MHT CET 2026 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $n = \frac{m}{M}$ ($m$ એ દળ છે, $M$ એ $H_2$ નું મોલર દળ $= 2 \text{ g/mol}$ છે).
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $P_1 = P$, $V_1 = V$, $T_1 = 500 \text{ K}$, $m_1 = 6 \text{ g}$.
$PV = \frac{6}{2} R(500) = 3R(500) = 1500R$.
અંતિમ સ્થિતિ: $P_2 = \frac{P}{2}$, $V_2 = V$, $T_2 = 300 \text{ K}$, $m_2 = ?$.
$\frac{P}{2} V = \frac{m_2}{2} R(300) = 150 m_2 R$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{PV}{(P/2)V} = \frac{1500R}{150 m_2 R} \implies 2 = \frac{10}{m_2}$.
$m_2 = 5 \text{ g}$.
બહાર નીકળેલ હાઇડ્રોજનનું દળ = $m_1 - m_2 = 6 \text{ g} - 5 \text{ g} = 1 \text{ g}$.

(A) ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ, અચળ દબાણે નિશ્ચિત દળના આદર્શ વાયુ માટે, કદ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $V \propto T$ અથવા $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \text{ K}$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 627^{\circ}C = 627 + 273 = 900 \text{ K}$.
પ્રારંભિક કદ $V_1 = 4 \text{ m}^3$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{4}{300} = \frac{V_2}{900}$.
$V_2 = 4 \times \frac{900}{300} = 4 \times 3 = 12 \text{ m}^3$.
તેથી, વાયુનું નવું કદ $12 \text{ m}^3$ થશે.

(C) $S.T.P.$ પર, પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 273 \text{ K}$ છે.
આપેલ છે કે વાયુને અચળ દબાણે ગરમ કરવામાં આવે છે, ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ, $V \propto T$, તેથી $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$.
અહીં $V_2 = 3V_1$ આપેલ છે, તેથી $T_2 = 3T_1 = 3 \times 273 \text{ K} = 819 \text{ K}$.
$r.m.s.$ ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
તેથી $v_{rms} \propto \sqrt{T}$, તેથી $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{3T_1}{T_1}} = \sqrt{3}$.
તેથી, $v_2 = \sqrt{3} u \text{ m/s}$.
આમ, અંતિમ તાપમાન $819 \text{ K}$ અને $r.m.s.$ ઝડપ $\sqrt{3} u \text{ m/s}$ છે.

(B) આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે, જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે.
શરૂઆતમાં, પાત્રમાં રહેલા વાયુના મોલ $n_1 = \frac{PV}{RT}$ છે.
થોડો વાયુ બહાર નીકળી ગયા પછી, દબાણ $P'$ થાય છે જ્યારે કદ $V$ અને તાપમાન $T$ અચળ રહે છે.
પાત્રમાં બાકી રહેલા વાયુના અંતિમ મોલ $n_2 = \frac{P'V}{RT}$ છે.
બહાર નીકળી ગયેલા વાયુના મોલની સંખ્યા એ શરૂઆતના અને અંતિમ મોલ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\Delta n = n_1 - n_2 = \frac{PV}{RT} - \frac{P'V}{RT} = \frac{V}{RT}(P - P')$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી, જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે. અણુઓની સંખ્યા $N$ એ $N = nN_A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $N_A$ એ એવોગેડ્રો આંક છે.
આમ, $N = \frac{PVN_A}{RT}$.
પાત્ર $A$ માટે: $N_A = \frac{PVN_A}{RT}$.
પાત્ર $B$ માટે: $N_B = \frac{(2P)(\frac{V}{4})N_A}{R(2T)} = \frac{\frac{PV}{2}N_A}{2RT} = \frac{PVN_A}{4RT}$.
પાત્ર $B$ અને પાત્ર $A$ ના અણુઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{N_B}{N_A} = \frac{\frac{PVN_A}{4RT}}{\frac{PVN_A}{RT}} = \frac{1}{4}$ થાય.
તેથી, ગુણોત્તર $1 : 4$ છે.

(D) $1$. પિચ એ ધ્વનિનો એક ગુણધર્મ છે જે ધ્વનિની 'તીક્ષ્ણતા' નક્કી કરે છે, જે સીધી રીતે ધ્વનિ તરંગની આવૃત્તિ સાથે સંબંધિત છે. ઉચ્ચ આવૃત્તિ એટલે ઉચ્ચ પિચ.
$2$. 'ટોન' એ એકલ આવૃત્તિનો ધ્વનિ છે, જ્યારે 'નોટ' એ વિવિધ આવૃત્તિઓનું મિશ્રણ છે.
$3$. પિચ અને લાઉડનેસ (તીવ્રતા) સ્વતંત્ર ગુણધર્મો છે. ઉચ્ચ પિચવાળો ધ્વનિ (જેમ કે સીટી) ખૂબ ધીમો હોઈ શકે છે, જ્યારે નીચી પિચવાળો ધ્વનિ (જેમ કે ડ્રમ) ખૂબ મોટો હોઈ શકે છે.
$4$. જૈવિક રીતે, સ્ત્રીઓના સ્વરતંતુઓ સામાન્ય રીતે પુરુષો કરતા ટૂંકા અને પાતળા હોય છે, જેના પરિણામે કંપનની આવૃત્તિ વધારે હોય છે. તેથી, સ્ત્રીઓનો અવાજ સામાન્ય રીતે પુરુષોના અવાજ કરતા વધુ તીક્ષ્ણ (ઉચ્ચ પિચ) હોય છે. આમ,'પુરુષનો અવાજ સ્ત્રીના અવાજ કરતા વધુ તીક્ષ્ણ હોય છે' તે વિધાન ખોટું છે.

(A) લાઉડનેસ (Loudness) એ એક શારીરિક સંવેદના છે જે મુખ્યત્વે ધ્વનિની તીવ્રતા (Intensity) પર આધાર રાખે છે. વધુ તીવ્રતા એટલે વધુ મોટો અવાજ.
પિચ (Pitch) એ એક શારીરિક સંવેદના છે જે મુખ્યત્વે ધ્વનિની આવૃત્તિ (Frequency) પર આધાર રાખે છે. ઉચ્ચ આવૃત્તિ ઉચ્ચ પિચ (તીણો અવાજ) સાથે સંબંધિત છે, જ્યારે ઓછી આવૃત્તિ નીચી પિચ (ઘેરો અવાજ) સાથે સંબંધિત છે.

(A) વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ છે, જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે, $P$ એ દબાણ છે અને $\rho$ એ વાયુની ઘનતા છે.
જ્યારે ભેજ વધે છે, ત્યારે પાણીની વરાળ (જેનું મોલર દળ $18 \ g/mol$ છે) સૂકી હવા (જેનું સરેરાશ મોલર દળ આશરે $29 \ g/mol$ છે) નું સ્થાન લે છે.
આ ફેરબદલને કારણે હવાનું કુલ ઘનત્વ $\rho$ ઘટે છે.
ધ્વનિની ઝડપ $v$ એ ઘનતાના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $(v \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}})$, ઘનતામાં ઘટાડો થવાથી ધ્વનિની ઝડપમાં વધારો થાય છે.
તેથી, જેમ ભેજ વધે છે તેમ ધ્વનિ તરંગોની ઝડપ વધે છે.

(B) વાયુમાં અવાજની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ છે, જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે, $P$ એ દબાણ છે અને $\rho$ એ વાયુની ઘનતા છે.
આપેલ છે કે ઘનતા $\rho$ અચળ રહે છે, તેથી અવાજની ઝડપ $v$ એ દબાણના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે, એટલે કે $v \propto \sqrt{P}$.
ધારો કે $P_1$ દબાણે અવાજની ઝડપ $v_1$ છે અને $P_2$ દબાણે અવાજની ઝડપ $v_2$ છે.
તેથી, $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{P_2}{P_1}}$.
પ્રશ્ન મુજબ, $v_2 = 1.4 v_1$, તેથી $\frac{v_2}{v_1} = 1.4$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $1.4 = \sqrt{\frac{P_2}{P_1}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, આપણને મળે છે: $(1.4)^2 = \frac{P_2}{P_1}$.
તેથી, $\frac{P_2}{P_1} = 1.96$.

(D) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ છે, જ્યાં $\gamma$ એ એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ (વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર), $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક, $T$ એ તાપમાન અને $M$ એ મોલર દળ છે.
બંને વાયુઓ માટે $T = 295 \text{ K}$ આપેલ છે, તેથી હિલિયમ $(v_{He})$ અને નાઈટ્રોજન $(v_{N_2})$ માં ધ્વનિની ઝડપનો ગુણોત્તર:
$\frac{v_{He}}{v_{N_2}} = \sqrt{\frac{\gamma_{He} R T / M_{He}}{\gamma_{N_2} R T / M_{N_2}}} = \sqrt{\frac{\gamma_{He}}{\gamma_{N_2}} \cdot \frac{M_{N_2}}{M_{He}}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\gamma_{He} = 5/3$, $\gamma_{N_2} = 7/5$, $M_{He} = 4$, $M_{N_2} = 28$.
$\frac{v_{He}}{v_{N_2}} = \sqrt{\frac{5/3}{7/5} \cdot \frac{28}{4}} = \sqrt{\frac{5}{3} \cdot \frac{5}{7} \cdot 7} = \sqrt{\frac{25}{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}}$.

(B) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ $v$ નું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ છે, જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે, $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે, $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
મોનોએટોમિક વાયુઓ માટે, એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ બંને વાયુઓ માટે સમાન હોય છે, એટલે કે $\gamma = 5/3$.
બંને વાયુઓ સમાન તાપમાન $T$ પર હોવાથી, વાયુ '$1$' માં ધ્વનિની ઝડપ $(v_1)$ અને વાયુ '$2$' માં ધ્વનિની ઝડપ $(v_2)$ નો ગુણોત્તર નીચે મુજબ થશે:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\sqrt{\frac{\gamma RT}{m_1}}}{\sqrt{\frac{\gamma RT}{m_2}}}$
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$
આમ, વાયુ '$1$' અને વાયુ '$2$' માં ધ્વનિની ઝડપનો ગુણોત્તર $\sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$ છે.

(A) ડોપ્લર અસર મુજબ, જ્યારે સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે, ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $n_1$ નીચે મુજબ મળે છે: $n_1 = n \left( \frac{V}{V - V_s} \right)$.
જ્યારે સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકારથી દૂર જાય છે, ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $n_2$ નીચે મુજબ મળે છે: $n_2 = n \left( \frac{V}{V + V_s} \right)$.
આભાસી આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત $\Delta n = n_1 - n_2$ છે.
$\Delta n = n \left( \frac{V}{V - V_s} - \frac{V}{V + V_s} \right)$.
$\Delta n = nV \left( \frac{(V + V_s) - (V - V_s)}{(V - V_s)(V + V_s)} \right)$.
$\Delta n = nV \left( \frac{2V_s}{V^2 - V_s^2} \right) = \frac{2nVV_s}{V^2 - V_s^2}$.

