + X + 1500) \implies 30 = I_g(1600 + X) \quad \dots(2)$.
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{30}{15} = \frac{I_g(1600 + X)}{I_g(100 + X)}$
$2 = \frac{1600 + X}{100 + X}$
$2(100 + X) = 1600 + X$
$200 + 2X = 1600 + X$
$X = 1600 - 200 = 1400 \Omega$.

(C) ધારો કે પરિપથમાં કુલ પ્રવાહ $I$ છે.
ગેલ્વેનોમીટરમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_g = 4\% \text{ of } I = 0.04I$ છે.
શંટ અવરોધ $S$ માંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_s = I - I_g = I - 0.04I = 0.96I$ છે.
ગેલ્વેનોમીટર અને શંટ અવરોધ સમાંતરમાં જોડાયેલા હોવાથી, તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે: $I_g \times G = I_s \times S$.
કિંમતો મૂકતા: $0.04I \times G = 0.96I \times S$.
$0.04G = 0.96S$.
$S = \frac{0.04G}{0.96} = \frac{4G}{96} = \frac{G}{24}$.
તેથી, શંટ અવરોધ $\frac{G}{24}$ છે.

(B) ધારો કે $G$ એ ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ છે અને $I_g$ એ પૂર્ણ-સ્કેલ ડિફ્લેક્શન પ્રવાહ છે.
વોલ્ટમીટરની રેન્જ $V = I_g(G + R)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $R$ એ શ્રેણી અવરોધ છે.
કિસ્સો $1$: $V_1 = I_g(G + 980)$.
કિસ્સો $2$: $V_2 = I_g(G + 470)$.
આપેલ છે કે રેન્જ અડધી થાય છે, તેથી $V_2 = V_1 / 2$, એટલે કે $V_1 = 2V_2$.
સમીકરણો મૂકતા: $I_g(G + 980) = 2 \times I_g(G + 470)$.
બંને બાજુ $I_g$ વડે ભાગતા: $G + 980 = 2(G + 470)$.
$G + 980 = 2G + 940$.
$G = 980 - 940 = 40 \Omega$.
આમ, ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $40 \Omega$ છે.

(C) $1$. સૌ પ્રથમ, પરિપથનો કુલ અવરોધ ગણો: $R_{total} = R_{wire} + R_{series} + r = 5 \Omega + 992 \Omega + 3 \Omega = 1000 \Omega$.
$2$. પોટેન્શિયોમીટરના તારમાંથી વહેતો પ્રવાહ ગણો: $I = \frac{E}{R_{total}} = \frac{4 \text{ V}}{1000 \Omega} = 4 \times 10^{-3} \text{ A} = 4 \text{ mA}$.
$3$. પોટેન્શિયોમીટરના તાર પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત ગણો: $V_{wire} = I \times R_{wire} = 4 \times 10^{-3} \text{ A} \times 5 \Omega = 20 \times 10^{-3} \text{ V} = 20 \text{ mV}$.
$4$. તાર પરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $(k)$: $k = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{20 \text{ mV}}{4 \text{ m}} = 5 \text{ mV/m}$.
$5$. $0.75 \text{ m}$ લંબાઈ દ્વારા સંતુલિત થતું e.m.f.: $E' = k \times l = 5 \text{ mV/m} \times 0.75 \text{ m} = 3.75 \text{ mV}$.

