MHT CET 2026 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) જ્યારે એક દળ $m$ ને $k_1$ અને $k_2$ બળ અચળાંક ધરાવતી બે સ્પ્રિંગો વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં જોડવામાં આવે છે, ત્યારે અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eff}$ નું મૂલ્ય $k_{eff} = k_1 + k_2$ થાય છે.
આ પ્રશ્નમાં, બંને સ્પ્રિંગો દળ $m$ સાથે સમાંતર જોડાણમાં જોડાયેલી છે. તેથી, અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eff} = 2k + k = 3k$ થશે.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે દોલનની આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_{eff}}{m}}$ છે.
$k_{eff}$ નું મૂલ્ય મૂકતા, આપણને $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{3k}{m}}$ મળે છે.
આમ, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $T^2 \propto l$, અથવા $l = kT^2$ જ્યાં $k = \frac{g}{4\pi^2}$ એક અચળાંક છે.
અહીં $T_1 = 2.4 \text{ s}$ અને $T_2 = 1.8 \text{ s}$ આપેલ છે.
તેથી $l_1 = k(2.4)^2$ અને $l_2 = k(1.8)^2$ થાય.
$l_3 = (l_1 - l_2)$ લંબાઈ ધરાવતા લોલક માટે, આવર્તકાળ $T_3$ એ $l_3 = kT_3^2$ દ્વારા મળે છે.
$l_1$ અને $l_2$ ની કિંમતો મૂકતા: $kT_3^2 = k(2.4)^2 - k(1.8)^2$.
$T_3^2 = (2.4)^2 - (1.8)^2$.
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_3^2 = (2.4 - 1.8)(2.4 + 1.8) = (0.6)(4.2) = 2.52$.
$T_3 = \sqrt{2.52} \approx 1.587 \text{ s}$.
આમ, નજીકની કિંમત $T_3 \approx 1.6 \text{ s}$ મળે છે.

(D) $SHM$ (સરળ આવર્ત ગતિ) કરતા પદાર્થની કુલ ઉર્જા $(E)$ એ તેની ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$m$ દળ ધરાવતા અને $\omega$ કોણીય આવૃત્તિ સાથે $SHM$ કરતા પદાર્થ માટે, કુલ ઉર્જા $E = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2$ છે.
પુનઃસ્થાપક બળ $F = -Kx$ હોવાથી, આપણે જાણીએ છીએ કે $K = m \omega^2$ થાય.
આ કિંમતને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા, આપણને $E = \frac{1}{2} K a^2$ મળે છે.
અહીં, $K$ એ બળ અચળાંક છે અને $a$ એ કંપવિસ્તાર છે.
તેથી, કુલ ઉર્જા માત્ર બળ અચળાંક $K$ અને કંપવિસ્તાર $a$ પર આધાર રાખે છે.

(B) ધારો કે કંપવિસ્તાર $A = 3 \text{ cm}$ છે.
ધારો કે સ્થાનાંતર $x$ છે.
$SHM$ માં કણની ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2} k(A^2 - x^2)$ છે.
$SHM$ માં કણની સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ નું સૂત્ર $PE = \frac{1}{2} kx^2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ, $KE = PE + 0.25 PE = 1.25 PE = \frac{5}{4} PE$.
$KE$ અને $PE$ ના સૂત્રો મૂકતા:
$\frac{1}{2} k(A^2 - x^2) = \frac{5}{4} (\frac{1}{2} kx^2)$.
$A^2 - x^2 = \frac{5}{4} x^2$.
$A^2 = x^2 + \frac{5}{4} x^2 = \frac{9}{4} x^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$A = \frac{3}{2} x$.
અહીં $A = 3 \text{ cm}$ આપેલ છે, તેથી $3 = \frac{3}{2} x$.
આમ, $x = 2 \text{ cm}$ મળે છે.

(C) સપાટી ઘર્ષણરહિત હોવાથી તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
મહત્તમ સ્થાનાંતર (કંપવિસ્તાર $A = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$) પર વેગ શૂન્ય હોય છે, તેથી કુલ ઊર્જા સંપૂર્ણપણે સ્થિતિઊર્જા હોય છે: $E = \frac{1}{2} k A^2$.
કોઈપણ સ્થાન $x$ પર, કુલ ઊર્જા એ ગતિઊર્જા $(K)$ અને સ્થિતિઊર્જા $(U)$ નો સરવાળો છે: $E = K + \frac{1}{2} k x^2$.
કુલ ઊર્જા માટે બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{1}{2} k A^2 = K + \frac{1}{2} k x^2$.
$K$ ને કર્તા બનાવતા: $K = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$.
આપેલ છે કે $K = 0.25 \text{ J}$, $A = 0.1 \text{ m}$, અને $x = 0.05 \text{ m}$:
$0.25 = \frac{1}{2} k ((0.1)^2 - (0.05)^2)$.
$0.5 = k (0.01 - 0.0025)$.
$0.5 = k (0.0075)$.
$k = \frac{0.5}{0.0075} = \frac{5000}{75} = \frac{200}{3} \approx 66.67 \text{ Nm}^{-1}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા, $k \approx 67 \text{ Nm}^{-1}$.

(A) $S.H.M.$ કરતા બ્લોક માટે, કુલ યાંત્રિક ઉર્જા અચળ હોય છે અને તે અંતિમ સ્થાન $(x = A)$ પર મહત્તમ સ્થિતિ ઉર્જા $E$ જેટલી હોય છે.
કુલ ઉર્જા $E = \frac{1}{2} k A^2$.
કોઈપણ સ્થાનાંતર $x$ પર સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x = A/2$ પર, સ્થિતિ ઉર્જા $U$:
$U = \frac{1}{2} k (A/2)^2 = \frac{1}{2} k (A^2/4) = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} k A^2) = \frac{E}{4}$.
કોઈપણ સ્થાન પર ગતિ ઉર્જા $K = E - U$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા, $K = E - \frac{E}{4} = \frac{3E}{4}$.

(C) $S.H.M.$ કરતી કણ માટે, $x$ સ્થાનાંતરે સ્થિતિઊર્જા $(U)$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} k x^2$ છે.
$x$ સ્થાનાંતરે ગતિઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર $K = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$ છે, જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
પ્રશ્ન મુજબ, $U = 8K$.
સૂત્રો મૂકતા, $\frac{1}{2} k x^2 = 8 \times \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$.
બંને બાજુથી $\frac{1}{2} k$ ઉડાડતા, $x^2 = 8(A^2 - x^2)$.
$x^2 = 8A^2 - 8x^2$.
$9x^2 = 8A^2$.
$x^2 = \frac{8}{9} A^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા, $x = \sqrt{\frac{8}{9}} A = \frac{2\sqrt{2}}{3} A$.

(D) મધ્યમાન સ્થાન $(x = 0)$ થી શરૂ થતા સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણ માટે ગતિનું સમીકરણ $x = A \sin(\omega t)$ છે.
$x = \frac{A}{2}$ માટે, $\frac{A}{2} = A \sin(\omega t_1)$, જેનો અર્થ છે કે $\sin(\omega t_1) = \frac{1}{2}$.
આમ, $\omega t_1 = \frac{\pi}{6}$. આપેલ છે કે $t_1 = 2 \text{ s}$, તેથી $\omega(2) = \frac{\pi}{6}$, એટલે કે $\omega = \frac{\pi}{12} \text{ rad/s}$.
હવે, $x = A$ માટે, $A = A \sin(\omega t_2)$, જેનો અર્થ છે કે $\sin(\omega t_2) = 1$.
આમ, $\omega t_2 = \frac{\pi}{2}$. $\omega = \frac{\pi}{12}$ મૂકતા, આપણને $t_2 = \frac{\pi/2}{\pi/12} = 6 \text{ s}$ મળે છે.
$x = \frac{A}{2}$ થી $x = A$ સુધી જવા માટે લાગતો સમય $\Delta t = t_2 - t_1 = 6 \text{ s} - 2 \text{ s} = 4 \text{ s}$ છે.

(C) $S.H.M.$ કરતા કણનું સ્થાનાંતર $x(t) = A \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $A = 3 \times 10^{-3} \text{ m}$ અને $\omega = 2\pi \text{ rad/s}$ છે.
વેગ $v(t)$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું વિકલન છે: $v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin(\omega t)$.
ઝડપ $|v(t)| = |A\omega \sin(\omega t)|$ છે. જ્યારે $|\sin(\omega t)| = 1$ હોય ત્યારે ઝડપ મહત્તમ હોય છે.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $\omega t = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \dots$ હોય.
પ્રથમ વખત માટે, $\omega t = \frac{\pi}{2}$.
$\omega = 2\pi$ મૂકતા, આપણને $2\pi t = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
$t$ માટે ઉકેલતા, $t = \frac{\pi}{2 \times 2\pi} = \frac{1}{4} \text{ s}$ મળે છે.