(B) ડોપ્લર અસર મુજબ, જ્યારે અવલોકનકાર સ્થિર ઉદગમની સાપેક્ષમાં $V_O$ વેગથી ગતિ કરે છે, ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $F'$ નું સૂત્ર $F' = F_0 \left( \frac{V \pm V_O}{V} \right)$ છે, જ્યાં $F_0$ એ મૂળ આવૃત્તિ છે અને $V$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે.
જ્યારે અવલોકનકાર $V_1$ વેગથી ઉદગમ તરફ ગતિ કરે છે: $F_1 = F_0 \left( \frac{V + V_1}{V} \right)$.
જ્યારે અવલોકનકાર $V_1$ વેગથી ઉદગમથી દૂર ગતિ કરે છે: $F_2 = F_0 \left( \frac{V - V_1}{V} \right)$.
આપેલ ગુણોત્તર $F_1/F_2 = 2$ મુજબ: $\frac{F_0(V + V_1)/V}{F_0(V - V_1)/V} = 2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{V + V_1}{V - V_1} = 2$ મળે છે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $V + V_1 = 2(V - V_1)$, એટલે કે $V + V_1 = 2V - 2V_1$.
પદોની ગોઠવણી કરતા $3V_1 = V$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $V/V_1 = 3$.

(C) ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $f' = f \left( \frac{v \pm v_o}{v \mp v_s} \right)$ છે.
અહીં, અવલોકનકાર સ્થિર છે, તેથી $v_o = 0$. ધ્વનિની ઝડપ $v = 330 \text{ m/s}$ અને ઉદગમની ઝડપ $v_s = 30 \text{ m/s}$ છે.
ટ્રેન $A$ (સ્ટેશન/અવલોકનકાર તરફ આવતી) માટે, સંભળાતી આવૃત્તિ $f_A = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right) = 300 \left( \frac{330}{330 - 30} \right) = 300 \left( \frac{330}{300} \right) = 330 \text{ Hz}$ છે.
ટ્રેન $B$ (સ્ટેશન/અવલોકનકારથી દૂર જતી) માટે, સંભળાતી આવૃત્તિ $f_B = f \left( \frac{v}{v + v_s} \right) = 300 \left( \frac{330}{330 + 30} \right) = 300 \left( \frac{330}{360} \right) = 300 \left( \frac{11}{12} \right) = 275 \text{ Hz}$ છે.
આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત $\Delta f = f_A - f_B = 330 \text{ Hz} - 275 \text{ Hz} = 55 \text{ Hz}$ છે.

(C) ડોપ્લર અસર મુજબ, જ્યારે ધ્વનિનો ઉદ્ગમ સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે, ત્યારે સંભળાતી આવૃત્તિ $f'$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
જ્યાં:
$f = 450 \text{ Hz}$ (ઉદ્ગમની આવૃત્તિ)
$v = 340 \text{ m/s}$ (ધ્વનિની ઝડપ)
$v_s = 34 \text{ m/s}$ (ઉદ્ગમની ઝડપ)
કિંમતો મૂકતા:
$f' = 450 \left( \frac{340}{340 - 34} \right)$
$f' = 450 \left( \frac{340}{306} \right)$
$f' = 450 \times 1.111... = 500 \text{ Hz}$
તેથી, અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $500 \text{ Hz}$ છે.

(B) બીટ આવૃત્તિ $|n - f_s| = x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $f_s$ એ સોનોમીટર તારની આવૃત્તિ છે. આનો અર્થ એ છે કે $f_s = n + x$ અથવા $f_s = n - x$.
જ્યારે તારનું તણાવ $T$ વધારવામાં આવે છે, ત્યારે તારની આવૃત્તિ $f_s$ વધે છે કારણ કે $f_s \propto \sqrt{T}$.
જો $f_s = n + x$ હોય, તો $f_s$ વધારવાથી તે $n$ થી વધુ દૂર જશે, આમ બીટ આવૃત્તિ $(f_s - n)$ વધશે.
જો $f_s = n - x$ હોય, તો $f_s$ વધારવાથી તે $n$ ની નજીક આવશે, આમ બીટ આવૃત્તિ $(n - f_s)$ ઘટશે.
પ્રશ્નમાં જણાવ્યા મુજબ બીટ આવૃત્તિ ઘટે છે, તેથી તારની પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n - x$ હોવી જોઈએ.

(B) પરકશન (તાલવાદ્ય) એ એવું સંગીતનું સાધન છે જે તેને અથડાવીને, ઘસીને અથવા હાથ વડે વગાડીને અવાજ ઉત્પન્ન કરે છે.
$(1)$ $Drum$ (ડ્રમ): તે એક તાલવાદ્ય છે જે પટલ (membrane) પર અથડાવીને વગાડવામાં આવે છે.
$(2)$ $Saxophone$ (સેક્સોફોન): તે એક વુડવિન્ડ (woodwind) સાધન છે, તાલવાદ્ય નથી, કારણ કે તે રીડ (reed) ના કંપન દ્વારા અવાજ ઉત્પન્ન કરે છે.
$(3)$ $Daphali$ (ડફલી): તે એક તાલવાદ્ય છે જે અથડાવીને વગાડવામાં આવે છે.
$(4)$ $Xylophone$ (ઝાયલોફોન): તે એક તાલવાદ્ય છે જે લાકડાના સળિયા પર મેલેટ વડે અથડાવીને વગાડવામાં આવે છે.
તેથી, $Saxophone$ સાચો જવાબ છે.

(A) તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $Y = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
$Y_1 = 0.25 \sin 316t$ માટે, કોણીય આવૃત્તિ $\omega_1 = 316 \text{ rad/s}$ છે.
$Y_2 = 0.25 \sin 310t$ માટે, કોણીય આવૃત્તિ $\omega_2 = 310 \text{ rad/s}$ છે.
કોણીય આવૃત્તિ અને રેખીય આવૃત્તિ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = 2\pi f$ છે, તેથી $f = \omega / (2\pi)$.
તેથી, $f_1 = 316 / (2\pi)$ અને $f_2 = 310 / (2\pi)$.
બીટ આવૃત્તિ એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $f_b = |f_1 - f_2|$.
$f_b = |(316 / 2\pi) - (310 / 2\pi)| = 6 / (2\pi) = 3 / \pi$.
આમ, પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા $3/\pi$ છે.

(C) બીટ્સ એ ધ્વનિશાસ્ત્રની એક ઘટના છે જે સમાન દિશામાં ગતિ કરતા સહેજ અલગ આવૃત્તિ ધરાવતા બે ધ્વનિ તરંગોના સુપરપોઝિશનને કારણે થાય છે.
જ્યારે આ તરંગો એકબીજા પર સંપાત થાય છે, ત્યારે તે કોઈ બિંદુએ ધ્વનિની તીવ્રતામાં સામયિક ફેરફાર કરે છે, જે અવાજમાં વધઘટ તરીકે સંભળાય છે.
બીટ્સની ઘટના સ્પષ્ટપણે સાંભળી શકાય તે માટે, બે તરંગોની આવૃત્તિઓ એકબીજાની ખૂબ નજીક હોવી જોઈએ (એટલે કે, બીટ આવૃત્તિ $f_b = |f_1 - f_2|$ નાની હોવી જોઈએ, સામાન્ય રીતે $\le 10 \text{ Hz}$).
જોકે કંપનવિસ્તાર સમાન હોવો જરૂરી નથી, પરંતુ જ્યારે કંપનવિસ્તાર સમાન અથવા લગભગ સમાન હોય ત્યારે આ અસર સૌથી વધુ સ્પષ્ટ જણાય છે.

(D) આપેલ તરંગ સમીકરણો $y_1 = 4 \sin(708 \pi t)$ અને $y_2 = 3 \sin(700 \pi t)$ છે.
તેને પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(2 \pi f t)$ સાથે સરખાવતા:
$y_1$ માટે: $2 \pi f_1 = 708 \pi \implies f_1 = 354 \text{ Hz}$ અને કંપવિસ્તાર $A_1 = 4$.
$y_2$ માટે: $2 \pi f_2 = 700 \pi \implies f_2 = 350 \text{ Hz}$ અને કંપવિસ્તાર $A_2 = 3$.
બીટ આવૃત્તિ $f_b = |f_1 - f_2| = |354 - 350| = 4 \text{ બીટ્સ પ્રતિ સેકન્ડ}$.
તીવ્રતા $I$ એ કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(I \propto A^2)$.
મહત્તમ તીવ્રતા (waxing) $I_{max} \propto (A_1 + A_2)^2 = (4 + 3)^2 = 7^2 = 49$.
ન્યૂનતમ તીવ્રતા (wanning) $I_{min} \propto (A_1 - A_2)^2 = (4 - 3)^2 = 1^2 = 1$.
તેથી, મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $I_{max} : I_{min} = 49:1$ થાય.
આમ, પ્રતિ સેકન્ડ બીટ્સની સંખ્યા $4$ છે અને તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $49:1$ છે.

(B) ધારો કે વ્યક્તિ પ્રથમ ખડકથી $d_1$ અંતરે અને બીજા ખડકથી $d_2$ અંતરે છે.
પ્રથમ પડઘા માટે લાગતો સમય $t_1 = 1$ સેકન્ડ છે. ધ્વનિ વ્યક્તિ સુધી પાછા ફરવા માટે $2d_1$ જેટલું અંતર કાપે છે.
તેથી, $2d_1 = v \times t_1 = 330 \times 1 = 330$ m.
$d_1 = 165$ m.
બીજા પડઘા માટે લાગતો સમય $t_2 = 3$ સેકન્ડ છે. ધ્વનિ વ્યક્તિ સુધી પાછા ફરવા માટે $2d_2$ જેટલું અંતર કાપે છે.
તેથી, $2d_2 = v \times t_2 = 330 \times 3 = 990$ m.
$d_2 = 495$ m.
બે ખડકો વચ્ચેનું કુલ અંતર $D = d_1 + d_2 = 165 + 495 = 660$ m થાય.

(C) ધારો કે $14$ ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિઓ સમાંતર શ્રેણીમાં છે: $f_1, f_2, f_3, ..., f_{14}$.
આપેલ છે કે દરેક ફોર્ક તેના અગાઉના ફોર્ક સાથે પ્રતિ સેકન્ડ '$x$' બીટ્સ ઉત્પન્ન કરે છે, તેથી સામાન્ય તફાવત $d = x$ છે.
આમ, $f_n = f_1 + (n-1)x$.
છેલ્લો ફોર્ક એ પ્રથમ ફોર્કનો ઓક્ટેવ છે, એટલે કે $f_{14} = 2f_1$.
$n=14$ મૂકતા: $f_1 + 13x = 2f_1$, જેનો અર્થ છે કે $f_1 = 13x$.
સાતમા ફોર્કની આવૃત્તિ $f_7 = f_1 + 6x = 114 \text{ Hz}$ છે.
$f_1 = 13x$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $13x + 6x = 114$.
$19x = 114$.
$x = 114 / 19 = 6$.
તેથી,'$x$' નું મૂલ્ય $6$ છે.