(C) પોટેન્શિયોમીટરમાં, કોષનું $E$.$M$.$F$. એ સંતુલન લંબાઈના સમપ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે $E = k \cdot l$, જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
$1$. જ્યારે કોષ $E_1$ જોડવામાં આવે છે, ત્યારે સંતુલન લંબાઈ $l_1$ છે, તેથી $E_1 = k \cdot l_1$.
$2$. જ્યારે કોષો $E_1$ અને $E_2$ ને વિરોધમાં જોડવામાં આવે છે, ત્યારે અસરકારક $E$.$M$.$F$. $(E_1 - E_2)$ થાય છે અને સંતુલન લંબાઈ $l_2$ મળે છે, તેથી $(E_1 - E_2) = k \cdot l_2$.
$3$. બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{E_1}{E_1 - E_2} = \frac{k \cdot l_1}{k \cdot l_2} = \frac{l_1}{l_2}$.
$4$. સમીકરણને ગોઠવતા: $E_1 \cdot l_2 = l_1 \cdot (E_1 - E_2) \implies E_1 \cdot l_2 = E_1 \cdot l_1 - E_2 \cdot l_1$.
$5$. પદોને એકસાથે લાવતા: $E_2 \cdot l_1 = E_1 \cdot l_1 - E_1 \cdot l_2 = E_1(l_1 - l_2)$.
$6$. તેથી, $\frac{E_1}{E_2} = \frac{l_1}{l_1 - l_2}$.
આમ, $E_1 : E_2$ નો ગુણોત્તર $(l_1) : (l_1 - l_2)$ છે.

(D) ધારો કે બે કોષોના e.m.f. $E_1 = 1.5 \text{ V}$ અને $E_2 = 1.2 \text{ V}$ છે.
જ્યારે કોષો એકબીજાને મદદરૂપ થાય તે રીતે જોડાયેલા હોય, ત્યારે કુલ e.m.f. $E_{eq1} = E_1 + E_2 = 1.5 + 1.2 = 2.7 \text{ V}$ થાય.
સંતુલન લંબાઈ $l_1 = 270 \text{ cm}$ છે.
પોટેન્શિયોમીટરમાં, $E \propto l$, તેથી $E_{eq1} = k l_1$, જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
$2.7 = k \times 270 \implies k = \frac{2.7}{270} = 0.01 \text{ V/cm}$.
જ્યારે કોષો એકબીજાની વિરુદ્ધમાં જોડાયેલા હોય, ત્યારે કુલ e.m.f. $E_{eq2} = E_1 - E_2 = 1.5 - 1.2 = 0.3 \text{ V}$ થાય.
ધારો કે નવી સંતુલન લંબાઈ $l_2$ છે.
તેથી $E_{eq2} = k l_2$.
$0.3 = 0.01 \times l_2$.
$l_2 = \frac{0.3}{0.01} = 30 \text{ cm}$.

(B) ધારો કે $I_g$ એ ગેલ્વેનોમીટરનો ફૂલ-સ્કેલ ડિફ્લેક્શન પ્રવાહ છે અને $G$ તેનો અવરોધ છે.
જ્યારે તેને $S$ અવરોધ સાથે શંટ કરવામાં આવે છે, ત્યારે કુલ પ્રવાહ ક્ષમતા $I = n I_g$ થાય છે.
શંટમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_s = I - I_g = (n - 1) I_g$ છે.
ગેલ્વેનોમીટર અને શંટ સમાંતર હોવાથી, તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે: $I_g G = I_s S = (n - 1) I_g S$.
તેથી, $G = (n - 1) S$ --- $(1)$.
તે જ રીતે, જ્યારે $S'$ અવરોધ સાથે શંટ કરવામાં આવે છે, ત્યારે પ્રવાહ ક્ષમતા $I' = n' I_g$ થાય છે.
આ જ તર્ક મુજબ, $G = (n' - 1) S'$ --- $(2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા: $(n - 1) S = (n' - 1) S'$.
$n$ માટે ઉકેલતા: $n - 1 = (n' - 1) S' / S$.
તેથી, $n = 1 + (n' - 1) S' / S$.