(A) $S.H.M.$ કરતા પદાર્થની કુલ ઊર્જા $E$ એ તેની ગતિઊર્જા $K$ અને સ્થિતિઊર્જા $U$ નો સરવાળો છે.
$E = K + U = 2 \text{ J} + 1.2 \text{ J} = 3.2 \text{ J}$.
$S.H.M.$ માં કુલ ઊર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ છે, જ્યાં $m$ એ દળ, $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ આવૃત્તિ $f = \frac{16}{\pi} \text{ Hz}$ હોવાથી, કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \left( \frac{16}{\pi} \right) = 32 \text{ rad/s}$ થાય.
ઊર્જાના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$3.2 = \frac{1}{2} \times 0.4 \times (32)^2 \times A^2$
$3.2 = 0.2 \times 1024 \times A^2$
$3.2 = 204.8 \times A^2$
$A^2 = \frac{3.2}{204.8} = \frac{1}{64}$
$A = \sqrt{\frac{1}{64}} = 0.125 \text{ m}$.

(B) આપેલ છે:
દળ $m = 10 \text{ kg}$
બળ અચળાંક $k = 10 \text{ N/m}$
વેગ $v = 40 \text{ cm/s} = 0.4 \text{ m/s}$
કંપવિસ્તાર $A = 0.5 \text{ m}$
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{10}{10}} = 1 \text{ rad/s}$.
$S.H.M.$ માં કણનો વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.4 = 1 \times \sqrt{(0.5)^2 - x^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(0.4)^2 = (0.5)^2 - x^2$.
$0.16 = 0.25 - x^2$.
$x^2 = 0.25 - 0.16 = 0.09$.
$x = \sqrt{0.09} = 0.3 \text{ m}$.
આમ, સ્થાનાંતર $0.3 \text{ m}$ છે.

(C) વેગ માટેનું આપેલ સમીકરણ $4v^2 = 50 - x^2$ છે.
$4$ વડે ભાગતા, આપણને $v^2 = \frac{50}{4} - \frac{x^2}{4} = 12.5 - \frac{x^2}{4}$ મળે છે.
$SHM$ માં વેગ માટેનું પ્રમાણિત સમીકરણ $v^2 = \omega^2(A^2 - x^2) = \omega^2 A^2 - \omega^2 x^2$ છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા, આપણને $\omega^2 = 1/4$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $\omega = 1/2 \text{ rad/s}$.
આવર્તકાળ $T$ એ $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2 \times (22/7)}{1/2} = 4 \times \frac{22}{7} = \frac{88}{7} \text{ s}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે આવર્તકાળ $x/7 \text{ s}$ છે, તેથી $x/7 = 88/7$, જે આપણને $x = 88$ આપે છે.

(A) મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતા $S.H.M.$ કરતા કણનું સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણનો વેગ $v = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t)$ છે.
ગતિઊર્જા $(K.E.)$ $K.E. = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \cos^2(\omega t)$ છે.
કુલ ઊર્જા $(T.E.)$ $T.E. = \frac{1}{2} m A^2 \omega^2$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $K.E. = 50\% \text{ of } T.E.$, તેથી $\frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \cos^2(\omega t) = 0.5 \times \frac{1}{2} m A^2 \omega^2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\cos^2(\omega t) = 0.5$ મળે, જેનો અર્થ છે કે $\cos(\omega t) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
કારણ કે $\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$, તેથી $\omega t = 45^\circ = \frac{\pi}{4} \text{ રેડિયન}$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \text{ rad/s}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(\frac{\pi}{3}) t = \frac{\pi}{4}$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{3}{4} = 0.75 \text{ s}$.

(B) $S.H.M.$ માં રહેલા કણ માટે, $x$ સ્થાન પર વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x$ સ્થાન પર પ્રવેગ $a = \omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે વેગનું મૂલ્ય અને પ્રવેગનું મૂલ્ય સમાન છે: $|v| = |a|$.
$\omega \sqrt{A^2 - x^2} = \omega^2 x$.
$\sqrt{A^2 - x^2} = \omega x$.
અહીં $A = 4 \text{ cm}$ અને $x = 3 \text{ cm}$ આપેલ છે:
$\sqrt{4^2 - 3^2} = \omega (3)$.
$\sqrt{16 - 9} = 3\omega$.
$\sqrt{7} = 3\omega \implies \omega = \frac{\sqrt{7}}{3} \text{ rad/s}$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ દ્વારા મળે છે.
$T = \frac{2\pi}{(\sqrt{7}/3)} = \frac{6\pi}{\sqrt{7}} \text{ s}$.

(A) આપેલ સમીકરણો છે:
$x_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \omega t + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \omega t$
નિત્યસમ $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણે લખી શકીએ:
$x_1 = \sin \omega t \cos \frac{\pi}{4} + \cos \omega t \sin \frac{\pi}{4} = \sin(\omega t + \frac{\pi}{4})$
હવે, $x_2 = \sin \omega t + \cos \omega t$ માટે, $\sqrt{2}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$x_2 = \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \omega t + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \omega t) = \sqrt{2} \sin(\omega t + \frac{\pi}{4})$
$x_1$ અને $x_2$ ની કળાઓની સરખામણી કરતા, બંનેની કળા $\phi = \omega t + \frac{\pi}{4}$ સમાન છે.
તેથી, કળા તફાવત $\Delta \phi = (\omega t + \frac{\pi}{4}) - (\omega t + \frac{\pi}{4}) = 0$.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 0.4 \text{ kg}$, પુનઃસ્થાપક બળ $F = 0.4 \text{ N}$, સ્થાનાંતર $x = 4 \text{ cm} = 0.04 \text{ m}$.
$1$. સરળ આવર્ત ગતિમાં પુનઃસ્થાપક બળ $F = kx$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે.
$k = F / x = 0.4 \text{ N} / 0.04 \text{ m} = 10 \text{ N/m}$.
$2$. પ્રવેગ $a$ એ $F = ma$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે, તેથી $a = F / m$.
$a = 0.4 \text{ N} / 0.4 \text{ kg} = 1 \text{ m/s}^2$.
આમ, બળ અચળાંક $10 \text{ N/m}$ અને પ્રવેગનું મૂલ્ય $1 \text{ m/s}^2$ છે.

(B) $S.H.M.$ કરતા કણ માટે, પુનઃસ્થાપક બળ $F = -kx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે.
તેથી, $k = -\frac{F}{x}$.
સ્થાનાંતર $x$ પર કણની સ્થિતિઊર્જા $E = \frac{1}{2}kx^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થિતિઊર્જાના સમીકરણમાં $k$ ની કિંમત મૂકતા:
$E = \frac{1}{2} \left( -\frac{F}{x} \right) x^2$
$E = -\frac{1}{2} Fx$
સંબંધ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$2E = -Fx$
$2E + Fx = 0$
$F$ વડે ભાગતા:
$\frac{2E}{F} + x = 0$.

(A) મધ્યમાન સ્થાન પર, $m_1$ દળનો વેગ મહત્તમ હોય છે, જે $v_{max} = \omega A = \sqrt{\frac{k}{m_1}} A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $m_1$ પર $m_2$ દળ મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે કુલ દળ $(m_1 + m_2)$ થાય છે. અથડામણ સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક હોવાથી અને મધ્યમાન સ્થાને થતી હોવાથી, વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.
પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = m_1 v_{max}$.
અંતિમ વેગમાન $P_f = (m_1 + m_2) v'_{max}$, જ્યાં $v'_{max}$ એ નવો મહત્તમ વેગ છે.
$P_i = P_f$ હોવાથી, $m_1 v_{max} = (m_1 + m_2) v'_{max}$.
તેથી, $v'_{max} = \frac{m_1}{m_1 + m_2} v_{max}$.
નવો કંપવિસ્તાર $A_1$ એ $v'_{max} = \omega' A_1 = \sqrt{\frac{k}{m_1 + m_2}} A_1$ દ્વારા મળે છે.
$v'_{max}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\sqrt{\frac{k}{m_1 + m_2}} A_1 = \frac{m_1}{m_1 + m_2} \sqrt{\frac{k}{m_1}} A$.
સાદુરૂપ આપતા, $A_1 = \sqrt{\frac{m_1 + m_2}{k}} \cdot \frac{m_1}{m_1 + m_2} \cdot \sqrt{\frac{k}{m_1}} A = \sqrt{\frac{m_1}{m_1 + m_2}} A$.
તેથી, $A/A_1 = \sqrt{\frac{m_1 + m_2}{m_1}} = [\frac{m_1 + m_2}{m_1}]^{1/2}$.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની $x$ સ્થાનાંતરે ઝડપ $v$ નું સૂત્ર: $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ છે, જ્યાં $\omega$ કોણીય આવૃત્તિ અને $A$ કંપવિસ્તાર છે.
મહત્તમ ઝડપ $v_{max}$ મધ્યમાન સ્થાન $(x = 0)$ પર મળે છે અને તે $v_{max} = \omega A$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ, ઝડપ $v$ એ મહત્તમ ઝડપના ચોથા ભાગની છે:
$v = \frac{v_{max}}{4} = \frac{\omega A}{4}$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\omega \sqrt{A^2 - x^2} = \frac{\omega A}{4}$.
બંને બાજુ $\omega$ વડે ભાગતા:
$\sqrt{A^2 - x^2} = \frac{A}{4}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$A^2 - x^2 = \frac{A^2}{16}$.
$x^2$ માટે સાદું રૂપ આપતા:
$x^2 = A^2 - \frac{A^2}{16} = \frac{15A^2}{16}$.
વર્ગમૂળ લેતા:
$x = \sqrt{\frac{15A^2}{16}} = \frac{A\sqrt{15}}{4}$.
આમ, સ્થાનાંતર $\frac{A\sqrt{15}}{4}$ છે.