(C) ધારો કે બંને પાઇપની લંબાઈ $L$ છે।
ખુલ્લી પાઇપ માટે, $n$-મા હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = n \cdot \frac{v}{2L}$ છે। પ્રથમ ઓવરટોન એ બીજો હાર્મોનિક $(n=2)$ છે, તેથી $f_{open} = 2 \cdot \frac{v}{2L} = \frac{v}{L}$.
બંધ પાઇપ માટે, $n$-મા હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = (2n-1) \cdot \frac{v}{4L}$ છે। પ્રથમ ઓવરટોન એ ત્રીજો હાર્મોનિક $(n=2)$ છે, તેથી $f_{closed} = 3 \cdot \frac{v}{4L}$.
બીટ આવૃત્તિ $|f_{open} - f_{closed}| = 3$ છે।
$|\frac{v}{L} - \frac{3v}{4L}| = 3$ implies $\frac{v}{4L} = 3$ implies $\frac{v}{L} = 12$.
હવે, ખુલ્લી પાઇપની નવી લંબાઈ $L' = \frac{L}{3}$ અને બંધ પાઇપની નવી લંબાઈ $L'' = 3L$ છે।
મૂળભૂત આવૃત્તિઓનો ઉપયોગ કરતા, જો આપણે મૂળભૂત આવૃત્તિઓ લઈએ તો: $f_{open} = \frac{v}{2L}$ અને $f_{closed} = \frac{v}{4L}$.
$|f_{open} - f_{closed}| = \frac{v}{4L} = 3$.
નવી આવૃત્તિઓ: $f'_{open} = \frac{v}{2(L/3)} = 3 \cdot \frac{v}{2L} = 3 \cdot 6 = 18$.
$f''_{closed} = \frac{v}{4(3L)} = \frac{1}{3} \cdot \frac{v}{4L} = \frac{3}{3} = 1$.
બીટ્સની સંખ્યા $|18 - 1| = 17$ થશે.

(D) $L$ લંબાઈની બંધ પાઇપમાં, મૂળભૂત મોડ (પ્રથમ હાર્મોનિક) માં બંધ છેડા પર નિસ્પંદ બિંદુ અને ખુલ્લા છેડા પર પ્રસ્પંદ બિંદુ હોય છે.
મૂળભૂત મોડ માટે, પાઇપની લંબાઈ $L = \frac{\lambda}{4}$ છે, જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે.
ધ્વનિ તરંગને ખુલ્લા છેડાથી બંધ છેડા સુધી (અંતર $L$) પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{L}{v}$ છે, જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $v = f\lambda$, તેથી $t = \frac{L}{f\lambda}$.
$L = \frac{\lambda}{4}$ મૂકતા, આપણને $t = \frac{\lambda/4}{f\lambda} = \frac{1}{4f}$ મળે છે.
આવૃત્તિ $f$ માટે સૂત્ર બનાવતા, $f = \frac{1}{4t}$ મળે છે.

(A) ધારો કે ખુલ્લી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_o = \frac{v}{2L}$ છે.
ખુલ્લી પાઇપનો પ્રથમ ઓવરટોન $f_{o1} = 2f_o$ છે.
સમાન લંબાઈ $L$ ધરાવતી બંધ પાઇપ માટે, મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_c = \frac{v}{4L} = \frac{f_o}{2}$ છે.
બંધ પાઇપનો બીજો ઓવરટોન $f_{c2} = 5f_c = 5 \left( \frac{f_o}{2} \right) = 2.5f_o$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ, $f_{c2} - f_{o1} = 100 \text{ Hz}$.
કિંમતો મૂકતા: $2.5f_o - 2f_o = 100 \text{ Hz}$.
$0.5f_o = 100 \text{ Hz}$.
$f_o = 200 \text{ Hz}$.

(B) ધારો કે પાઇપની કુલ લંબાઈ $L$ છે. બંને છેડે ખુલ્લી પાઇપ માટે, મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $v$ એ હવામાં અવાજની ઝડપ છે.
જ્યારે પાઇપને પાણીમાં એવી રીતે ડુબાડવામાં આવે છે કે તેની લંબાઈનો $\frac{2}{3}$ ભાગ પાણીમાં હોય, ત્યારે પાણીની ઉપર રહેલા હવાના સ્તંભની લંબાઈ $L' = L - \frac{2}{3}L = \frac{1}{3}L$ થાય છે.
આ હવાના સ્તંભ હવે એક છેડે બંધ (પાણીની સપાટી) અને બીજા છેડે ખુલ્લી પાઇપ તરીકે કાર્ય કરે છે.
એક છેડે બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f' = \frac{v}{4L'}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૂત્રમાં $L' = \frac{1}{3}L$ મૂકતા, આપણને $f' = \frac{v}{4(\frac{1}{3}L)} = \frac{3v}{4L}$ મળે છે.
કારણ કે $f = \frac{v}{2L}$, આપણે $v = 2Lf$ લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમત $f'$ ના સમીકરણમાં મૂકતા, આપણને $f' = \frac{3(2Lf)}{4L} = \frac{6f}{4} = \frac{3}{2}f$ મળે છે.

(D) ધારો કે ખુલ્લી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_o = \frac{v}{2L}$ છે.
ખુલ્લી પાઇપનો બીજો ઓવરટોન $f_{o,2} = 3f_o = 3 \times \frac{v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_c = \frac{v}{4L}$ છે.
બંધ પાઇપનો ત્રીજો ઓવરટોન એ $7^{th}$ હાર્મોનિક છે, જે $f_{c,3} = 7f_c = 7 \times \frac{v}{4L}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ, $f_{c,3} - f_{o,2} = 150 \text{ Hz}$.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{7v}{4L} - \frac{3v}{2L} = 150$.
$\frac{7v - 6v}{4L} = 150 \implies \frac{v}{4L} = 150 \text{ Hz}$.
કારણ કે $f_o = \frac{v}{2L} = 2 \times \frac{v}{4L}$, તેથી $f_o = 2 \times 150 = 300 \text{ Hz}$.

(B) એક છેડે બંધ પાઇપ માટે, અનુનાદ ત્યારે થાય છે જ્યારે હવાના સ્તંભની લંબાઈ $L$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના ચોથા ભાગનો એકી ગુણાંક હોય.
અનુનાદ માટેની શરત $L = (2n - 1) \frac{\lambda}{4}$ છે, જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$
પ્રથમ, $v = f \lambda$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તરંગલંબાઈ $\lambda$ શોધો, જ્યાં $v = 332$ m/s અને $f = 415$ Hz.
$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{332}{415} = 0.8$ m = $80$ cm.
હવે, $\lambda = 80$ cm ને અનુનાદની શરતમાં મૂકતા:
$L = (2n - 1) \frac{80}{4} = (2n - 1) \times 20$ cm.
$n = 1$ માટે, $L = 20$ cm.
$n = 2$ માટે, $L = 60$ cm.
$n = 3$ માટે, $L = 100$ cm.
આ કિંમતોને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, $40$ cm એ $20$ cm નો એકી ગુણાંક નથી, તેથી તે અનુનાદમાં નથી.

(D) એક છેડે બંધ પાઇપ માટે, હાર્મોનિક્સની આવૃત્તિઓ $f_n = (2n + 1)f_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n = 0, 1, 2, ...$ એ ઓવરટોન નંબર દર્શાવે છે.
ચોથા ઓવરટોન માટે, $n = 4$ છે.
આવૃત્તિ $f_4 = (2(4) + 1)f_0 = 9f_0$ થશે.
$n$-માં ઓવરટોનમાં કંપન કરતી બંધ પાઇપમાં નિસ્પંદ બિંદુઓની સંખ્યાનું સામાન્ય સૂત્ર $x = n + 1$ છે.
$n = 4$ મૂકતા, આપણને $x = 4 + 1 = 5$ મળે છે.
$n$-માં ઓવરટોનમાં કંપન કરતી બંધ પાઇપમાં પ્રસ્પંદ બિંદુઓની સંખ્યાનું સામાન્ય સૂત્ર $y = n + 1$ છે.
$n = 4$ મૂકતા, આપણને $y = 4 + 1 = 5$ મળે છે.
તેથી, $x$ અને $y$ ના મૂલ્યો અનુક્રમે $5$ અને $5$ છે.

(C) બંને છેડે ખુલ્લી પાઈપ માટે, મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{2l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $v$ એ અવાજનો વેગ છે અને $l$ એ પાઈપની લંબાઈ છે.
$L$ લંબાઈની પ્રથમ પાઈપ માટે, આવૃત્તિ $f_1 = \frac{v}{2L}$ છે.
$(L + L_1)$ લંબાઈની બીજી પાઈપ માટે, આવૃત્તિ $f_2 = \frac{v}{2(L + L_1)}$ છે.
બીટ આવૃત્તિ એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $f_b = |f_1 - f_2|$.
$f_b = \left| \frac{v}{2L} - \frac{v}{2(L + L_1)} \right| = \frac{v}{2} \left| \frac{(L + L_1) - L}{L(L + L_1)} \right|$.
$f_b = \frac{v}{2} \left( \frac{L_1}{L(L + L_1)} \right) = \frac{vL_1}{2L(L + L_1)}$.

(D) $L_0$ લંબાઈની ખુલ્લી પાઇપ માટે, $n$ માં ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_n = (n+1) \frac{v}{2L_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાંચમા ઓવરટોન $(n=5)$ માટે, આવૃત્તિ $f_{5, \text{open}} = (5+1) \frac{v}{2L_0} = \frac{6v}{2L_0} = \frac{3v}{L_0}$ થાય.
$L_c$ લંબાઈની એક છેડે બંધ પાઇપ માટે, $n$ માં ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_n = (2n+1) \frac{v}{4L_c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાંચમા ઓવરટોન $(n=5)$ માટે, આવૃત્તિ $f_{5, \text{closed}} = (2 \times 5 + 1) \frac{v}{4L_c} = \frac{11v}{4L_c}$ થાય.
આવૃત્તિઓ સમાન હોવાથી, $f_{5, \text{open}} = f_{5, \text{closed}}$.
તેથી, $\frac{3v}{L_0} = \frac{11v}{4L_c}$.
ગુણોત્તર $\frac{L_0}{L_c}$ શોધતા, આપણને $\frac{L_0}{L_c} = \frac{3 \times 4}{11} = \frac{12}{11}$ મળે છે.

(C) ટ્યુનિંગ ફોર્ક તેની મૂળભૂત આવૃત્તિ '$n$' ના પૂર્ણાંક ગુણાંકમાં રહેલી આવૃત્તિઓ સાથે અનુનાદ કરે છે.
આને હાર્મોનિક્સ અથવા ઓવરટોન્સ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
આપેલ મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = 288$ Hz છે.
અનુનાદિત આવૃત્તિઓ $f = k \times n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $k = 1, 2, 3, \dots$
$k = 1$ માટે, $f = 1 \times 288 = 288$ Hz.
$k = 2$ માટે, $f = 2 \times 288 = 576$ Hz.
$k = 3$ માટે, $f = 3 \times 288 = 864$ Hz.
આ કિંમતોને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા:
વિકલ્પ $A$ ($288$ Hz) એ મૂળભૂત આવૃત્તિ છે $(k=1)$.
વિકલ્પ $B$ ($576$ Hz) એ બીજો હાર્મોનિક છે $(k=2)$.
વિકલ્પ $D$ ($864$ Hz) એ ત્રીજો હાર્મોનિક છે $(k=3)$.
વિકલ્પ $C$ ($844$ Hz) એ $288$ Hz નો પૂર્ણાંક ગુણાંક નથી $(844 / 288 \approx 2.93)$.
તેથી, ટ્યુનિંગ ફોર્ક $844$ Hz ની આવૃત્તિ સાથે અનુનાદ કરશે નહીં.