(C) પોટેન્શિયોમીટરમાં, સંતુલન લંબાઈ $l$ એ કોષના e.m.f. $E$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે $E = kl$, જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયોમીટર વાયરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
જ્યારે પોટેન્શિયોમીટરને બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડવામાં આવે છે, ત્યારે માપવામાં આવતું e.m.f. $E_1$ છે. સંતુલન લંબાઈ $l_1 = 412 \text{ cm}$ આપેલ છે, તેથી:
$E_1 = k \times 412$ --- $(1)$
જ્યારે પોટેન્શિયોમીટરને બિંદુઓ $A$ અને $C$ વચ્ચે જોડવામાં આવે છે, ત્યારે પરિપથમાં કોષો વિરુદ્ધ દિશામાં જોડાયેલા હોવાથી, કુલ e.m.f. $E_1 - E_2$ થાય છે. સંતુલન લંબાઈ $l_2 = 103 \text{ cm}$ આપેલ છે, તેથી:
$E_1 - E_2 = k \times 103$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{E_1}{E_1 - E_2} = \frac{412}{103}$
$\frac{E_1}{E_1 - E_2} = 4$
$E_1 = 4(E_1 - E_2)$
$E_1 = 4E_1 - 4E_2$
$3E_1 = 4E_2$
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{4}{3}$
આમ, $E_1 : E_2$ નો ગુણોત્તર $4 : 3$ છે.

(A) $1$. સૌ પ્રથમ, પ્રાથમિક પરિપથમાં પોટેન્શિયોમીટરના તાર $AB$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ શોધો:
$I = \frac{E}{R_{total}} = \frac{5 \text{ V}}{45 \text{ } \Omega + 5 \text{ } \Omega} = \frac{5}{50} \text{ A} = 0.1 \text{ A}$.
$2$. પોટેન્શિયોમીટરના તાર $AB$ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ (સ્થિતિમાનનો તફાવત) શોધો:
$V_{AB} = I \times R_{AB} = 0.1 \text{ A} \times 5 \text{ } \Omega = 0.5 \text{ V}$.
$3$. તાર પરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ નીચે મુજબ મળે છે:
$k = \frac{V_{AB}}{L} = \frac{0.5 \text{ V}}{10 \text{ m}} = 0.05 \text{ V/m}$.
$4$. સંતુલન લંબાઈ $AP = l$ માટે, $AP$ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ ગૌણ કોષના e.m.f. $(E' = 0.4 \text{ V})$ જેટલો હોવો જોઈએ:
$V_{AP} = k \times l = 0.4 \text{ V}$.
$0.05 \text{ V/m} \times l = 0.4 \text{ V}$.
$l = \frac{0.4}{0.05} \text{ m} = 8 \text{ m}$.
આમ, સંતુલન લંબાઈ $AP$ એ $8 \text{ m}$ છે.

(B) મીટર બ્રિજમાં, સંતુલન સ્થિતિ $\frac{P}{Q} = \frac{l}{100-l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $l$ એ ડાબી બાજુથી સંતુલન લંબાઈ છે.
શરૂઆતમાં, $P = 2 \text{ } \Omega$ અને $Q = 3 \text{ } \Omega$. તેથી, $\frac{2}{3} = \frac{l}{100-l}$.
$200 - 2l = 3l \implies 5l = 200 \implies l = 40 \text{ cm}$.
જ્યારે $3 \text{ } \Omega$ સાથે સમાંતરમાં $X$ શંટ જોડવામાં આવે, ત્યારે નવો અવરોધ $Q' = \frac{3X}{3+X}$ થાય છે.
નવી સંતુલન લંબાઈ $l' = 40 \text{ cm} + 22.5 \text{ cm} = 62.5 \text{ cm}$ લેતા (કારણ કે $17.5 \text{ cm}$ શક્ય નથી).
તેથી, $\frac{2}{Q'} = \frac{62.5}{37.5} = \frac{5}{3}$.
$Q' = \frac{6}{5} = 1.2 \text{ } \Omega$.
હવે, $\frac{3X}{3+X} = 1.2 \implies 3X = 3.6 + 1.2X \implies 1.8X = 3.6 \implies X = 2 \text{ } \Omega$.