(C) રેખીય $S.H.M.$ કરતા કણની સ્થિતિઊર્જા $(P.E.)$ નું સૂત્ર $P.E. = \frac{1}{2} k x^2$ છે, જ્યાં $k = m \omega^2$ એ બળ અચળાંક છે અને $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
કણની કુલ ઊર્જા $(T.E.)$ નું સૂત્ર $T.E. = \frac{1}{2} k r^2$ છે, જ્યાં $r$ એ કંપનવિસ્તાર છે.
પ્રશ્ન મુજબ, $P.E. = \lambda \times T.E.$
આ કિંમતો મૂકતા, $\frac{1}{2} k x^2 = \lambda \times (\frac{1}{2} k r^2)$.
બંને બાજુથી $\frac{1}{2} k$ ને દૂર કરતા, $x^2 = \lambda r^2$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા, $x = r\sqrt{\lambda}$ મળે છે.

(D) સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $y = A \cos(\pi t + \pi \phi)$ છે.
$t = 0$ સમયે, $y = A \cos(\pi \phi) = 2$ --- $(1)$
વેગ $v = \frac{dy}{dt} = -A \pi \sin(\pi t + \pi \phi)$ છે.
$t = 0$ સમયે, $v = -A \pi \sin(\pi \phi) = 2\pi$.
તેથી, $A \sin(\pi \phi) = -2$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$A^2 \cos^2(\pi \phi) + A^2 \sin^2(\pi \phi) = 2^2 + (-2)^2$
$A^2 (\cos^2(\pi \phi) + \sin^2(\pi \phi)) = 4 + 4$
$A^2 = 8$
$A = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \text{ cm}$.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનો વેગ $v$ નું સૂત્ર $v = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$ છે, જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $a$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ છે કે આવર્તકાળ $T$ છે, તેથી કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ થાય.
આપણે $x = \frac{a}{3}$ સ્થાને ઝડપ શોધવાની છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$v = \left( \frac{2\pi}{T} \right) \sqrt{a^2 - \left( \frac{a}{3} \right)^2}$
$v = \left( \frac{2\pi}{T} \right) \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{9}}$
$v = \left( \frac{2\pi}{T} \right) \sqrt{\frac{8a^2}{9}}$
$v = \left( \frac{2\pi}{T} \right) \left( \frac{2\sqrt{2}a}{3} \right)$
$v = \frac{4\sqrt{2}\pi a}{3T}$

(D) $S.H.M.$ ની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k'}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $k'$ એ બળ અચળાંક છે.
આપેલ છે કે $f = \frac{\sqrt{Ka}}{\pi m} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{4Ka}{m}}$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા, આપણને $\sqrt{\frac{k'}{m}} = \sqrt{\frac{4Ka}{m}}$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $k' = 4Ka$.
$S.H.M.$ માં કણની સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2} k' x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$k'$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $U = \frac{1}{2} (4Ka) x^2 = 2Kax^2$ મળે છે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિમાં કણનો મહત્તમ વેગ $v_{max} = A\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે, $\omega = \sqrt{\frac{K}{m}}$.
આપેલ છે કે દળ સમાન છે $(m_A = m_B = m)$, તેથી કોણીય આવૃત્તિઓ $\omega_A = \sqrt{\frac{K_A}{m}}$ અને $\omega_B = \sqrt{\frac{K_B}{m}}$ છે.
મહત્તમ વેગ સમાન હોવાથી, $A_A \omega_A = A_B \omega_B$ થાય.
$\omega$ ના સૂત્રો મૂકતા, $A_A \sqrt{\frac{K_A}{m}} = A_B \sqrt{\frac{K_B}{m}}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા, $A_A \sqrt{K_A} = A_B \sqrt{K_B}$ મળે.
તેથી,'$B$' ના કંપવિસ્તાર અને '$A$' ના કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_B}{A_A} = \frac{\sqrt{K_A}}{\sqrt{K_B}} = \sqrt{\frac{K_A}{K_B}}$ થાય.

(C) મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતી સરળ આવર્ત ગતિ માટે કણનું સ્થાનાંતર $x(t) = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \text{ rad/s}$ છે.
$t = 0$ સમયે, $x(0) = 0$.
$t = 1 \text{ s}$ સમયે, $x(1) = A \sin(\frac{\pi}{4} \times 1) = A \sin(45^\circ) = \frac{A}{\sqrt{2}}$.
$1$ લી સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $d_1 = |x(1) - x(0)| = \frac{A}{\sqrt{2}}$ છે.
$t = 2 \text{ s}$ સમયે, $x(2) = A \sin(\frac{\pi}{4} \times 2) = A \sin(90^\circ) = A$.
$2$ જી સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $d_2 = |x(2) - x(1)| = |A - \frac{A}{\sqrt{2}}| = A(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) = A(\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}})$ છે.
$2$ જી સેકન્ડમાં કાપેલા અંતર અને $1$ લી સેકન્ડમાં કાપેલા અંતરનો ગુણોત્તર $\frac{d_2}{d_1} = \frac{A(\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}})}{\frac{A}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2} - 1$ થાય છે.

(A) $S.H.M.$ માં મધ્યમાન સ્થાનથી $x$ અંતરે રહેલા કણનો વેગ $V$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$, જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $V^2 = \omega^2(A^2 - x^2) = \omega^2 A^2 - \omega^2 x^2$.
આપેલ શરતો માટે:
$V_1^2 = \omega^2 A^2 - \omega^2 x_1^2$ --- $(1)$
$V_2^2 = \omega^2 A^2 - \omega^2 x_2^2$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$V_2^2 - V_1^2 = (\omega^2 A^2 - \omega^2 x_2^2) - (\omega^2 A^2 - \omega^2 x_1^2)$
$V_2^2 - V_1^2 = \omega^2 x_1^2 - \omega^2 x_2^2$
$V_2^2 - V_1^2 = \omega^2(x_1^2 - x_2^2)$
$\omega$ માટે ઉકેલતા:
$\omega^2 = \frac{V_2^2 - V_1^2}{x_1^2 - x_2^2}$
$\omega = \sqrt{\frac{V_2^2 - V_1^2}{x_1^2 - x_2^2}}$

(C) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રની કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ નું સૂત્ર $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ છે.
અહીં $k = 180 \text{ N/m}$ અને $m = 0.2 \text{ kg}$ આપેલ છે.
$\omega = \sqrt{\frac{180}{0.2}} = \sqrt{900} = 30 \text{ rad/s}$.
દોલકનો સંતુલન સ્થિતિમાં મહત્તમ વેગ $v_{max} = A\omega$ દ્વારા મળે છે, જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
અહીં $A = 4 \text{ cm} = 0.04 \text{ m}$ છે.
$v_{max} = 0.04 \times 30 = 1.2 \text{ m/s}$.
તેથી, સંતુલન સ્થિતિમાં વેગ $1.2 \text{ m/s}$ થાય.

(B) ધારો કે આવર્તકાળ $T_1 = T$ અને $T_2 = \frac{4T}{3}$ છે.
બંને લોલક ફરીથી સમાન કળામાં આવે તે માટે, વીતેલો સમય $t$ એ બંને આવર્તકાળનો પૂર્ણાંક ગુણક હોવો જોઈએ.
તેથી, $t = n_1 T_1 = n_2 T_2$, જ્યાં $n_1$ અને $n_2$ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે.
કિંમતો મૂકતા: $t = n_1 T = n_2 \left( \frac{4T}{3} \right)$.
આનો અર્થ એ થાય કે $n_1 = n_2 \left( \frac{4}{3} \right)$, અથવા $\frac{n_1}{n_2} = \frac{4}{3}$.
આ ગુણોત્તરને સંતોષતી સૌથી નાની પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ $n_1 = 4$ અને $n_2 = 3$ છે.
તેથી, વીતેલો સમય $t = n_1 T_1 = 4 \times T = 4T$ થશે.