(C) એક છેડે બંધ $L$ લંબાઈની ઓર્ગન પાઇપ માટે, મૂળભૂત આવૃત્તિ $\nu = \frac{v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે.
જ્યારે પાઇપને બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે, ત્યારે દરેક ભાગની લંબાઈ $L' = \frac{L}{2}$ થાય છે.
એક ભાગ એક છેડે બંધ રહે છે, તેથી તેની મૂળભૂત આવૃત્તિ $\nu_1 = \frac{v}{4L'} = \frac{v}{4(L/2)} = \frac{2v}{4L} = 2\nu$ થાય છે.
બીજો ભાગ હવે બંને છેડે ખુલ્લો છે, તેથી તેની મૂળભૂત આવૃત્તિ $\nu_2 = \frac{v}{2L'} = \frac{v}{2(L/2)} = \frac{v}{L} = 4 \times (\frac{v}{4L}) = 4\nu$ થાય છે.
આમ, મળતી આવૃત્તિઓ $2\nu$ અને $4\nu$ છે.

(B) $L_c$ લંબાઈની બંધ પાઇપ માટે, $n$ માં ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_c = (2n + 1) \frac{v}{4L_c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n$ એ ઓવરટોનનો ક્રમ છે. ત્રીજા ઓવરટોન $(n = 3)$ માટે, $f_c = (2 \times 3 + 1) \frac{v}{4L_c} = \frac{7v}{4L_c}$ થાય.
$L_0$ લંબાઈની ખુલ્લી પાઇપ માટે, $n$ માં ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_0 = (n + 1) \frac{v}{2L_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ત્રીજા ઓવરટોન $(n = 3)$ માટે, $f_0 = (3 + 1) \frac{v}{2L_0} = \frac{4v}{2L_0} = \frac{2v}{L_0}$ થાય.
આપેલ છે કે આવૃત્તિઓ સમાન છે, તેથી $\frac{7v}{4L_c} = \frac{2v}{L_0}$ થાય.
ગુણોત્તર $L_c : L_0$ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા, આપણને $\frac{L_c}{L_0} = \frac{7}{4 \times 2} = \frac{7}{8}$ મળે છે.
આમ, ગુણોત્તર $L_c : L_0$ એ $7:8$ છે.

(D) એક છેડે ખુલ્લી રેઝોનન્સ ટ્યુબ માટે, રેઝોનન્સની શરત $L + e = (2n - 1) \frac{\lambda}{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $L$ એ હવાના સ્તંભની લંબાઈ છે, $e$ એ અંતિમ સુધારો છે, અને $n = 1, 2, 3, \dots$ છે.
પ્રથમ રેઝોનન્સ $(n=1)$ માટે: $L_1 + e = \frac{\lambda}{4}$.
આપેલ છે કે $L_1 = 18$ cm અને $e = 1.1$ cm, તેથી $18 + 1.1 = \frac{\lambda}{4} \implies 19.1 = \frac{\lambda}{4} \implies \lambda = 76.4$ cm.
બીજા રેઝોનન્સ $(n=2)$ માટે: $L_2 + e = \frac{3\lambda}{4}$.
કિંમતો મૂકતા: $L_2 + 1.1 = 3 \times 19.1$.
$L_2 + 1.1 = 57.3$.
$L_2 = 57.3 - 1.1 = 56.2$ cm.

(A) એક છેડે બંધ નળી માટે, જ્યારે હવાનો સ્તંભ $\frac{\lambda}{4}$ નો એકી ગુણાંક હોય ત્યારે અનુનાદ થાય છે.
ધારો કે બે સૌથી ટૂંકી લંબાઈ $l_1$ અને $l_2$ છે.
$l_1 = \frac{\lambda}{4}$
$l_2 = \frac{3\lambda}{4}$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$l_2 - l_1 = \frac{3\lambda}{4} - \frac{\lambda}{4} = \frac{2\lambda}{4} = \frac{\lambda}{2}$
તેથી, $\lambda = 2(l_2 - l_1)$.
હવામાં ધ્વનિની ઝડપ $v = n\lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\lambda$ ની કિંમત મૂકતા:
$v = n \times 2(l_2 - l_1) = 2n(l_2 - l_1)$.

(B) ખેંચાયેલા તાર માટે $n^{th}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $L$ એ લંબાઈ છે, $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \rho \cdot A = \rho \cdot \pi r^2$, જ્યાં $\rho$ એ દ્રવ્યની ઘનતા છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
તેથી, $f_n = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi r^2}} = \frac{n}{2Lr} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi}}$.
પ્રથમ તાર માટે: $n_1 = 2$ (પ્રથમ ઓવરટોન એ બીજો હાર્મોનિક છે), $r_1 = 2r_2$, $L_1 = L_1$.
$f_{1, \text{overtone}} = \frac{2}{2L_1 r_1} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi}} = \frac{1}{L_1 (2r_2)} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi}}$.
બીજા તાર માટે: $n_2 = 3$ (બીજો ઓવરટોન એ ત્રીજો હાર્મોનિક છે), $r_2 = r_2$, $L_2 = L_2$.
$f_{2, \text{overtone}} = \frac{3}{2L_2 r_2} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi}}$.
આપેલ છે કે $f_{1, \text{overtone}} = f_{2, \text{overtone}}$:
$\frac{1}{2L_1 r_2} = \frac{3}{2L_2 r_2}$.
$\frac{1}{L_1} = \frac{3}{L_2} \text{ implies } \frac{L_1}{L_2} = \frac{1}{3}$.

(A) બંને છેડે જડિત સોનોમીટરના તાર માટે, $n^{th}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = n f_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $f_1$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ છે.
સોનોમીટરના તારમાં, હાર્મોનિક્સ $1^{st}$ (મૂળભૂત), $2^{nd}$, $3^{rd}$, $4^{th}$ વગેરે હોય છે.
ઓવરટોન એ મૂળભૂત આવૃત્તિ કરતા વધારે આવૃત્તિઓ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
$1^{st}$ ઓવરટોન = $2^{nd}$ હાર્મોનિક $(n=2)$
$2^{nd}$ ઓવરટોન = $3^{rd}$ હાર્મોનિક $(n=3)$
$3^{rd}$ ઓવરટોન = $4^{th}$ હાર્મોનિક $(n=4)$
$n^{th}$ હાર્મોનિક માટે, નિસ્પંદ બિંદુઓની સંખ્યા $(n+1)$ અને પ્રસ્પંદ બિંદુઓની સંખ્યા $n$ હોય છે.
$4^{th}$ હાર્મોનિક $(n=4)$ માટે:
નિસ્પંદ બિંદુઓની સંખ્યા = $4 + 1 = 5$
પ્રસ્પંદ બિંદુઓની સંખ્યા = $4$
તેથી, તેમાં $5$ નિસ્પંદ બિંદુઓ અને $4$ પ્રસ્પંદ બિંદુઓ હોય છે.

(B) સોનોમીટર વાયરની મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે.
અહીં $T$ અને $\mu$ અચળ હોવાથી, $f \propto \frac{1}{L}$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક લંબાઈ $L_1 = L$ અને પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f_1 = 50 \text{ Hz}$ છે.
નવી લંબાઈ $L_2 = L + 0.25L = 1.25L = \frac{5}{4}L$ થશે.
નવી મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_2$ માટે, $\frac{f_2}{f_1} = \frac{L_1}{L_2} = \frac{L}{1.25L} = \frac{1}{1.25} = 0.8$ મળે.
તેથી, $f_2 = 0.8 \times 50 \text{ Hz} = 40 \text{ Hz}$.
બીજા હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f'_n = 2f_n$ છે.
પ્રારંભિક બીજા હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f'_1 = 2 \times 50 = 100 \text{ Hz}$.
નવી બીજા હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f'_2 = 2 \times 40 = 80 \text{ Hz}$.
આવૃત્તિમાં થતો ફેરફાર $\Delta f' = 80 - 100 = -20 \text{ Hz}$ છે.
ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta f'}{f'_1} \times 100 = \frac{-20}{100} \times 100 = -20\%$.
આમ, આવૃત્તિમાં $20\%$ નો ઘટાડો થાય છે.

(C) કંપન કરતા તારની આવૃત્તિ $f = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n$ એ લૂપ્સ (એન્ટિનોડ્સ) ની સંખ્યા છે, $L$ એ લંબાઈ છે, $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
ટ્યુનિંગ ફોર્ક સમાન હોવાથી, આવૃત્તિ $f$ અચળ રહે છે.
તેમજ, $L$ અને $\mu$ અચળ હોવાથી, $n \propto \sqrt{T}$ થાય.
તણાવ $T = Mg$ હોવાથી, $n \propto \sqrt{M}$ થાય, એટલે કે $n^2 \propto M$.
પ્રથમ કિસ્સામાં: $n_1 = 4$ અને $M_1 = 1 \text{ kg}$.
બીજા કિસ્સામાં: $n_2 = 2$ અને $M_2 = M$.
તેથી, $\frac{n_1^2}{n_2^2} = \frac{M_1}{M_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{4^2}{2^2} = \frac{1}{M}$.
$\frac{16}{4} = \frac{1}{M} \implies 4 = \frac{1}{M}$.
આમ, $M = 4 \text{ kg}$.

(C) $1$. એક છેડે ખુલ્લી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ: $f_p = \frac{v}{4L} = \frac{320}{4 \times 0.8} = 100 \text{ Hz}$.
$2$. દોરી તેના પ્રથમ ઓવરટોનમાં કંપન કરે છે. બંને છેડે જડેલી દોરી માટે, પ્રથમ ઓવરટોન એ બીજો હાર્મોનિક છે: $f_s = \frac{v_s}{l}$, જ્યાં $v_s = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$.
$3$. આપેલ છે કે $f_s = f_p = 100 \text{ Hz}$, $l = 0.5 \text{ m}$, અને $T = 50 \text{ N}$.
$4$. $100 = \frac{1}{0.5} \sqrt{\frac{50}{\mu}} \implies 50 = \sqrt{\frac{50}{\mu}}$.
$5$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $2500 = \frac{50}{\mu} \implies \mu = 0.02 \text{ kg/m}$.
$6$. દોરીનું દળ $m = \mu \times l = 0.02 \times 0.5 = 0.01 \text{ kg} = 10 \text{ g}$.

(C) ખેંચાયેલી દોરીની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે, જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
આ સંબંધ પરથી, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $f \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f_1$ છે અને અંતિમ આવૃત્તિ $f_2 = f_1 + 0.40f_1 = 1.4f_1$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક તણાવ $T_1$ છે અને અંતિમ તણાવ $T_2$ છે.
$f \propto \sqrt{T}$ હોવાથી, $\frac{f_2}{f_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1.4f_1}{f_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} \implies 1.4 = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(1.4)^2 = \frac{T_2}{T_1} \implies 1.96 = \frac{T_2}{T_1}$.
આમ, $T_2 = 1.96T_1$.
તણાવમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{T_2 - T_1}{T_1} \times 100\% = (1.96 - 1) \times 100\% = 0.96 \times 100\% = 96\%$ છે.

(A) બંને છેડે જડિત સોનોમીટરના તારમાં, $n^{th}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = n f_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $f_1$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ છે.
$n^{th}$ હાર્મોનિક એ $(n-1)^{th}$ ઓવરટોનને અનુરૂપ છે.
અહીં તાર ત્રીજા ઓવરટોનમાં કંપન કરે છે, તેથી $n-1 = 3$, જેનો અર્થ છે કે $n = 4$.
$n^{th}$ હાર્મોનિક માટે, રચાતા લૂપ્સની સંખ્યા $n = 4$ છે.
એન્ટિનોડ્સની સંખ્યા લૂપ્સની સંખ્યા જેટલી જ હોય છે, જે $4$ છે.
બંને છેડે જડિત તારમાં નોડ્સની સંખ્યા $n+1 = 4+1 = 5$ થાય છે.
તેથી, એન્ટિનોડ્સની સંખ્યા $4$ અને નોડ્સની સંખ્યા $5$ છે.