(B) ધારો કે નોડ્સ $A, B, C, D$ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે. નોડ $A$ પર નેટવર્કમાં પ્રવેશતો કુલ પ્રવાહ $I = 2.1 \text{ A}$ છે.
ધારો કે $I_1$ એ $15 \text{ } \Omega$ અવરોધક (શાખા $AB$) માંથી વહેતો પ્રવાહ છે અને $I_2$ એ $20 \text{ } \Omega$ અવરોધક (શાખા $AD$) માંથી વહેતો પ્રવાહ છે.
નોડ $A$ પર કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ મુજબ, $I_1 + I_2 = 2.1 \text{ A}$ છે.
લૂપ્સ માટે કિર્ચોફના વોલ્ટેજના નિયમ $(KVL)$ નો ઉપયોગ કરતા:
લૂપ $ABDA$ માટે: $15I_1 + 6I_G - 20I_2 = 0$, જ્યાં $I_G$ એ ગેલ્વેનોમીટર ($6 \text{ } \Omega$ અવરોધ) માંથી વહેતો પ્રવાહ છે.
લૂપ $BCDB$ માટે: $3(I_1 - I_G) - 4(I_2 + I_G) - 6I_G = 0 \implies 3I_1 - 4I_2 - 13I_G = 0$.
આ સમીકરણોને $I_1$ માટે ઉકેલતા, આપણને $I_1 = 0.9 \text{ A}$ મળે છે.

(C) મીટર બ્રિજમાં, નલ પોઈન્ટ માટેની શરત $\frac{R_A}{R_B} = \frac{l_1}{l_2}$ છે, જ્યાં $R_A$ અને $R_B$ એ તાર $A$ અને $B$ ના અવરોધ છે, અને $l_1, l_2$ એ બ્રિજ વાયરના ભાગોની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે $l_1 = 40 \text{ cm}$, તેથી $l_2 = 100 - 40 = 60 \text{ cm}$.
તેથી, $\frac{R_A}{R_B} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$.
તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A} = \rho \frac{L}{\pi (d/2)^2} = \frac{4 \rho L}{\pi d^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તારની લંબાઈ $L$ સમાન હોવાથી, $\frac{R_A}{R_B} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \times \left( \frac{d_B}{d_A} \right)^2$.
આપેલ છે કે $\frac{d_A}{d_B} = \frac{3}{1}$, તેથી $\frac{d_B}{d_A} = \frac{1}{3}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{3} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \times \left( \frac{1}{3} \right)^2$.
$\frac{2}{3} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \times \frac{1}{9}$.
$\frac{\rho_A}{\rho_B} = \frac{2}{3} \times 9 = 6$.
આમ, ગુણોત્તર $6:1$ છે.

(C) આપેલ પરિપથ વ્હીટસ્ટન બ્રિજ છે. સંતુલિત સ્થિતિમાં, ગેલ્વેનોમીટરની શાખા $BD$ માંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
તેથી, બે ઉપરના અવરોધો ($10 \ \Omega$ અને $10 \ \Omega$) શ્રેણીમાં છે, અને બે નીચેના અવરોધો ($30 \ \Omega$ અને $30 \ \Omega$) શ્રેણીમાં છે.
ઉપરની શાખાનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_1 = 10 \ \Omega + 10 \ \Omega = 20 \ \Omega$ છે.
નીચેની શાખાનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_2 = 30 \ \Omega + 30 \ \Omega = 60 \ \Omega$ છે.
આ બંને શાખાઓ એકબીજા સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે.
પરિપથનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{20} + \frac{1}{60} = \frac{3+1}{60} = \frac{4}{60} = \frac{1}{15}$.
આમ, $R_{eq} = 15 \ \Omega$.
બેટરીમાંથી ખેંચાતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{3 \text{ V}}{15 \ \Omega} = 0.2 \text{ A}$ થાય.