(D) $S.H.M.$ કરતા કણનો $x$ સ્થાને વેગ $v$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$.
અહીં, $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે, જે આવર્તકાળ $T$ સાથે $\omega = \frac{2\pi}{T}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
આપેલ છે કે $x = \frac{a}{3}$, તેથી વેગના સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$v = \left(\frac{2\pi}{T}\right) \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{3}\right)^2}$
$v = \left(\frac{2\pi}{T}\right) \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{9}}$
$v = \left(\frac{2\pi}{T}\right) \sqrt{\frac{8a^2}{9}}$
$v = \left(\frac{2\pi}{T}\right) \left(\frac{2\sqrt{2}a}{3}\right)$
$v = \frac{4\sqrt{2}\pi a}{3T}$.

(D) $S.H.M.$ કરતા કણ માટે, $x$ સ્થાનાંતરે સ્થિતિઊર્જા $(U)$ $U = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x$ સ્થાનાંતરે ગતિઊર્જા $(K)$ $K = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $U = nK$, તેથી $\frac{1}{2} k x^2 = n \cdot \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $x^2 = n(A^2 - x^2)$ મળે છે.
આપેલ છે કે $x = (\frac{2\sqrt{2}}{3})A$, તેથી $x^2 = (\frac{8}{9})A^2$.
સમીકરણમાં $x^2$ ની કિંમત મૂકતા: $(\frac{8}{9})A^2 = n(A^2 - \frac{8}{9}A^2)$.
$(\frac{8}{9})A^2 = n(\frac{1}{9}A^2)$.
$n$ માટે ઉકેલતા, આપણને $n = 8$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x = a \sin \omega t + b \cos \omega t$ છે.
કંપવિસ્તાર શોધવા માટે, આપણે તેને $x = A \sin(\omega t + \phi)$ સ્વરૂપમાં લખી શકીએ છીએ.
ધારો કે $a = A \cos \phi$ અને $b = A \sin \phi$.
આ સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા: $a^2 + b^2 = A^2 \cos^2 \phi + A^2 \sin^2 \phi = A^2(\cos^2 \phi + \sin^2 \phi) = A^2$.
આમ, કંપવિસ્તાર $A = \sqrt{a^2 + b^2}$ મળે છે.
સમીકરણ $x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(\omega t + \phi)$ બને છે, જે $\sqrt{a^2 + b^2}$ કંપવિસ્તાર સાથેની સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ દર્શાવે છે.

(A) આદર્શ વાયુ માટે, આંતરિક ઊર્જા $U$ એ દબાણ $P$ અને કદ $V$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $U = \frac{3}{2} PV$.
આપેલ છે કે, એકમ કદ દીઠ ઊર્જા (ઊર્જા ઘનતા) $u = \frac{U}{V} = 600 \text{ J/L}$ છે.
કારણ કે $1 \text{ L} = 10^{-3} \text{ m}^3$, તેથી $SI$ એકમમાં ઊર્જા ઘનતા $u = \frac{600 \text{ J}}{10^{-3} \text{ m}^3} = 6 \times 10^5 \text{ J/m}^3$ થાય.
સંબંધ $u = \frac{3}{2} P$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $P = \frac{2}{3} u$ મળે છે.
$u$ ની કિંમત મૂકતા: $P = \frac{2}{3} \times 6 \times 10^5 \text{ N/m}^2 = 4 \times 10^5 \text{ N/m}^2$.

(C) વાયુના ગતિવાદ મુજબ, પાત્રની દીવાલો પર આદર્શ વાયુ દ્વારા લાગતું દબાણ $(P)$ એ $P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^2$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\rho$ એ ઘનતા છે અને $v_{rms}$ એ સરેરાશ વર્ગિત વેગનું વર્ગમૂળ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$, તેથી $v_{rms}^2 = \frac{3RT}{M}$ થાય.
આ કિંમત દબાણના સમીકરણમાં મૂકતા, $P = \frac{1}{3} \rho \left(\frac{3RT}{M}\right) = \frac{\rho RT}{M}$ મળે છે.
બંધ પાત્રમાં વાયુનો જથ્થો નિશ્ચિત હોવાથી ઘનતા $\rho$ અને મોલર દળ $M$ અચળ રહે છે, તેથી દબાણ $P$ એ તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(P \propto T)$.
બળ $(F)$ એ દબાણ અને દીવાલના ક્ષેત્રફળનો ગુણાકાર છે $(F = P \times A)$.
પાત્રની દીવાલનું ક્ષેત્રફળ અચળ હોવાથી, બળ $F$ પણ દબાણના સમપ્રમાણમાં હોય છે, અને તેથી તે તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(F \propto T^1)$.

(B) તાપમાન $T$ પર વાયુના અણુની સરેરાશ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા $E_1 = \frac{3}{2} k_B T$ છે, જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
$V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત થયેલા ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $E_2 = eV$ છે.
શરત $E_1 = E_2$ મુજબ:
$\frac{3}{2} k_B T = eV$
તેથી, $T = \frac{2eV}{3k_B}$.
અહીં $k_B = R/N_A$ હોવાથી, જો વિકલ્પોમાં $R$ નો ઉપયોગ થયો હોય, તો સાચો વિકલ્પ $B$ મળે છે.

(D) વાયુના અણુની સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર $K = \frac{3}{2} k_B T$ છે, જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $K \propto T$.
જો ગતિઊર્જા બમણી કરવી હોય, એટલે કે $K' = 2K$, તો નવું તાપમાન $T'$ એ સંબંધ $K' \propto T'$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
કારણ કે $K' = 2K$, તેથી $T' = 2T$ થાય.
આમ, વાયુના અણુઓની સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા બમણી કરવા માટે નિરપેક્ષ તાપમાનને વધારીને $2T$ કરવું પડે.

(A) વાયુના અણુની સરેરાશ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $E_1 = \frac{3}{2} k_B T$ છે, જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
$V$ વોલ્ટના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત થયેલા ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $E_2 = eV$ છે.
શરત $E_1 = E_2$ મુજબ:
$\frac{3}{2} k_B T = eV$
આપણે જાણીએ છીએ કે બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $k_B = \frac{R}{N}$, જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે અને $N$ એ એવોગેડ્રો આંક છે.
સમીકરણમાં $k_B$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{3}{2} (\frac{R}{N}) T = eV$
$T$ ને કર્તા બનાવતા:
$T = \frac{2eVN}{3R}$
આમ, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આદર્શ વાયુની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ (કેલ્વિનમાં) ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$K.E. \propto T$
આપેલ છે, પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^\circ$$C$ = $27 + 273 = 300$ $K$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_1 = E_0$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 177^\circ$$C$ = $177 + 273 = 450$ $K$.
સંબંધ $\frac{K_2}{K_1} = \frac{T_2}{T_1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{K_2}{E_0} = \frac{450}{300}$
$\frac{K_2}{E_0} = \frac{3}{2}$
$K_2 = \frac{3}{2} E_0$.

(A) વાયુના ગતિવાદ મુજબ, આદર્શ વાયુ દ્વારા લાગતું દબાણ $P$ નીચે મુજબના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^2$
જ્યાં $\rho$ એ વાયુની ઘનતા છે અને $v_{rms}$ એ સરેરાશ વર્ગિત વેગનું વર્ગમૂળ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે એકમ કદ દીઠ ગતિ ઊર્જા $E$ નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{1}{2} \rho v_{rms}^2$
આના પરથી, આપણે લખી શકીએ કે $\rho v_{rms}^2 = 2E$.
આ કિંમતને દબાણના સમીકરણમાં મૂકતા:
$P = \frac{1}{3} (2E) = \frac{2}{3} E$
આમ, દબાણ એ વાયુના એકમ કદ દીઠ ગતિ ઊર્જાના $(2/3)$ ગણું છે.

(D) આપણને સંબંધ $\frac{R}{C_v} = 0.4$ આપેલ છે, જેનો અર્થ છે કે $C_v = \frac{R}{0.4} = 2.5R$.
આદર્શ વાયુ માટે, અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{f}{2}R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) ની સંખ્યા છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{f}{2}R = 2.5R$.
આનાથી આપણને $f = 5$ મળે છે.
$f = 5$ મુક્તિના અંશો ધરાવતો વાયુ અણુ એ દ્રઢ દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુ ($3$ સ્થાનાંતરિત + $2$ ભ્રમણીય મુક્તિના અંશો) ને અનુરૂપ છે.
તેથી, વાયુ દ્રઢ દ્વિ-પરમાણ્વીય છે.