(A) તાર $A$ ની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_A = 256 \text{ Hz}$ છે.
તાર $A$ નો ત્રીજો હાર્મોનિક $3 \times f_A = 3 \times 256 = 768 \text{ Hz}$ છે.
તાર $B$ ની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_B = 382 \text{ Hz}$ છે.
તાર $B$ નો બીજો હાર્મોનિક $2 \times f_B = 2 \times 382 = 764 \text{ Hz}$ છે.
બીટ આવૃત્તિ એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $|768 - 764| = 4 \text{ Hz}$.
આનો અર્થ એ છે કે પ્રતિ સેકન્ડ $4$ બીટ્સ સંભળાય છે.
તેથી, $2$ સેકન્ડમાં સંભળાતા બીટ્સની સંખ્યા $4 \times 2 = 8$ થશે.

(A) સોનોમીટરના તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ તારમાં તણાવ છે.
જ્યારે ગોળો હવામાં લટકતો હોય, ત્યારે તણાવ $T_1 = Mg$ હોય છે, તેથી $n_1 \propto \sqrt{Mg}$.
જ્યારે ગોળાને પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે, ત્યારે ઉત્પ્લાવક બળ ઉપરની તરફ લાગે છે, તેથી અસરકારક વજન (તણાવ) $T_2 = Mg - V\rho_w g = Mg(1 - \frac{V\rho_w}{M}) = Mg(1 - \frac{\rho_w}{\rho_m})$ થાય છે, જ્યાં $\rho_m$ એ ધાતુની ઘનતા છે અને $\rho_w$ એ પાણીની ઘનતા છે.
આમ, $n_2 \propto \sqrt{Mg(1 - \frac{\rho_w}{\rho_m})}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{1}{1 - \frac{\rho_w}{\rho_m}}} = \sqrt{\frac{\rho_m}{\rho_m - \rho_w}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{n_1^2}{n_2^2} = \frac{\rho_m}{\rho_m - \rho_w}$.
ધારો કે સાપેક્ષ ઘનતા $\sigma = \frac{\rho_m}{\rho_w}$ છે. તો $\frac{n_1^2}{n_2^2} = \frac{\sigma}{\sigma - 1}$.
$n_1^2(\sigma - 1) = n_2^2 \sigma \implies \sigma(n_1^2 - n_2^2) = n_1^2$.
તેથી, $\sigma = \frac{n_1^2}{n_1^2 - n_2^2}$.

(B) બંને છેડે જડિત તાર માટે $n$ માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = n \cdot f_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $f_1$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે કે તાર $P$ માં હાર્મોનિકમાં $320 \text{ Hz}$ પર અનુનાદિત થાય છે, તેથી $f_P = P \cdot f_1 = 320 \text{ Hz}$.
ક્રમિક મોડમાં પછીની ઉચ્ચ આવૃત્તિ $(P+1)$ માં હાર્મોનિક છે, જે $f_{P+1} = (P+1) \cdot f_1 = 400 \text{ Hz}$ તરીકે આપેલ છે.
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતા: $(P+1)f_1 - P f_1 = 400 - 320$.
આનાથી $f_1 = 80 \text{ Hz}$ મળે છે.
$f_1$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $P \cdot 80 = 320$.
તેથી, $P = 320 / 80 = 4$.

(B) સોનોમીટર વાયરની આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જેનો અર્થ છે કે $n \propto \frac{1}{L}$.
ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $f$ છે. વાયરની આવૃત્તિ $n = \frac{k}{L}$ છે.
કિસ્સો $1$: $L_1 = 33 \text{ cm}$, બીટ્સ = $5$. તેથી, $n_1 = f \pm 5 = \frac{k}{33}$.
કિસ્સો $2$: $L_2 = 32 \text{ cm}$, બીટ્સ = $5$. તેથી, $n_2 = f \pm 5 = \frac{k}{32}$.
જેમ $L$ ઘટે છે, તેમ $n$ વધે છે. તેથી, $n_2 > n_1$.
જો $n_1 = f - 5$ અને $n_2 = f + 5$ હોય, તો $\frac{k}{32} = f + 5$ અને $\frac{k}{33} = f - 5$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $k(\frac{1}{32} - \frac{1}{33}) = 10 \Rightarrow k(\frac{1}{1056}) = 10 \Rightarrow k = 10560$.
હવે, $f - 5 = \frac{10560}{33} = 320 \Rightarrow f = 325 \text{ Hz}$.

(C) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર: $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$, જ્યાં $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \text{આડછેદનું ક્ષેત્રફળ} \times \text{ઘનતા} = (\pi r^2) \rho = \pi (d/2)^2 \rho = \frac{\pi d^2 \rho}{4}$.
આવૃત્તિના સૂત્રમાં $\mu$ ની કિંમત મૂકતા: $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\frac{\pi d^2 \rho}{4}}} = \frac{1}{Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
પ્રથમ તાર માટે: $n_A = \frac{1}{Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
બીજા તાર માટે: $n_B = \frac{1}{(2L)(3d)} \sqrt{\frac{2T}{\pi (2\rho)}} = \frac{1}{6Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
ગુણોત્તર લેતા $n_B : n_A = \frac{\frac{1}{6Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}}{\frac{1}{Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}} = \frac{1}{6}$.
આમ, $n_B : n_A$ નો ગુણોત્તર $1 : 6$ છે.

(A) સ્થિર તરંગમાં, તરંગનું સમીકરણ $y = 2A \sin(kx) \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, પદ $2A \sin(kx)$ એ $x$ સ્થાન પર રહેલા કણનો કંપવિસ્તાર દર્શાવે છે.
કંપવિસ્તાર $x$ સ્થાન પર આધારિત હોવાથી, અલગ-અલગ કણોનો કંપવિસ્તાર અલગ-અલગ હોય છે.
નિસ્પંદ બિંદુઓ (nodes) પર, $\sin(kx) = 0$ થાય છે, તેથી કંપવિસ્તાર શૂન્ય હોય છે, જેનો અર્થ છે કે નિસ્પંદ બિંદુઓ પરના કણો સ્થિર હોય છે.
બધા કણો (નિસ્પંદ બિંદુઓ સિવાય) સમાન કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ (અને તેથી સમાન આવર્તકાળ $T = 2\pi/\omega$) સાથે સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M.)$ કરે છે, પરંતુ તેમના કંપવિસ્તાર તેમના સ્થાન $x$ મુજબ બદલાય છે.

(D) $1$. સ્થિર તરંગમાં, બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ (nodes) અથવા બે ક્રમિક પ્રસ્પંદ બિંદુઓ (antinodes) વચ્ચેનું અંતર $\lambda/2$ હોય છે. તેથી, વિકલ્પ $A$ ખોટો છે.
$2$. બંને છેડે ખુલ્લી પાઇપમાં, બધા જ હાર્મોનિક્સ (એકી અને બેકી) હાજર હોય છે. તેથી, વિકલ્પ $B$ ખોટો છે.
$3$. એક છેડે બંધ પાઇપમાં, માત્ર એકી હાર્મોનિક્સ હાજર હોય છે. તેથી, વિકલ્પ $C$ ખોટો છે.
$4$. ખેંચાયેલી દોરી માટે, મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = v/2L$ છે. પ્રથમ ઓવરટોન એ તેના પછીની ઉચ્ચ આવૃત્તિ છે, જે $f_2 = 2v/2L = 2f_1$ છે. આને બીજો હાર્મોનિક પણ કહેવામાં આવે છે. તેથી, વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરમાં, આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા એ એકમ સમયમાં એકમ ક્ષેત્રફળ પર આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
દરેક ફોટોન એક ફોટોઈલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન કરે છે (જો આવૃત્તિ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ કરતા વધારે હોય), તેથી તીવ્રતા વધારવાથી પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત થતા ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા વધે છે.
પરિણામે, ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ વધે છે.
ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા માત્ર આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ અને ધાતુના વર્ક ફંક્શન પર આધાર રાખે છે, પ્રકાશની તીવ્રતા પર નહીં.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ નીચે મુજબ છે:
$K_{max} = E - \Phi_0$
જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\Phi_0$ એ ધાતુનું કાર્ય વિધેય છે.
આપેલ કટ-ઓફ આવૃત્તિ (થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ) $\nu$ હોવાથી, કાર્ય વિધેય $\Phi_0 = h\nu$ થાય.
$3\nu$ આવૃત્તિવાળા આપાત વિકિરણની ઊર્જા $E = h(3\nu) = 3h\nu$ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$K_{max} = 3h\nu - h\nu = 2h\nu$.
$K_{max} = \frac{1}{2}mv_{max}^2$ હોવાથી:
$\frac{1}{2}mv_{max}^2 = 2h\nu$
$v_{max}^2 = \frac{4h\nu}{m}$
$v_{max} = \sqrt{\frac{4h\nu}{m}} = 2\sqrt{\frac{h\nu}{m}}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, મહત્તમ ગતિઊર્જા $K = \frac{hc}{\lambda} - \Phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\Phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda_1$ માટે, $K_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - \Phi$.
તરંગલંબાઈ $\lambda_2$ માટે, $K_2 = \frac{hc}{\lambda_2} - \Phi$.
આપેલ છે કે $\lambda_1 = 3\lambda_2$, તેથી $K_1$ ના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$K_1 = \frac{hc}{3\lambda_2} - \Phi$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{hc}{\lambda_2} = K_2 + \Phi$, તેથી $K_1 = \frac{K_2 + \Phi}{3} - \Phi = \frac{K_2}{3} + \frac{\Phi}{3} - \Phi = \frac{K_2}{3} - \frac{2\Phi}{3}$.
અહીં $\Phi > 0$ હોવાથી, સાબિત થાય છે કે $K_1 < \frac{K_2}{3}$.