(D) મીટર બ્રિજમાં, સંતુલન સ્થિતિ $\frac{P}{Q} = \frac{l_1}{l_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $P = 15 \text{ } \Omega$ (ડાબી બાજુ) અને $Q = 45 \text{ } \Omega$ (જમણી બાજુ).
ધારો કે $l_1$ એ ડાબી બાજુથી લંબાઈ છે અને $l_2$ એ જમણી બાજુથી લંબાઈ છે. તારની કુલ લંબાઈ $100 \text{ cm}$ હોવાથી, $l_2 = 100 - l_1$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{15}{45} = \frac{l_1}{100 - l_1}$.
$\frac{1}{3} = \frac{l_1}{100 - l_1} \implies 100 - l_1 = 3l_1 \implies 4l_1 = 100 \implies l_1 = 25 \text{ cm}$.
નલ પોઈન્ટ ડાબી બાજુથી $25 \text{ cm}$ પર છે.
તારનું કેન્દ્ર $50 \text{ cm}$ પર છે.
કેન્દ્રથી નલ પોઈન્ટનું અંતર $|50 - 25| = 25 \text{ cm}$ થાય.

(A) આપેલ પરિપથ એક વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે. ધારો કે ઉપરનું બિંદુ $A$ છે અને નીચેનું બિંદુ $C$ છે. બિંદુ $B$ અને $D$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય છે, જેનો અર્થ છે કે બ્રિજ સંતુલિત છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં, સામસામેની બાજુઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે.
ધારો કે $R_1$ એ $6 \text{ } \Omega$ અને $3 \text{ } \Omega$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ છે: $R_1 = (6 \times 3) / (6 + 3) = 18 / 9 = 2 \text{ } \Omega$.
ધારો કે $R_2$ એ $x \text{ } \Omega$ અને $1 \text{ } \Omega$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ છે: $R_2 = (x \times 1) / (x + 1) = x / (x + 1) \text{ } \Omega$.
ધારો કે $R_3$ એ $1 \text{ } \Omega$ અને $2 \text{ } \Omega$ ના શ્રેણી જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ છે: $R_3 = 1 + 2 = 3 \text{ } \Omega$.
ધારો કે $R_4$ એ $x \text{ } \Omega$ અવરોધ છે.
સંતુલિત બ્રિજ માટે, $R_1 / R_3 = R_2 / R_4$.
કિંમતો મૂકતા: $2 / 3 = [x / (x + 1)] / x$.
$2 / 3 = 1 / (x + 1)$.
$2(x + 1) = 3$.
$2x + 2 = 3$.
$2x = 1$.
$x = 1/2 \text{ } \Omega$.
$x = 1/2 \text{ } \Omega$ ને $x = 1/n \text{ } \Omega$ સાથે સરખાવતા, આપણને $n = 2$ મળે છે.

(C) મીટર બ્રિજમાં, સંતુલિત સ્થિતિનું સૂત્ર $\frac{R}{S} = \frac{l_1}{100 - l_1}$ છે, જ્યાં $R$ એ ડાબી બાજુનો અવરોધ છે અને $S$ એ જમણી બાજુનો અવરોધ છે.
અહીં $R = 20 \text{ } \Omega$ અને $S = 60 \text{ } \Omega$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{20}{60} = \frac{l_1}{100 - l_1}$.
$\frac{1}{3} = \frac{l_1}{100 - l_1} \implies 100 - l_1 = 3l_1 \implies 4l_1 = 100 \implies l_1 = 25 \text{ cm}$.
નલ પોઈન્ટ ડાબી બાજુથી $25 \text{ cm}$ અંતરે છે.
તારનું કેન્દ્ર $50 \text{ cm}$ પર છે.
તેથી, કેન્દ્રથી નલ પોઈન્ટનું અંતર $|50 - 25| = 25 \text{ cm}$ થાય.