(C) એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે, મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f_1 = 3$ છે. વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma_1 = 1 + 2/f_1 = 1 + 2/3 = 5/3$ થાય.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે જે દ્રઢ રોટેટર તરીકે વર્તે છે, તેના મુક્તિના અંશો $f_2 = 5$ ($3$ સ્થાનાંતરિત + $2$ ભ્રમણીય) છે. વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma_2 = 1 + 2/f_2 = 1 + 2/5 = 7/5$ થાય.
માટે, જરૂરી ગુણોત્તર $\gamma_1/\gamma_2 = (5/3) / (7/5) = (5/3) \times (5/7) = 25/21$ થાય.

(A) જ્યારે પાત્રને અચાનક સ્થિર કરવામાં આવે છે, ત્યારે પાત્રની ગતિઊર્જા વાયુની આંતરિક ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ધારો કે વાયુના મોલની સંખ્યા $n$ છે. પાત્રની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} M_{total} V^2$ છે, જ્યાં $M_{total} = nM$.
તેથી, $K = \frac{1}{2} nMV^2$.
આ ગતિઊર્જા વાયુની આંતરિક ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $\Delta U = n C_v \Delta T$.
સખત દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે, અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{5}{2} R$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{1}{2} nMV^2 = n (\frac{5}{2} R) \Delta T$.
$\Delta T$ માટે ઉકેલતા: $\Delta T = \frac{MV^2}{5R}$.

(D) અદ્રઢ દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે, અણુ પાસે $3$ સ્થાનાંતરિત મુક્તિના અંશો, $2$ ભ્રમણીય મુક્તિના અંશો અને $2$ કંપનશીલ મુક્તિના અંશો હોય છે.
કુલ મુક્તિના અંશો $(f)$ = $3 + 2 + 2 = 7$ થાય.
અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_V)$ નું સૂત્ર $C_V = (f/2)R$ છે.
$f = 7$ મૂકતા, આપણને $C_V = (7/2)R$ મળે છે.

(B) નાઈટ્રોજન $(N_2)$ ના મોલની સંખ્યા $n = \frac{\text{દળ}}{\text{આણ્વીય દળ}} = \frac{14}{28} = 0.5 \text{ mol}$ છે.
નાઈટ્રોજન જેવા દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે, અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_p)$ $C_p = \frac{7}{2}R$ છે.
અચળ દબાણે આપેલી ઉષ્મા ઊર્જા $(Q)$ નું સૂત્ર $Q = n C_p \Delta T$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $Q = 0.5 \times \left(\frac{7}{2}R\right) \times 48$.
$Q = 0.5 \times 3.5 R \times 48$.
$Q = 1.75 R \times 48 = 84 R$.
આમ, જરૂરી ઉષ્મા ઊર્જા $84 R$ છે.

(B) વાયુના અણુઓનો $r.m.s.$ વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ હોવાથી, $v_{rms}$ ને $3$ ગણો ઘટાડવા માટે તાપમાન $T$ માં $3^2 = 9$ ગણો ઘટાડો થવો જોઈએ.
તેથી, $T_f = \frac{T_i}{9}$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે, તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ છે.
તેથી, $T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}$.
કિંમતો મૂકતા, $T_i V_i^{1.5-1} = \frac{T_i}{9} V_f^{1.5-1}$.
$V_i^{0.5} = \frac{1}{9} V_f^{0.5}$.
$\sqrt{V_i} = \frac{1}{9} \sqrt{V_f}$.
$\frac{V_f}{V_i} = 9^2 = 81$.
આમ, વાયુનું $81$ ગણું વિસ્તરણ કરવું પડે.

(D) વાયુના અણુઓની $r.m.s.$ ઝડપ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v_{rms} \propto \sqrt{T}$ હોવાથી, $r.m.s.$ ઝડપને $3$ ગણી ઘટાડવાનો અર્થ એ છે કે તાપમાન $T$ માં $3^2 = 9$ ગણો ઘટાડો થવો જોઈએ.
આમ, $T_f = \frac{T_i}{9}$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ છે.
તેથી, $T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}$.
$T_f = \frac{T_i}{9}$ અને $\gamma = 1.5$ (અથવા $\frac{3}{2}$) મૂકતા:
$T_i V_i^{1.5-1} = \frac{T_i}{9} V_f^{1.5-1}$
$V_i^{0.5} = \frac{1}{9} V_f^{0.5}$
$\sqrt{V_i} = \frac{1}{9} \sqrt{V_f}$
$\frac{V_f}{V_i} = 9^2 = 81$.
તેથી, વાયુનું $81$ ગણું વિસ્તરણ કરવું પડે.

(B) વાયુના અણુઓનો $r.m.s.$ વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે, $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
સમતાપી પ્રક્રિયામાં, તંત્રનું તાપમાન $T$ અચળ રહે છે.
કારણ કે $v_{rms}$ માત્ર તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે (આપેલ વાયુ માટે), જો તાપમાન અચળ રહે, તો અણુઓનો $r.m.s.$ વેગ પણ સમાન રહેશે.
તેથી, જ્યારે વાયુનું સમતાપી સંકોચન કરવામાં આવે છે, ત્યારે અણુઓનો $r.m.s.$ વેગ સમાન રહે છે.

(B) વાયુના અણુનો r.m.s. વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે હાઇડ્રોજનનું તાપમાન $T_H$ છે અને ઓક્સિજનનું તાપમાન $T_O = 47 + 273 = 320 \text{ K}$ છે.
આપેલ છે: $v_{H} = 4.5 \times v_{O}$.
સૂત્ર મૂકતા: $\sqrt{\frac{3RT_H}{M_H}} = 4.5 \times \sqrt{\frac{3RT_O}{M_O}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{T_H}{M_H} = (4.5)^2 \times \frac{T_O}{M_O}$.
અહીં $M_H = 2$ અને $M_O = 32$ આપેલ છે: $\frac{T_H}{2} = 20.25 \times \frac{320}{32}$.
$\frac{T_H}{2} = 20.25 \times 10 = 202.5$.
$T_H = 405 \text{ K}$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $405 - 273 = 132^{\circ}C$.

(B) આપેલ ઝડપ $v_1=1, v_2=3, v_3=5, v_4=7, v_5=2, v_6=4, v_7=6 \text{ km/s}$ છે.
$1$. સરેરાશ વેગ $(v_{avg})$:
$v_{avg} = \frac{1+3+5+7+2+4+6}{7} = \frac{28}{7} = 4 \text{ km/s}$.
$2$. વર્ગમૂળ સરેરાશ વર્ગ વેગ $(v_{rms})$:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{v_1^2+v_2^2+v_3^2+v_4^2+v_5^2+v_6^2+v_7^2}{7}}$
$v_{rms} = \sqrt{\frac{1^2+3^2+5^2+7^2+2^2+4^2+6^2}{7}}$
$v_{rms} = \sqrt{\frac{1+9+25+49+4+16+36}{7}} = \sqrt{\frac{140}{7}} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \text{ km/s}$.
$3$. $v_{rms}$ અને $v_{avg}$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{v_{rms}}{v_{avg}} = \frac{2\sqrt{5}}{4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

(D) વાયુના અણુનો રૂટ મીન સ્ક્વેર (r.m.s.) વેગ '$v$' નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
જ્યાં '$R$' એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,'$T$' એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને '$M$' એ વાયુનું મોલર દળ છે.
સમીકરણની બંને બાજુએ વર્ગ કરતા, આપણને મળે છે:
$v^2 = \frac{3RT}{M}$
આપેલ વાયુ માટે '$3$','$R$' અને '$M$' અચળ હોવાથી, આપણે લખી શકીએ:
$v^2 \propto T$
આનો અર્થ એ થાય કે:
$\frac{v^2}{T} = \text{constant}$
તેથી, સાચો સંબંધ $\frac{v^2}{T} = \text{constant}$ છે.

(B) વાયુના અણુઓનો રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ હોવાથી, $v_{rms}$ ને $2$ ગણો ઘટાડવા માટે, તાપમાન $T$ ને $4$ ગણું ઘટાડવું પડે (એટલે કે $T_f = T_i / 4$).
નિરુદ્ધોષ્મ પ્રક્રિયા માટે, તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ છે.
તેથી, $T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}$.
અહીં $\gamma = 1.5$ આપેલ છે, તેથી $\gamma - 1 = 0.5 = 1/2$.
કિંમતો મૂકતા: $T_i V_i^{1/2} = (T_i / 4) V_f^{1/2}$.
$4 = (V_f / V_i)^{1/2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, $16 = V_f / V_i$.
તેથી, વાયુનું $16$ ગણું વિસ્તરણ કરવું જોઈએ.