(C) આઈન્સ્ટાઈનનું ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ $K_{max} = h\nu - \Phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $K_{max}$ એ ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા છે, $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે, $\nu$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે અને $\Phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આ સમીકરણને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા, આપણને $y = K_{max}$, $x = \nu$, $m = h$ અને $c = -\Phi$ મળે છે.
$K_{max}$ વિરુદ્ધ $\nu$ ના આલેખનો ઢાળ $h$ (પ્લાન્કનો અચળાંક) છે.
$h$ એ સાર્વત્રિક અચળાંક હોવાથી, ઢાળ બધી ધાતુઓ માટે સમાન હોય છે અને તે આપાત વિકિરણની તીવ્રતાથી સ્વતંત્ર હોય છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ છે, જ્યાં $\phi$ એ કાર્યવિધેય છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે ($\lambda$ તરંગલંબાઈ): $K_1 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$.
બીજા કિસ્સા માટે ($\lambda/3$ તરંગલંબાઈ): $K_2 = \frac{hc}{(\lambda/3)} - \phi = \frac{3hc}{\lambda} - \phi$.
આપેલ છે કે $K_2 = 4K_1$, તેથી:
$\frac{3hc}{\lambda} - \phi = 4(\frac{hc}{\lambda} - \phi)$.
$\frac{3hc}{\lambda} - \phi = \frac{4hc}{\lambda} - 4\phi$.
$\phi$ માટે સાદું રૂપ આપતા:
$4\phi - \phi = \frac{4hc}{\lambda} - \frac{3hc}{\lambda}$.
$3\phi = \frac{hc}{\lambda}$.
$\phi = \frac{hc}{3\lambda}$.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $eV = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$, જ્યાં $\lambda_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $eV = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ --- $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે: $e(\frac{V}{4}) = \frac{hc}{1.5\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $4$ વડે ગુણતા: $eV = \frac{4hc}{1.5\lambda} - \frac{4hc}{\lambda_0} = \frac{8hc}{3\lambda} - \frac{4hc}{\lambda_0}$ --- $(3)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(3)$ ને સરખાવતા: $\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{8hc}{3\lambda} - \frac{4hc}{\lambda_0}$
$\frac{4hc}{\lambda_0} - \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{8hc}{3\lambda} - \frac{hc}{\lambda}$
$\frac{3hc}{\lambda_0} = \frac{5hc}{3\lambda}$
$\frac{3}{\lambda_0} = \frac{5}{3\lambda}$
$\lambda_0 = \frac{9}{5}\lambda$.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = h\nu - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
બંને ફોટોકેથોડ સમાન હોવાથી, તેમનું વર્ક ફંક્શન $\phi$ સમાન રહેશે.
$n_1$ આવૃત્તિ માટે, ગતિઊર્જા $\frac{1}{2}mV_1^2 = hn_1 - \phi$ --- $(1)$
$n_2$ આવૃત્તિ માટે, ગતિઊર્જા $\frac{1}{2}mV_2^2 = hn_2 - \phi$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$\frac{1}{2}mV_1^2 - \frac{1}{2}mV_2^2 = (hn_1 - \phi) - (hn_2 - \phi)$
$\frac{1}{2}m(V_1^2 - V_2^2) = h(n_1 - n_2)$
$V_1^2 - V_2^2 = \frac{2h}{m}(n_1 - n_2)$.

(B) ફોટોન માટે, ઉર્જા $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda_p}$ છે. તેથી, ફોટોનની તરંગલંબાઇ $\lambda_p = \frac{hc}{E}$ થાય.
ઇલેક્ટ્રોન માટે, ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda_e = \frac{h}{p}$ છે. ગતિ ઉર્જા $E = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી, $p = \sqrt{2mE}$ મળે. તેથી, $\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$.
ફોટોન અને ઇલેક્ટ્રોનની તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_p}{\lambda_e} = \frac{hc/E}{h/\sqrt{2mE}} = \frac{c}{E} \times \sqrt{2mE} = c \sqrt{\frac{2mE}{E^2}} = c \sqrt{\frac{2m}{E}}$ થાય.

(B) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી કહી શકાય કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
તેથી, $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{V_2}{V_1}}$.
અહીં $\lambda_1 = \lambda$ અને $\lambda_2 = 2\lambda$ આપેલ છે, તેથી:
$\frac{\lambda}{2\lambda} = \sqrt{\frac{V_2}{V_1}}$.
$\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{V_2}{V_1}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{4} = \frac{V_2}{V_1}$.
આમ, $\frac{V_1}{V_2} = 4$.

(A) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ અને ગતિઊર્જા $(K)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$.
આ સંબંધ પરથી કહી શકાય કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$.
ધારો કે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_1 = K$ અને પ્રારંભિક તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = \lambda$ છે.
નવી ગતિઊર્જા $K_2 = 3K$ છે.
ધારો કે નવી તરંગલંબાઈ $\lambda_2$ છે.
તેથી, $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{K_1}{K_2}}$.
કિંમતો મૂકતા, $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{K}{3K}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ, નવી દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ અને અગાઉની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.

(A) $V$ સ્થિતિમાન હેઠળ પ્રવેગિત થતા વિદ્યુતભારિત કણ સાથે સંકળાયેલી દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $m$ એ કણનું દળ અને $q$ એ વિદ્યુતભાર છે.
સમાન તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે, $\lambda^2 = \frac{h^2}{2mqV}$, જેનો અર્થ છે કે $V \propto \frac{1}{mq}$.
તેથી, પ્રવેગક સ્થિતિમાનનો ગુણોત્તર $V_{\alpha} / V_p = \frac{m_p q_p}{m_{\alpha} q_{\alpha}}$ થાય.
આપેલ છે: $m_{\alpha} = 4m_p$ અને $q_{\alpha} = 2q_p$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{V_{\alpha}}{V_p} = \frac{m_p q_p}{(4m_p)(2q_p)} = \frac{1}{8}$.
પ્રશ્ન મુજબ પ્રોટોન અને $\alpha$-કણના સ્થિતિમાનનો ગુણોત્તર $V_p / V_{\alpha} = 8$ મળે છે.

(C) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને ગતિઊર્જા $K$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$.
ધારો કે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_1 = K$ અને પ્રારંભિક તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = \lambda$ છે.
જો ગતિઊર્જા $16$ ગણી કરવામાં આવે, તો $K_2 = 16K$ થાય.
નવી તરંગલંબાઈ $\lambda_2 = \frac{h}{\sqrt{2m(16K)}} = \frac{1}{4} \frac{h}{\sqrt{2mK}} = \frac{\lambda}{4}$ મળે.
તરંગલંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta \lambda = \lambda_1 - \lambda_2 = \lambda - \frac{\lambda}{4} = \frac{3\lambda}{4}$ છે.
ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta \lambda}{\lambda_1} \times 100\% = \frac{3\lambda/4}{\lambda} \times 100\% = 75\%$ થાય.

(D) બોહર મોડેલ મુજબ, $n$ મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = n^2 a_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $a_0$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે.
$n$ મી કક્ષાનો પરિઘ $2\pi r_n = 2\pi n^2 a_0$ થાય છે.
ડી-બ્રોગ્લી ઉત્કલ્પના મુજબ, સ્થિર કક્ષા માટેની શરત $n\lambda = 2\pi r_n$ છે.
$r_n$ નું સૂત્ર મૂકતા, આપણને $n\lambda_n = 2\pi n^2 a_0$ મળે છે, જેનું સાદું રૂપ આપતા $\lambda_n = 2\pi n a_0$ મળે છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n = 1)$ માટે, $\lambda_1 = 2\pi(1)a_0 = 2\pi a_0$ થાય.
$n = 3$ લેવલ માટે, $\lambda_3 = 2\pi(3)a_0 = 3(2\pi a_0) = 3\lambda_1$ થાય.
તેથી, $\lambda_3 = 3\lambda_1$ મળે છે.

(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ છે, જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે, $m$ દળ છે, $q$ વીજભાર છે અને $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે.
અહીં $h$ અને $V$ બંને કણો માટે સમાન હોવાથી, $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{mq}}$ મળે.
ધારો કે પ્રોટોનનું દળ અને વીજભાર $m_p$ અને $q_p$ છે, અને $\alpha$-કણનું દળ અને વીજભાર $m_{\alpha}$ અને $q_{\alpha}$ છે.
આપેલ છે: $m_{\alpha} = 4m_p$ અને $q_{\alpha} = 2q_p$.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{m_{\alpha} q_{\alpha}}{m_p q_p}}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{4m_p \cdot 2q_p}{m_p \cdot q_p}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

(B) $V$ સ્થિતિમાન હેઠળ પ્રવેગિત થતા $q$ વિદ્યુતભાર અને $M$ દળ ધરાવતા કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2MqV}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\alpha$-કણ માટે, $M_{\alpha} = 4M_p$ અને $q_{\alpha} = 2e$, જ્યાં $M_p$ એ પ્રોટોનનું દળ છે અને $e$ એ મૂળભૂત વિદ્યુતભાર છે.
પ્રોટોન માટે, $M_p = M_p$ અને $q_p = e$.
તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{\alpha}}{\lambda_p} = \frac{\frac{h}{\sqrt{2(4M_p)(2e)V}}}{\frac{h}{\sqrt{2(M_p)(e)V}}} = \sqrt{\frac{2M_p e V}{16M_p e V}} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{\sqrt{8}}$.
આને $\frac{1}{\sqrt{m}}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $m = 8$ મળે છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઉર્જા સ્તર $n_i$ થી $n_f$ માં થતા સંક્રમણ માટે તરંગલંબાઇ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$.
સંક્રમણ $1$ ($n_i = 3$ થી $n_f = 1$) માટે:
$\frac{1}{\lambda_1} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{8}{9} \right) \implies \lambda_1 = \frac{9}{8R}$.
સંક્રમણ $2$ ($n_i = 2$ થી $n_f = 1$) માટે:
$\frac{1}{\lambda_2} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = R \left( \frac{3}{4} \right) \implies \lambda_2 = \frac{4}{3R}$.
ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{9/8R}{4/3R} = \frac{9}{8} \times \frac{3}{4} = \frac{27}{32}$.
આપેલ છે કે ગુણોત્તર $x/32$ છે, તેથી $x/32 = 27/32$, જેનો અર્થ છે કે $x = 27$.

(C) ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઇ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: ઇલેક્ટ્રોન બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_i = 3)$ માંથી પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_f = 2)$ માં સંક્રમણ કરે છે.
$\frac{1}{\lambda_0} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right)$.
તેથી, $\lambda_0 = \frac{36}{5R}$.
બીજા કિસ્સા માટે: ઇલેક્ટ્રોન ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_i = 4)$ માંથી બીજી કક્ષા $(n_f = 2)$ માં સંક્રમણ કરે છે.
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{3}{16} \right)$.
તેથી, $\lambda = \frac{16}{3R}$.
હવે, $\lambda$ ને $\lambda_0$ ના પદમાં દર્શાવતા:
$\lambda = \frac{16}{3R} = \frac{16}{3} \times \frac{5\lambda_0}{36} = \frac{80\lambda_0}{108} = \frac{20\lambda_0}{27}$.
આને આપેલ સમીકરણ $\frac{20\lambda_0}{x}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $x = 27$ મળે છે.

(B) ભૂમિ અવસ્થા $n = 1$ ને અનુરૂપ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 2$ ને અનુરૂપ છે.
બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 3$ ને અનુરૂપ છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન પ્રારંભિક અવસ્થા $n_i = 3$ થી અંતિમ અવસ્થા $n_f = 1$ માં સંક્રમણ કરે છે, ત્યારે શક્ય વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા $N = \frac{n(n-1)}{2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે, જ્યાં $n$ એ પ્રારંભિક ઉર્જા સ્તર છે.
વૈકલ્પિક રીતે, આપણે શક્ય સંક્રમણોની યાદી બનાવી શકીએ:
$1$. $n = 3$ થી $n = 2$
$2$. $n = 2$ થી $n = 1$
$3$. $n = 3$ થી $n = 1$
વર્ણપટ રેખાઓની કુલ સંખ્યા = $3$.

(B) હાઇડ્રોજન વર્ણપટ માટે રિડબર્ગનું સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
બામર શ્રેણી માટે, $n_1 = 2$ અને $n_2 = m$, જ્યાં $m = 3, 4, 5, \dots$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા, $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{m^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{m^2} \right)$ મળે છે.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા, $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{m^2 - 4}{4m^2} \right)$ થાય.
વ્યસ્ત લેતા, $\lambda = \frac{4m^2}{R(m^2 - 4)}$ મળે છે.
આપેલ સમીકરણ $\lambda = \frac{xm^2}{m^2 - 4}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $x = \frac{4}{R}$ મળે છે.