(C) મીટર બ્રિજમાં, સંતુલન સ્થિતિ $\frac{P}{Q} = \frac{l}{100-l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $P$ એ ડાબી બાજુનો અવરોધ છે અને $Q$ એ જમણી બાજુનો અવરોધ છે.
શરૂઆતમાં, $\frac{15}{R} = \frac{l_1}{100-l_1}$ --- $(1)$
જ્યારે $R$ ને સમાન અવરોધ $R$ સાથે શંટ કરવામાં આવે, ત્યારે જમણી બાજુના ગેપમાં સમતુલ્ય અવરોધ $R' = \frac{R \times R}{R+R} = \frac{R}{2}$ થાય છે.
નવું સંતુલન બિંદુ $1.6 l_1$ પર છે. આ કિંમત સંતુલન સ્થિતિમાં મૂકતા:
$\frac{15}{R/2} = \frac{1.6 l_1}{100 - 1.6 l_1} \implies \frac{30}{R} = \frac{1.6 l_1}{100 - 1.6 l_1}$ --- $(2)$
$(1)$ પરથી, $\frac{1}{R} = \frac{l_1}{15(100-l_1)}$. આ કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$30 \times \frac{l_1}{15(100-l_1)} = \frac{1.6 l_1}{100 - 1.6 l_1}$
$2 \times \frac{l_1}{100-l_1} = \frac{1.6 l_1}{100 - 1.6 l_1}$
$l_1$ વડે ભાગતા:
$\frac{2}{100-l_1} = \frac{1.6}{100-1.6 l_1}$
$2(100 - 1.6 l_1) = 1.6(100 - l_1)$
$200 - 3.2 l_1 = 160 - 1.6 l_1$
$40 = 1.6 l_1 \implies l_1 = \frac{40}{1.6} = 25 \text{ cm}$.
$l_1 = 25$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$\frac{15}{R} = \frac{25}{100-25} = \frac{25}{75} = \frac{1}{3}$
$R = 15 \times 3 = 45 \text{ } \Omega$.

(C) સંતુલિત મીટર બ્રિજમાં, શરત $\frac{P}{Q} = \frac{l}{100-l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $l$ એ એક છેડાથી સંતુલન લંબાઈ છે.
શરૂઆતમાં, $P = X$ અને $Q = 3X$. તેથી, $\frac{X}{3X} = \frac{l_1}{100-l_1} \implies \frac{1}{3} = \frac{l_1}{100-l_1}$.
$100 - l_1 = 3l_1 \implies 4l_1 = 100 \implies l_1 = 25 \text{ cm}$.
જ્યારે અવરોધોની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે, ત્યારે $P' = 3X$ અને $Q' = X$. તેથી, $\frac{3X}{X} = \frac{l_2}{100-l_2} \implies 3 = \frac{l_2}{100-l_2}$.
$300 - 3l_2 = l_2 \implies 4l_2 = 300 \implies l_2 = 75 \text{ cm}$.
સંતુલન બિંદુમાં થતું સ્થાનાંતર $|l_2 - l_1| = |75 \text{ cm} - 25 \text{ cm}| = 50 \text{ cm}$ છે.

(A) મીટર બ્રિજમાં, નલ પોઈન્ટ માટેની શરત $\frac{X}{Y} = \frac{l_1}{l_2}$ છે.
આપેલ પ્રારંભિક ગુણોત્તર $\frac{X}{Y} = \frac{2}{3}$ છે, તેથી $Y = 1.5X$.
જ્યારે દરેક અવરોધમાં $30 \text{ } \Omega$ નો વધારો કરવામાં આવે છે, ત્યારે નવો ગુણોત્તર $\frac{X + 30}{Y + 30} = \frac{5}{6}$ થાય છે.
બીજા સમીકરણમાં $Y = 1.5X$ મૂકતા:
$6(X + 30) = 5(1.5X + 30)$
$6X + 180 = 7.5X + 150$
$180 - 150 = 7.5X - 6X$
$30 = 1.5X$
$X = \frac{30}{1.5} = 20 \text{ } \Omega$.
તેથી $Y = 1.5 \times 20 = 30 \text{ } \Omega$.
આમ, અવરોધો $20 \text{ } \Omega$ અને $30 \text{ } \Omega$ છે.