(B) હવામાં પ્રકાશની ઝડપ $c = \frac{x}{t_0}$ છે.
ઘટ્ટ માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = \frac{4x}{t_1}$ છે.
હવાની સાપેક્ષે માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $n = \frac{c}{v} = \frac{x/t_0}{4x/t_1} = \frac{t_1}{4t_0}$ થાય.
ક્રાંતિકોણ $C$ માટેનું સૂત્ર $\sin C = \frac{1}{n}$ છે.
તેથી, $\sin C = \frac{1}{t_1 / (4t_0)} = \frac{4t_0}{t_1}$.
આમ, $C = \sin^{-1} (\frac{4t_0}{t_1})$.

(C) ગોલીય અરીસાઓ માટે, કેન્દ્રલંબાઈ $(F)$ એ ધ્રુવ અને મુખ્ય કેન્દ્ર વચ્ચેના અંતર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. વક્રતા ત્રિજ્યા $(R)$ એ ધ્રુવ અને વક્રતા કેન્દ્ર વચ્ચેનું અંતર છે. પેરાક્સિયલ એપ્રોક્સિમેશન મુજબ, નાના મુખ (aperture) ધરાવતા અરીસાઓ માટે, મુખ્ય કેન્દ્ર એ ધ્રુવ અને વક્રતા કેન્દ્રની બરાબર વચ્ચે આવેલું હોય છે. તેથી, સંબંધ $F = R/2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(C) સિંગલ સ્લિટ વિવર્તનના પ્રયોગમાં, મધ્યસ્થ અધિકતમની કોણીય પહોળાઈનું સૂત્ર $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ છે, જ્યાં $\lambda$ એ વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
કોણીય અંતર $\theta$ માત્ર તરંગલંબાઇ $\lambda$ અને સ્લિટની પહોળાઈ $a$ પર આધાર રાખે છે, તેથી તે સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેના અંતર $D$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી, જ્યારે સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર બમણું કરવામાં આવે છે, ત્યારે ફ્રિન્જ વચ્ચેનું કોણીય અંતર સમાન રહે છે.

(D) એક-સ્લિટ વિવર્તનના પ્રયોગમાં, મધ્યસ્થ અધિક્તમની પહોળાઈ $(w)$ નું સૂત્ર $w = \frac{2D\lambda}{a}$ છે, જ્યાં $D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે, $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
પ્રશ્ન મુજબ, સ્લિટની પહોળાઈ એ મધ્યસ્થ અધિક્તમની પહોળાઈ જેટલી છે, તેથી $a = w$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $a = \frac{2D\lambda}{a}$.
$D$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $a^2 = 2D\lambda$.
તેથી, $D = \frac{a^2}{2\lambda}$.

(B) એક સ્લિટના વિવર્તન માટે, મધ્યસ્થ અધિકતમની અડધી કોણીય પહોળાઈ $\theta = \frac{\lambda}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં: $\theta = \frac{\lambda}{a}$
બીજા કિસ્સામાં: $q\theta = \frac{p\lambda}{a} \implies q = p$ (કારણ કે $\theta = \frac{\lambda}{a}$).
પ્રથમ ગૌણ અધિકતમ માટેની શરત $\sin \theta' = \frac{3\lambda}{2a}$ છે. નાના ખૂણાઓ માટે, $\theta' \approx \frac{3\lambda}{2a}$.
પ્રથમ કિસ્સામાં, $\theta'_1 = \frac{3\lambda}{2a} = \frac{3}{2}\theta$.
બીજા કિસ્સામાં, $\theta'_2 = \frac{3(p\lambda)}{2a} = \frac{3p\lambda}{2a} = p \times \left(\frac{3\lambda}{2a}\right) = p\theta'_1$.
તેથી, ગુણોત્તર $\frac{\theta'_1}{\theta'_2} = \frac{\theta'_1}{p\theta'_1} = \frac{1}{p}$.
પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે $q = p$, તેથી ગુણોત્તર $\frac{1}{q}$ અથવા $1 : q$ થશે.

(C) એક સ્લિટના ફ્રોનહોફર વિવર્તનમાં મધ્યસ્થ અધિકતમની કોણીય પહોળાઈ $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક તરંગલંબાઇ $\lambda_1 = 6480 \text{ Å}$ છે અને પ્રારંભિક કોણીય પહોળાઈ $\theta_1 = \frac{2\lambda_1}{a}$ છે.
જ્યારે તરંગલંબાઇ બદલીને $\lambda_2 = \lambda$ કરવામાં આવે છે, ત્યારે નવી કોણીય પહોળાઈ $\theta_2 = \frac{2\lambda}{a}$ થાય છે.
પ્રશ્ન મુજબ, કોણીય પહોળાઈ $25\%$ ઘટે છે, તેથી $\theta_2 = \theta_1 - 0.25\theta_1 = 0.75\theta_1$.
$\theta_1$ અને $\theta_2$ ના સમીકરણો મૂકતા:
$\frac{2\lambda}{a} = 0.75 \times \frac{2\lambda_1}{a}$.
આથી $\lambda = 0.75 \times \lambda_1$.
$\lambda = 0.75 \times 6480 \text{ Å} = 4860 \text{ Å}$.

(D) માઇક્રોસ્કોપની વિભેદન શક્તિ $(RP)$ એ વપરાતા પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે, જેનું સૂત્ર: $RP \propto \frac{1}{\lambda}$ છે.
તેથી, $\lambda_1$ અને $\lambda_2$ માટેની વિભેદન શક્તિનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ મળે:
$\frac{RP_1}{RP_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$.
અહીં $\lambda_1 = 6800 \text{ Å}$ અને $\lambda_2 = 5100 \text{ Å}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{RP_1}{RP_2} = \frac{5100}{6800} = \frac{51}{68} = \frac{3}{4}$.
આમ, ગુણોત્તર $3 : 4$ છે.

(C) એક સ્લિટ વિવર્તન ભાત માટે, $n$-માં ગૌણ અધિકતમ માટેની શરત $a \sin \theta = (n + 1/2) \lambda$ છે, જ્યાં $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે, $\theta$ એ વિવર્તન કોણ છે અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે.
જ્યારે $\theta$ ખૂબ નાનો હોય, ત્યારે $\sin \theta \approx \tan \theta = y/D$, જ્યાં $y$ એ કેન્દ્રથી અંતર છે અને $D$ એ પડદા સુધીનું અંતર છે.
બીજા અધિકતમ માટે, $n = 2$, તેથી શરત $a(y/D) = (2 + 1/2) \lambda = 2.5 \lambda$ બને છે.
આપેલ છે: $a = 0.66 \text{ mm} = 0.66 \times 10^{-3} \text{ m}$, $D = 1.4 \text{ m}$, $y = 2.8 \text{ mm} = 2.8 \times 10^{-3} \text{ m}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $(0.66 \times 10^{-3}) \times (2.8 \times 10^{-3} / 1.4) = 2.5 \lambda$.
$(0.66 \times 10^{-3}) \times (2 \times 10^{-3}) = 2.5 \lambda$.
$1.32 \times 10^{-6} = 2.5 \lambda$.
$\lambda = (1.32 \times 10^{-6}) / 2.5 = 0.528 \times 10^{-6} \text{ m} = 5280 \times 10^{-10} \text{ m} = 5280 \text{ Å}$.

(B) એક સ્લિટ વિવર્તન ભાત માટે, $n$-માં ક્રમના ગૌણ મહત્તમ માટેની શરત: $a \sin \theta = (n + 1/2) \lambda$, જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$ છે.
નાના ખૂણાઓ માટે, $\sin \theta \approx \tan \theta = y/D$.
તેથી, $a(y/D) = (n + 1/2) \lambda$.
આપેલ છે: $\lambda = 580 \times 10^{-9} \text{ m}$, $D = 2.5 \text{ m}$, $y = 14.5 \times 10^{-3} \text{ m}$, અને $n = 2$.
કિંમતો મૂકતા: $a \times (14.5 \times 10^{-3} / 2.5) = (2 + 0.5) \times 580 \times 10^{-9}$.
$a \times (5.8 \times 10^{-3}) = 2.5 \times 580 \times 10^{-9}$.
$a = (2.5 \times 580 \times 10^{-9}) / (5.8 \times 10^{-3})$.
$a = (1450 \times 10^{-9}) / (5.8 \times 10^{-3}) = 250 \times 10^{-6} \text{ m} = 0.25 \times 10^{-3} \text{ m}$.