(D) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં સંક્રમણ માટેની તરંગલંબાઇ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
ટૂંકામાં ટૂંકી તરંગલંબાઇ માટે, સંક્રમણ $n_2 = \infty$ થી $n_1$ સુધી થાય છે.
હાઇડ્રોજનની બામર શ્રેણી માટે $(Z = 1)$, $n_1 = 2$. તેથી, $\frac{1}{\lambda_H} = R(1)^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{4}$.
$Z$ પરમાણુ ક્રમાંક ધરાવતા હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની બ્રેકેટ શ્રેણી માટે, $n_1 = 4$. તેથી, $\frac{1}{\lambda_Z} = R Z^2 \left( \frac{1}{4^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R Z^2}{16}$.
આપેલ છે કે $\lambda_H = \lambda_Z$, તેથી આપણે પદોને સરખાવતા: $\frac{R}{4} = \frac{R Z^2}{16}$.
સાદુરૂપ આપતા, $\frac{1}{4} = \frac{Z^2}{16}$, જે દર્શાવે છે કે $Z^2 = 4$.
તેથી, $Z = 2$.

(C) ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $(E)$ એ વર્ક ફંક્શન $(\phi)$ અને મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ ના સરવાળા જેટલી હોય છે:
$E = \phi + K_{max} = 2.65 \text{ eV} + 10.1 \text{ eV} = 12.75 \text{ eV}$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં, $n^{th}$ અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -13.6 / n^2 \text{ eV}$ છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $n$ અવસ્થામાંથી ધરા અવસ્થા $(n=1)$ માં સંક્રમણ કરે ત્યારે ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા:
$E = E_n - E_1 = -13.6 / n^2 - (-13.6 / 1^2) = 13.6 (1 - 1/n^2) \text{ eV}$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$12.75 = 13.6 (1 - 1/n^2)$
$12.75 / 13.6 = 1 - 1/n^2$
$0.9375 = 1 - 1/n^2$
$1/n^2 = 1 - 0.9375 = 0.0625$
$n^2 = 1 / 0.0625 = 16$
$n = 4$.

(A) બોહરના ક્વોન્ટાઇઝેશનના અધિતર્ક મુજબ, કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = mvr = nh / 2\pi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કક્ષા માટે, $n = 1$, તેથી $mvr = h / 2\pi$.
વેગ $v = h / (2\pi mr)$ મળે છે.
પ્રતિ સેકન્ડ પરિભ્રમણની સંખ્યા $f$ એ આવૃત્તિ છે, જે $f = v / (2\pi r)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આવૃત્તિના સૂત્રમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા: $f = (h / 2\pi mr) / (2\pi r) = h / 4\pi^2mr^2$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં, ન્યુક્લિયસ (ચાર્જ $+e$) અને ઇલેક્ટ્રોન (ચાર્જ $-e$) વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત આકર્ષણ બળ, ઇલેક્ટ્રોનને $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
કુલંબના નિયમ મુજબ, સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r^2}$ છે.
વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F = \frac{mv^2}{r}$ છે.
આ બંને બળોને સરખાવતા: $\frac{mv^2}{r} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r^2}$.
બંને બાજુ $r/2$ વડે ગુણતા, આપણને મળે છે: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{2r}$.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 r}$ છે.
અહીં $e$, $\pi$, અને $\epsilon_0$ અચળાંકો હોવાથી, ગતિઊર્જા $K$ એ $e^2/r$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ:
$1$. $n$ મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n \propto n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2$. $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ $V_n \propto 1/n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હવે, $Vr$ નો ગુણાકાર તપાસીએ:
$Vr \propto (1/n) \times n^2 = n$.
આ $n$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
હવે, $1/Vr$ તપાસીએ:
$1/Vr \propto 1/n$.
આમ, ભૌતિક રાશિ $1/Vr$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક '$n$' ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્ર '$B$' માં ગતિ કરતા '$m$' દળ અને '$q$' વીજભાર ધરાવતા કણ માટે, સાયક્લોટ્રોન આવૃત્તિ $\omega = qB/m$ છે.
બોહરની ક્વોન્ટાઈઝેશન શરત મુજબ, કોણીય વેગમાન $L = n\hbar = nh/2\pi$ છે.
વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતા કણ માટે ઉર્જા $E = (1/2)m v^2 = (1/2)m (r\omega)^2 = (1/2)m r^2 \omega^2$ છે.
$L = mvr = mr^2\omega$ હોવાથી, આપણને $r^2 = L/(m\omega) = (nh/2\pi) / (m \cdot qB/m) = nh / (2\pi qB)$ મળે છે.
ઉર્જાના સમીકરણમાં $r^2$ અને $\omega$ ની કિંમત મૂકતા: $E = (1/2)m \cdot [nh / (2\pi qB)] \cdot (qB/m)^2$.
$E = (1/2)m \cdot [nh / (2\pi qB)] \cdot (q^2 B^2 / m^2) = nhqB / (4\pi m)$.

(A) '$r$' ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં '$v$' વેગથી ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ '$M$' એ $M = IA$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં '$I$' એ પ્રવાહ છે અને '$A$' એ કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ છે.
$I = e/T = ev / (2\pi r)$
$A = \pi r^2$
તેથી, $M = (ev / 2\pi r) \times \pi r^2 = evr / 2$.
ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન '$L$' એ $L = mvr$ છે.
'$M$' ના સમીકરણ પરથી, આપણને મળે છે $M = (e/2m) \times (mvr) = (e/2m) \times L$.
'$L$' ને કર્તા બનાવતા, $L = 2mM / e$ મળે છે.

(C) બોહર કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = \frac{v^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે, $n^{th}$ કક્ષામાં વેગ $v$ એ $\frac{1}{n}$ ના પ્રમાણમાં છે $(v \propto \frac{1}{n})$ અને ત્રિજ્યા $r$ એ $n^2$ ના પ્રમાણમાં છે $(r \propto n^2)$.
આ કિંમતોને કેન્દ્રગામી પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$a_c \propto \frac{(1/n)^2}{n^2} = \frac{1/n^2}{n^2} = \frac{1}{n^4}$.
તેથી, $3^{rd}$ અને $5^{th}$ કક્ષા માટે કેન્દ્રગામી પ્રવેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{a_3}{a_5} = \frac{n_5^4}{n_3^4} = \left(\frac{5}{3}\right)^4 = \frac{625}{81}$.
આમ, ગુણોત્તર $625 : 81$ છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુના બોહર મોડેલ મુજબ, $n^{th}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઉર્જા $E = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $E \propto n^{-2}$.
$n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $L \propto n$, અથવા $n \propto L$.
ઉર્જાના સંબંધ $E \propto n^{-2}$ માં $n \propto L$ મૂકતા, આપણને $E \propto (L)^{-2}$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $E \propto L^{-2}$.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોન સાથે સંકળાયેલ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{2\pi r_n}{n}$ છે, જ્યાં $r_n$ એ $n$-મી કક્ષાની ત્રિજ્યા છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $r_n \propto n^2$, તેથી $\lambda \propto \frac{n^2}{n} = n$ થાય.
ધરા-સ્થિતિ માટે $n_1 = 1$ છે.
ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે $n_2 = 4$ થાય છે.
અહીં $n_2 > n_1$ હોવાથી, જેમ ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઉર્જા અવસ્થામાં જાય છે તેમ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ માં વધારો થાય છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં $n^{th}$ બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$r_n = n^2 a_0$
જ્યાં $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે $(n = 1, 2, 3, 4, ...)$ અને $a_0$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે.
પ્રથમ ચાર કક્ષાઓ માટે:
$n = 1$ માટે, $r_1 = 1^2 a_0 = 1 a_0$
$n = 2$ માટે, $r_2 = 2^2 a_0 = 4 a_0$
$n = 3$ માટે, $r_3 = 3^2 a_0 = 9 a_0$
$n = 4$ માટે, $r_4 = 4^2 a_0 = 16 a_0$
આમ, ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $r_1 : r_2 : r_3 : r_4 = 1 : 4 : 9 : 16$ થાય છે.

(A) બોહરના મોડેલ મુજબ, $n^{\text{મી}}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = \frac{n^2h^2\epsilon_0}{\pi me^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n^{\text{મી}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v_n = \frac{e^2}{2\epsilon_0nh}$ છે.
કક્ષીય આવર્તકાળ $T$ એ એક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય છે, જે $T = \frac{2\pi r_n}{v_n}$ છે.
$r_n$ અને $v_n$ ના સૂત્રો મૂકતા:
$T = \frac{2\pi (\frac{n^2h^2\epsilon_0}{\pi me^2})}{(\frac{e^2}{2\epsilon_0nh})}$
$T = \frac{2n^2h^2\epsilon_0}{me^2} \times \frac{2\epsilon_0nh}{e^2}$
$T = \frac{4\epsilon_0^2n^3h^3}{me^4}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ, ન્યુક્લિયસ અને ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચે લાગતું સ્થિત વિદ્યુત બળ $F$ એ કુલંબના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Ze^2}{r^2}$.
બોહરના મોડેલમાં, $n$-મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $n^2$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે $r \propto n^2$.
આ કિંમતને બળના સમીકરણમાં મૂકતા: $F \propto \frac{1}{r^2} \propto \frac{1}{(n^2)^2} = \frac{1}{n^4}$.
તેથી, $F \propto n^{-4}$.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુ માટે, ઊર્જા સ્તરો $E_n = -13.6 Z^2 / n^2 \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n > 1)$ માંથી ધરાવસ્થા $(n = 1)$ માં સંક્રમણ કરે છે, ત્યારે મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ ઘટે છે.
$1$. કુલ ઊર્જા $(T.E.)$: $T.E. = -13.6 Z^2 / n^2$ હોવાથી, જેમ $n$ ઘટે છે, તેમ $T.E.$ નું મૂલ્ય વધુ ઋણ બને છે. આમ, $T.E.$ ઘટે છે.
$2$. સ્થિતિઊર્જા $(P.E.)$: આપણે જાણીએ છીએ કે $P.E. = 2 \times T.E. = -27.2 Z^2 / n^2$. જેમ $n$ ઘટે છે, તેમ $P.E.$ નું મૂલ્ય વધુ ઋણ બને છે. આમ, $P.E.$ ઘટે છે.
$3$. ગતિઊર્જા $(K.E.)$: આપણે જાણીએ છીએ કે $K.E. = -T.E. = 13.6 Z^2 / n^2$. જેમ $n$ ઘટે છે, તેમ $K.E.$ વધે છે.
તેથી, ગતિઊર્જા $(K.E.)$ વધે છે, જ્યારે સ્થિતિઊર્જા $(P.E.)$ અને કુલ ઊર્જા $(T.E.)$ ઘટે છે.

(B) કક્ષામાં પરિભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનનો કક્ષીય ચુંબકીય મોમેન્ટ $(m_{orb})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $m_{orb} = \frac{e}{2m_e} L$, જ્યાં $L$ એ કક્ષીય કોણીય વેગમાન છે.
બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ, $n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કક્ષીય કોણીય વેગમાન $L = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ કિંમતને $m_{orb}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા, આપણને મળે છે: $m_{orb} = \frac{e}{2m_e} \times \frac{nh}{2\pi}$.
અહીં $e$, $m_e$, $h$, અને $\pi$ અચળાંકો હોવાથી, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $m_{orb} \propto n$.
તેથી, કક્ષીય ચુંબકીય મોમેન્ટ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુની બીજી કક્ષા માટે $(Z=1, n=2)$: $E = -13.6 \times \frac{1^2}{2^2} = -13.6 \times \frac{1}{4} \text{ eV}$.
તેથી, $-13.6 \text{ eV} = 4E$.
હિલિયમ પરમાણુની ત્રીજી કક્ષા માટે $(Z=2, n=3)$: $E' = -13.6 \times \frac{2^2}{3^2} = -13.6 \times \frac{4}{9} \text{ eV}$.
$E'$ ના સમીકરણમાં $-13.6 = 4E$ મૂકતા:
$E' = (4E) \times \frac{4}{9} = \frac{16E}{9}$.