(D) કિરચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ મુજબ, જંકશન પર આવતા પ્રવાહનો સરવાળો જંકશનમાંથી બહાર જતા પ્રવાહના સરવાળા જેટલો હોય છે.
ધારો કે પ્રથમ અને બીજા જંકશન વચ્ચે વહેતો પ્રવાહ $x$ છે અને બીજા અને ત્રીજા જંકશન વચ્ચે વહેતો પ્રવાહ $y$ છે.
પ્રથમ જંકશન (સૌથી ડાબી બાજુ) માટે: $4.5 \text{ A} + 1.7 \text{ A} = 2.3 \text{ A} + x$
$6.2 \text{ A} = 2.3 \text{ A} + x \implies x = 3.9 \text{ A}$.
બીજા જંકશન (મધ્ય) માટે: $x + 3.2 \text{ A} + 4.9 \text{ A} = 2.6 \text{ A} + y$
$3.9 \text{ A} + 3.2 \text{ A} + 4.9 \text{ A} = 2.6 \text{ A} + y$
$12.0 \text{ A} = 2.6 \text{ A} + y \implies y = 9.4 \text{ A}$.
ત્રીજા જંકશન (સૌથી જમણી બાજુ) માટે: $y = I + 1.9 \text{ A}$
$9.4 \text{ A} = I + 1.9 \text{ A} \implies I = 7.5 \text{ A}$.

(C) કિરચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ મુજબ, જંકશન પર આવતા પ્રવાહનો સરવાળો જંકશનમાંથી બહાર જતા પ્રવાહના સરવાળા જેટલો હોય છે.
$1$. જંકશન પરના પ્રવાહોનું વિશ્લેષણ કરતા, આપણને $I_2 = 1.4 \text{ A}, I_3 = -0.6 \text{ A}, I_6 = 0.4 \text{ A}$ મળે છે.
$2$. તેથી, સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(C) કિરચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ મુજબ, જંકશનમાં દાખલ થતા પ્રવાહોનો સરવાળો એ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
$1$. પ્રથમ જંકશન પર, $2 \text{ A}$ અને $3 \text{ A}$ પ્રવાહ દાખલ થાય છે. તેથી, આ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતો પ્રવાહ $2 \text{ A} + 3 \text{ A} = 5 \text{ A}$ થશે.
$2$. આ $5 \text{ A}$ પ્રવાહ આગળના જંકશન તરફ વહે છે. આ જંકશન પર, $1 \text{ A}$ પ્રવાહ બહાર નીકળે છે. તેથી, છેલ્લા જંકશન તરફ વહેતો બાકીનો પ્રવાહ $5 \text{ A} - 1 \text{ A} = 4 \text{ A}$ થશે.
$3$. છેલ્લા જંકશન પર, $4 \text{ A}$ પ્રવાહ દાખલ થાય છે અને $0.6 \text{ A}$, $1.3 \text{ A}$ અને $i \text{ A}$ પ્રવાહ બહાર નીકળે છે.
છેલ્લા જંકશન પર $KCL$ લાગુ પાડતા:
$4 \text{ A} = 0.6 \text{ A} + 1.3 \text{ A} + i \text{ A}$
$4 = 1.9 + i$
$i = 4 - 1.9$
$i = 2.1 \text{ A}$

(A) પ્રતિચુંબકીય પદાર્થ માટે, ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $(\chi)$ નાની અને ઋણ હોય છે. તે પદાર્થના તાપમાનથી સ્વતંત્ર છે. તેથી, $\chi$ વિરુદ્ધ તાપમાન $(T)$ નો આલેખ તાપમાનની અક્ષને સમાંતર એક આડી રેખા છે, જ્યાં $\chi$ નાની ઋણ કિંમત પર અચળ રહે છે.