(A) એક-સ્લિટ વિવર્તનની ભાતમાં $n$-માં ગૌણ મહત્તમ માટેની શરત $a \sin \theta = (n + \frac{1}{2}) \lambda$ છે, જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$
પ્રથમ મહત્તમ માટે, $n = 1$, તેથી $a \sin \theta = \frac{3}{2} \lambda$.
કિસ્સો $1$: $a_1 \sin 30^{\circ} = \frac{3}{2} \lambda \implies a_1 (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} \lambda \implies a_1 = 3 \lambda$.
કિસ્સો $2$: $a_2 \sin 45^{\circ} = \frac{3}{2} \lambda \implies a_2 (\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{3}{2} \lambda \implies a_2 = \frac{3\sqrt{2}}{2} \lambda = \frac{3}{\sqrt{2}} \lambda$.
સ્લિટની પહોળાઈમાં ફેરફાર $\Delta a = a_1 - a_2 = 3 \lambda - \frac{3}{\sqrt{2}} \lambda = 3 \lambda (1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) = 3 \lambda \left( \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}} \right)$.

(C) કમ્પાઉન્ડ માઇક્રોસ્કોપની રિઝોલ્વિંગ પાવર $(RP)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $RP = \frac{2n \sin \beta}{1.22 \lambda}$, જ્યાં $n$ એ વસ્તુ અને ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ વચ્ચેના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે, $\beta$ એ વસ્તુમાંથી આવતા પ્રકાશના શંકુનો અર્ધ-શીર્ષકોણ છે, અને $\lambda$ એ વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $RP$ એ વક્રીભવનાંક $(n)$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી, વસ્તુ અને ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ વચ્ચેના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક વધારવાથી માઇક્રોસ્કોપની રિઝોલ્વિંગ પાવરમાં સુધારો થાય છે.

(D) એક સ્લિટ વડે થતા વિવર્તનના પ્રયોગમાં, મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈનું સૂત્ર $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ છે, જ્યાં $\lambda$ એ વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કોણીય પહોળાઈ તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને સ્લિટની પહોળાઈ $a$ પર આધાર રાખે છે.
તે $\frac{\lambda}{a}$ ના ગુણોત્તર પર પણ આધાર રાખે છે.
જોકે, કોણીય પહોળાઈ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેના અંતર $D$ પર આધાર રાખતી નથી.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
કળા તફાવત $\phi$ એ પથ તફાવત $\Delta x$ સાથે $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ દ્વારા સંબંધિત છે.
પથ તફાવત $\Delta x_1 = \frac{\lambda}{4}$ માટે, કળા તફાવત $\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ થાય.
તેથી, $I_1 = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4}) = 4I_0 (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 4I_0 \cdot \frac{1}{2} = 2I_0$.
પથ તફાવત $\Delta x_2 = \frac{\lambda}{3}$ માટે, કળા તફાવત $\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3}$ થાય.
તેથી, $I_2 = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi}{3}) = 4I_0 (\frac{1}{2})^2 = 4I_0 \cdot \frac{1}{4} = I_0$.
હવે, $\frac{I_1 + I_2}{I_0} = \frac{2I_0 + I_0}{I_0} = \frac{3I_0}{I_0} = 3$.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં, પડદા પરના બિંદુ $y$ આગળ પથ તફાવત $\Delta x = \frac{yd}{D}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક સ્લિટની બરાબર સામેના બિંદુ માટે, $y = d/2$ થાય.
તેથી, પથ તફાવત $\Delta x = \frac{(d/2)d}{D} = \frac{d^2}{2D}$ થાય.
ન્યૂનતમ (વિનાશક વ્યતિકરણ) થવા માટે, પથ તફાવત $\lambda/2$ નો એકી ગુણાંક હોવો જોઈએ, એટલે કે $\Delta x = (2n-1)\frac{\lambda}{2}$ જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{d^2}{2D} = (2n-1)\frac{\lambda}{2}$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા: $\lambda = \frac{d^2}{D(2n-1)}$.
આમ, $\lambda \propto \frac{1}{2n-1}$.
$n = 1, 2, 3, \dots$ માટે, $(2n-1)$ ની કિંમતો $1, 3, 5, \dots$ મળે છે.
તેથી, શક્ય તરંગલંબાઈઓ $\frac{d^2}{D}, \frac{d^2}{3D}, \frac{d^2}{5D}, \dots$ ના પ્રમાણમાં છે.

(D) બાયપ્રિઝમના પ્રયોગમાં, મધ્યસ્થ શલાકાથી $n^{th}$ અપ્રકાશિત શલાકાનું અંતર $y_n = (2n-1) \frac{D\lambda}{2d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, $4^{th}$ અપ્રકાશિત શલાકા એક સ્લિટની સામે રચાય છે. મધ્યસ્થ અક્ષથી સ્લિટનું અંતર $d/2$ છે.
તેથી, આપણે $y_4 = d/2$ લઈએ છીએ.
$4^{th}$ અપ્રકાશિત શલાકા માટે, $n = 4$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $d/2 = (2(4) - 1) \frac{D\lambda}{2d}$.
$d/2 = 7 \frac{D\lambda}{2d}$.
બંને બાજુ $2d$ વડે ગુણતા, આપણને $d^2 = 7D\lambda$ મળે છે.
તેથી, $\lambda = \frac{d^2}{7D}$.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની કોણીય પહોળાઈનું સૂત્ર $\theta = \frac{\lambda}{d}$ છે, જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
જ્યારે સાધનને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં ડુબાડવામાં આવે છે, ત્યારે પ્રકાશની તરંગલંબાઇ બદલાઈને $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ થાય છે.
તેથી, નવી કોણીય પહોળાઈ $\theta'$ એ $\theta' = \frac{\lambda'}{d} = \frac{\lambda}{\mu d} = \frac{\theta}{\mu}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $\theta = 0.2^\circ$ અને $\mu = 4/3$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા, આપણને $\theta' = \frac{0.2}{4/3} = 0.2 \times \frac{3}{4} = 0.15^\circ$ મળે છે.
આમ, ફ્રિન્જની નવી કોણીય પહોળાઈ $0.15^\circ$ થશે.

(B) સ્લેબ દ્વારા ઉદ્ભવતો પથ તફાવત $\Delta x = (\mu_2 - 1)t - (\mu_1 - 1)t = (\mu_2 - \mu_1)t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\Delta x = (1.55 - 1.51) \times 0.1 \text{ mm} = 0.04 \times 0.1 \text{ mm} = 0.004 \text{ mm} = 4 \times 10^{-6} \text{ m}$.
શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ ના સંદર્ભમાં મધ્યસ્થ શલાકાનું સ્થાનાંતર $n = \frac{\Delta x}{\lambda}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $\lambda = 4000 \text{ Å} = 4000 \times 10^{-10} \text{ m} = 4 \times 10^{-7} \text{ m}$ છે.
તેથી, $n = \frac{4 \times 10^{-6}}{4 \times 10^{-7}} = 10$.
આમ, મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકા $10$ શલાકા જેટલી ખસશે.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં, કોઈપણ બિંદુ $P$ પર પથ તફાવત (path difference) $\Delta x$ એ $S_2P - S_1P = d \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી, $S_2P - S_1P = S_2B = \Delta x$ છે.
પ્રકાશિત શલાકા માટે, પથ તફાવત $\Delta x = n\lambda$ છે, જ્યાં $n$ એ શલાકાનો ક્રમ છે.
બિંદુ $Q$ એ મધ્યસ્થ અધિકતમ (central maximum) $O$ ની એક બાજુ પર બીજી પ્રકાશિત શલાકા છે, તેથી તેનું સ્થાન $y_Q = 2\beta$ છે, જ્યાં $\beta$ એ શલાકાની પહોળાઈ છે.
બિંદુ $P$ એ $Q$ ની બીજી બાજુ પર અગિયારમી પ્રકાશિત શલાકા છે. $O$ થી $P$ નું અંતર $y_P = (11 - 2)\beta = 9\beta$ છે, જે $O$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
આમ, બિંદુ $P$ પર પથ તફાવત $\Delta x = 9\lambda$ છે.
આપેલ છે કે $\lambda = 6000 \text{ Å} = 6000 \times 10^{-10} \text{ m} = 6 \times 10^{-7} \text{ m}$.
તેથી, $S_2B = 9 \times 6 \times 10^{-7} \text{ m} = 54 \times 10^{-7} \text{ m} = 5.4 \times 10^{-6} \text{ m}$.