(C) બોહરના ક્વોન્ટાઇઝેશનના અભિધારણા મુજબ, $n$ ક્વોન્ટમ આંક ધરાવતી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = n(h / 2\pi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રીજી બોહર કક્ષા $(n_1 = 3)$ માટે, કોણીય વેગમાન $l = 3(h / 2\pi)$ છે.
ચોથી બોહર કક્ષા $(n_2 = 4)$ માટે, કોણીય વેગમાન $L' = 4(h / 2\pi)$ છે.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા: $L' / l = (4(h / 2\pi)) / (3(h / 2\pi)) = 4/3$.
તેથી, $L' = (4/3)l$.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = a_0 \frac{n^2}{Z}$ છે, જ્યાં $a_0$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે, $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે અને $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે.
હાઇડ્રોજનની ધરા-સ્થિતિ માટે, $n_H = 1$ અને $Z_H = 1$. તેથી, $r_H = a_0 \frac{1^2}{1} = a_0$.
ત્રિ-આયનીકૃત બેરિલિયમ $(Be^{3+})$ માટે, $Z_{Be} = 4$. ધારો કે તેની ઊર્જા અવસ્થા $n_{Be}$ છે. તેની ત્રિજ્યા $r_{Be} = a_0 \frac{n_{Be}^2}{4}$ થશે.
આપેલ છે કે $r_{Be} = r_H$, તેથી $a_0 \frac{n_{Be}^2}{4} = a_0$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{n_{Be}^2}{4} = 1$ મળે, જેનો અર્થ છે કે $n_{Be}^2 = 4$.
તેથી, $n_{Be} = 2$.

(A) $n^{th}$ કક્ષા માટે બોહર ત્રિજ્યા $r_n = a_0 n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $a_0$ એ બોહર ત્રિજ્યાનો અચળાંક છે.
આપેલ શરત મુજબ: $r_{n+1} - r_n = r_{n-1}$.
સૂત્ર મૂકતા: $a_0(n+1)^2 - a_0 n^2 = a_0(n-1)^2$.
$a_0$ વડે ભાગતા: $(n+1)^2 - n^2 = (n-1)^2$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $(n^2 + 2n + 1) - n^2 = n^2 - 2n + 1$.
સાદું રૂપ આપતા: $2n + 1 = n^2 - 2n + 1$.
સમીકરણને ગોઠવતા: $n^2 - 4n = 0$.
અવયવ પાડતા: $n(n - 4) = 0$.
અહીં $n$ એ કક્ષાનો ક્રમાંક દર્શાવે છે, તેથી $(n-1)^{th}$ કક્ષાના અસ્તિત્વ માટે $n > 1$ હોવું જોઈએ. તેથી, $n = 4$.

(A) બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ, $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનનું કક્ષીય કોણીય વેગમાન $L = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોનની કક્ષીય ગતિ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu_l = \frac{e}{2m} L$ છે.
$L$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $\mu_l = \frac{e}{2m} \left( \frac{nh}{2\pi} \right)$ મળે છે.
અહીં $e$, $m$, $h$ અને $\pi$ અચળાંકો હોવાથી, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\mu_l \propto n$.
તેથી, ચુંબકીય મોમેન્ટ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(C) બોહરની ક્વોન્ટાઈઝેશન શરત મુજબ, $n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ-બ્રોગ્લી સંબંધ મુજબ, તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
બોહરની ક્વોન્ટાઈઝેશન શરતને ફરીથી ગોઠવતા, આપણને $mv = \frac{nh}{2\pi r}$ મળે છે.
આ કિંમતને દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા: $\lambda = \frac{h}{(nh / 2\pi r)}$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા, આપણને $\lambda = \frac{2\pi r}{n}$ મળે છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ છે.
ધરા સ્થિતિ $(n=1)$ માટે, ઉર્જા $E_1 = -\frac{13.6}{1^2} = -13.6 \text{ eV}$ છે.
તેની પછીની ઉચ્ચ સ્થિતિ એ પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=2)$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થાની ઉર્જા $E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \text{ eV}$ છે.
પરમાણુને ધરા સ્થિતિમાંથી પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = E_2 - E_1$ છે.
$\Delta E = -3.4 \text{ eV} - (-13.6 \text{ eV}) = -3.4 \text{ eV} + 13.6 \text{ eV} = 10.2 \text{ eV}$.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -13.6/n^2 \text{ eV}$ છે.
આપેલ છે કે $E_n = -0.544 \text{ eV}$.
તેથી, $-13.6/n^2 = -0.544$.
$n^2 = 13.6 / 0.544 = 25$.
આમ, $n = 5$.
બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ, $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $(L)$ $L = nh/2\pi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 5$ મૂકતા, આપણને $L = 5h/2\pi$ મળે છે.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે બોહરના અભિધારણા મુજબ, ઇલેક્ટ્રોન ફક્ત તે જ કક્ષાઓમાં પરિભ્રમણ કરી શકે છે જેના માટે તેનું કોણીય વેગમાન $(L)$ એ $h/2\pi$ નું પૂર્ણાંક ગુણક હોય.
આ ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $L = n(h/2\pi)$, જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે, અને $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
તેથી, કોણીય વેગમાન એ એવી રાશિ છે જે $h/2\pi$ નું પૂર્ણાંક ગુણક છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં, ન્યુક્લિયસ (વીજભાર $+e$) અને ઇલેક્ટ્રોન (વીજભાર $-e$) વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત આકર્ષણ બળ, ઇલેક્ટ્રોનને $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
કુલંબના નિયમ મુજબ, સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r^2}$ છે.
વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F = \frac{mv^2}{r}$ છે.
આ બંનેને સરખાવતા, આપણને $\frac{mv^2}{r} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r^2}$ મળે છે.
બંને બાજુ $r/2$ વડે ગુણતા, $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{2r}$ મળે છે.
ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $K.E. = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 r}$ છે.
અહીં $\epsilon_0$ અચળાંક હોવાથી, ગતિઊર્જા $e^2/r$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(T_{1/2})$ $5 \text{ વર્ષ}$ છે.
કુલ વીતેલો સમય $(t)$ $10 \text{ વર્ષ}$ છે.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $(n)$ ની ગણતરી $n = t / T_{1/2} = 10 / 5 = 2$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
$n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેલા નમૂનાનો અંશ $N/N_0 = (1/2)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 2$ મૂકતા, આપણને $N/N_0 = (1/2)^2 = 1/4$ મળે છે.
ક્ષય પામેલા નમૂનાનો અંશ $1 - N/N_0 = 1 - 1/4 = 3/4$ છે.
ક્ષય પામેલી ટકાવારી શોધવા માટે, આપણે $100$ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ: $(3/4) \times 100 = 75\%$.

(B) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $A$ એ સૂત્ર $A = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે અને $N$ એ અવિભંજિત પરમાણુઓની સંખ્યા છે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda$ એ અર્ધ-આયુષ્ય $T$ સાથે $\lambda = \ln(2) / T$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે.
તેથી, એક્ટિવિટી $A$ ને $A = (\ln(2) / T) \times N$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
બે તત્વો માટે, એક્ટિવિટી $A_1 = (\ln(2) / T_1) \times N_1$ અને $A_2 = (\ln(2) / T_2) \times N_2$ છે.
તેમની એક્ટિવિટીનો ગુણોત્તર $A_1 / A_2 = [(\ln(2) / T_1) \times N_1] / [(\ln(2) / T_2) \times N_2]$ થાય.
આનું સાદું રૂપ આપતા, આપણને $A_1 / A_2 = (N_1 / T_1) \times (T_2 / N_2) = (N_1 T_2) / (N_2 T_1)$ મળે છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N(t) = N_0(1/2)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n = t/T_{1/2}$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે નમૂનાનો $(7/8)$ ભાગ ક્ષય પામે છે, તેથી બાકી રહેલો જથ્થો $N(t) = N_0 - (7/8)N_0 = (1/8)N_0$ થાય.
આ કિંમતને ક્ષયના સૂત્રમાં મૂકતા: $(1/8)N_0 = N_0(1/2)^n$.
$(1/2)^3 = (1/2)^n$, જેનો અર્થ છે કે $n = 3$.
કારણ કે $n = t/T_{1/2}$, તેથી $3 = t / 15 \text{ hr}$.
આમ, $t = 3 \times 15 \text{ hr} = 45 \text{ hr}$.

(B) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $A(t) = A_0 e^{-\lambda t}$ ના નિયમનું પાલન કરે છે.
આપેલ છે કે $t = 0$ પર, $A(0) = N_0$.
$t = 3 \text{ min}$ પર, $A(3) = N_0/e$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $N_0/e = N_0 e^{-\lambda(3)}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $e^{-1} = e^{-3\lambda}$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $3\lambda = 1$, તેથી $\lambda = 1/3 \text{ min}^{-1}$.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2}$ નું સૂત્ર $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$ છે.
$\lambda = 1/3$ મૂકતા, આપણને $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{1/3} = 3 \ln 2 = 3 \log_e 2 \text{ મિનિટ}$ મળે છે.

(C) સમય $t$ પછી બાકી રહેલા રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનું પ્રમાણ $N = N_0 (1/2)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n = t/T_{1/2}$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
નમૂના $A$ માટે: $(1/8) = (1/2)^n_A \implies (1/2)^3 = (1/2)^n_A \implies n_A = 3$.
કારણ કે $n_A = t/T_A$, તેથી $3 = 9/T_A \implies T_A = 3 \text{ hours}$.
નમૂના $B$ માટે: $(1/128) = (1/2)^n_B \implies (1/2)^7 = (1/2)^n_B \implies n_B = 7$.
કારણ કે $n_B = t/T_B$, તેથી $7 = 9/T_B \implies T_B = 9/7 \text{ hours}$.
$B$ અને $A$ ના અર્ધ-આયુષ્યનો ગુણોત્તર $T_B/T_A = (9/7) / 3 = 3/7$ થાય.

(C) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $A = A_0 (1/2)^n$ ના નિયમનું પાલન કરે છે, જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે $4 \text{ days}$ માં એક્ટિવિટી મૂળ મૂલ્યના $(1/4)$ ભાગની થાય છે, તેથી $(1/4) = (1/2)^n$, જેનો અર્થ છે કે $n = 2$.
$2$ અર્ધ-આયુષ્ય $4 \text{ days}$ ને અનુરૂપ હોવાથી, અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 4 / 2 = 2 \text{ days}$ થાય.
હવે, કુલ સમય $t = 16 \text{ days}$ માટે, અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n' = t / T_{1/2} = 16 / 2 = 8$ થશે.
$16 \text{ days}$ પછીની એક્ટિવિટી $A = A_0 (1/2)^8$ થશે.
$A = A_0 (1/256)$.
તેથી, $x = 1/256$.