(B) $n$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર: $\beta = \frac{\lambda_n D}{d}$ છે, જ્યાં $\lambda_n = \frac{\lambda_0}{n}$ થાય.
આપેલ છે:
$\lambda_0 = 6300 \text{ Å} = 6300 \times 10^{-10} \text{ m}$
$n = 1.33$
$D = 1.33 \text{ m}$
$d = 1 \text{ mm} = 10^{-3} \text{ m}$
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda_n = \frac{6300 \times 10^{-10}}{1.33} \text{ m}$
$\beta = \frac{(6300 \times 10^{-10} / 1.33) \times 1.33}{10^{-3}}$
$\beta = \frac{6300 \times 10^{-10}}{10^{-3}} = 6300 \times 10^{-7} \text{ m} = 6.3 \times 10^{-4} \text{ m}$.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં $n^{th}$ ક્રમની પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર $d = 3 \text{ mm} = 3 \times 10^{-3} \text{ m}$.
પડદાનું અંતર $D = 2 \text{ m}$.
ક્રમ $n = 5$.
તરંગલંબાઇ $\lambda_1 = 480 \text{ nm} = 480 \times 10^{-9} \text{ m}$ અને $\lambda_2 = 600 \text{ nm} = 600 \times 10^{-9} \text{ m}$.
$\lambda_1$ માટે $5^{th}$ પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_1 = \frac{5 \times 480 \times 10^{-9} \times 2}{3 \times 10^{-3}} = 1600 \times 10^{-6} \text{ m} = 1.6 \times 10^{-3} \text{ m}$.
$\lambda_2$ માટે $5^{th}$ પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_2 = \frac{5 \times 600 \times 10^{-9} \times 2}{3 \times 10^{-3}} = 2000 \times 10^{-6} \text{ m} = 2.0 \times 10^{-3} \text{ m}$.
બંને શલાકાઓ વચ્ચેનું અંતર $\Delta y = |y_2 - y_1| = (2.0 - 1.6) \times 10^{-3} \text{ m} = 0.4 \times 10^{-3} \text{ m} = 4 \times 10^{-4} \text{ m}$.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં કોઈપણ બિંદુ પર તીવ્રતા $I = 4I_0 \cos^2(\phi/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = (2\pi/\lambda) \Delta x$ છે.
પ્રથમ બિંદુ માટે, પથ તફાવત $\Delta x_1 = 0$, તેથી $\phi_1 = 0$. તીવ્રતા $I_1 = 4I_0 \cos^2(0) = 4I_0$.
બીજા બિંદુ માટે, પથ તફાવત $\Delta x_2 = \lambda/4$, તેથી $\phi_2 = (2\pi/\lambda) \times (\lambda/4) = \pi/2$. તીવ્રતા $I_2 = 4I_0 \cos^2(\pi/4) = 4I_0 \times (1/\sqrt{2})^2 = 4I_0 \times (1/2) = 2I_0$.
તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $I_1/I_2 = (4I_0)/(2I_0) = 2/1$ એટલે કે $2:1$ થાય છે.

(C) ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = 0.4 \text{ mm}$ આપેલ છે.
$n^{th}$ પ્રકાશિત શલાકા માટેનું સ્થાન $y_n = n\beta$ છે.
$m^{th}$ અપ્રકાશિત શલાકા માટેનું સ્થાન $y'_m = (m - 0.5)\beta$ છે.
$6^{th}$ પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન: $y_6 = 6\beta = 6 \times 0.4 = 2.4 \text{ mm}$.
$4^{th}$ અપ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન: $y'_4 = (4 - 0.5)\beta = 3.5 \times 0.4 = 1.4 \text{ mm}$.
તેમની વચ્ચેનું અંતર $|y_6 - y'_4| = |2.4 - 1.4| = 1.0 \text{ mm}$ થાય.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં, સ્લિટ $A_1$ અને $A_2$ માંથી $P$ બિંદુએ પહોંચતા પ્રકાશના તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x = A_2P - A_1P$ છે.
આપેલ છે કે $A_1P$ એ $A_1A_2$ ને લંબ છે, તેથી આપણી પાસે કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta A_1A_2P$ છે જ્યાં $A_1A_2 = a$ અને $A_1P = D$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ, $A_2P = \sqrt{A_1A_2^2 + A_1P^2} = \sqrt{a^2 + D^2}$.
આમ, પથ તફાવત $\Delta x = \sqrt{a^2 + D^2} - D$ થાય.
પ્રથમ ન્યૂનતમ (વિનાશક વ્યતિકરણ) માટે, પથ તફાવત $\frac{\lambda}{2}$ જેટલો હોવો જોઈએ.
તેથી, $\sqrt{a^2 + D^2} - D = \frac{\lambda}{2}$.
$\sqrt{a^2 + D^2} = D + \frac{\lambda}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, $a^2 + D^2 = (D + \frac{\lambda}{2})^2 = D^2 + \lambda D + \frac{\lambda^2}{4}$.
$a^2 = \lambda D + \frac{\lambda^2}{4}$.
અહીં $\lambda$ એ $D$ ની સરખામણીમાં ખૂબ નાનું હોવાથી, $\frac{\lambda^2}{4}$ ને અવગણી શકાય છે.
તેથી, $a^2 \approx \lambda D$, જે આપણને $a = \sqrt{\lambda D}$ આપે છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ સ્લિટની પહોળાઈ $w_1 = w$ અને બીજી સ્લિટની પહોળાઈ $w_2 = 2w$ છે। તીવ્રતા $I \propto \text{\text{પહોળાઈ}}$ હોવાથી, $I_1 = I_0$ અને $I_2 = 2I_0$ મળે।
$I \propto A^2$ હોવાથી, કંપવિસ્તાર $A_1 = a$ અને $A_2 = a\sqrt{2}$ થાય।
પરિણામી તીવ્રતા $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi = 3I_0 + 2\sqrt{2} I_0 \cos \phi$ છે।
મહત્તમ તીવ્રતા $I_m$ ત્યારે મળે જ્યારે $\cos \phi = 1$, તેથી $I_m = I_0(3 + 2\sqrt{2})$।
$\cos \phi = 2 \cos^2 \frac{\phi}{2} - 1$ મૂકતા, $I = I_0(3 - 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} \cos^2 \frac{\phi}{2})$।
$I_0 = \frac{I_m}{3 + 2\sqrt{2}} = I_m(3 - 2\sqrt{2})$ મૂકતા, અંતે $I = \frac{I_m}{9}(1 + 8 \cos^2 \frac{\phi}{2})$ મળે છે।

(C) તરંગની તીવ્રતા $I$ તેના કંપવિસ્તાર $A$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે $I \propto A^2$.
ધારો કે બે સુસંબદ્ધ ઉદગમોના કંપવિસ્તાર $A_1$ અને $A_2$ છે.
મહત્તમ તીવ્રતા $I_{max} \propto (A_1 + A_2)^2$ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{min} \propto (A_1 - A_2)^2$ છે.
આપેલ છે કે મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{max}}{I_{min}} = \frac{36}{1}$ છે.
તેથી, $\frac{(A_1 + A_2)^2}{(A_1 - A_2)^2} = \frac{36}{1}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા, $\frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} = \frac{6}{1}$ મળે છે.
યોગ-વિયોગની રીત (componendo and dividendo) વાપરતા, $\frac{(A_1 + A_2) + (A_1 - A_2)}{(A_1 + A_2) - (A_1 - A_2)} = \frac{6 + 1}{6 - 1}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{2A_1}{2A_2} = \frac{7}{5}$ મળે છે.
આમ, કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \frac{7}{5}$ છે.

(B) પડદા પરના એક નિશ્ચિત વિસ્તારની પહોળાઈ $L$ છે. શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ એ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે, $D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે, અને $d$ એ સ્લિટો વચ્ચેનું અંતર છે.
$L$ પહોળાઈના વિસ્તારમાં શલાકાઓની સંખ્યા $n$ એ $n = \frac{L}{\beta} = \frac{Ld}{\lambda D}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $L, d,$ અને $D$ અચળ હોવાથી, $n \propto \frac{1}{\lambda}$ થાય, જેનો અર્થ છે કે $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$.
આપેલ છે કે $n_1 = 8$, $\lambda_1 = 6600 \text{ Å}$, અને $\lambda_2 = 4400 \text{ Å}$.
કિંમતો મૂકતા: $8 \times 6600 = n_2 \times 4400$.
$n_2 = \frac{8 \times 6600}{4400} = \frac{8 \times 66}{44} = \frac{8 \times 3}{2} = 12$.
તેથી, જોવા મળતી શલાકાઓની સંખ્યા $12$ છે.

(D) વ્યતિકરણ પામતા કિરણોમાંથી એકના માર્ગમાં $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી કાચની પ્લેટ મૂકવાથી મળતું શલાકા સ્થાનાંતર $\Delta x$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta x = \frac{t(\mu - 1)D}{d}$.
અહીં $t$, $D$, અને $d$ અચળ હોવાથી, સ્થાનાંતર એ $(\mu - 1)$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી, $\frac{y_2}{y_1} = \frac{\mu_2 - 1}{\mu_1 - 1}$.
આપેલ છે કે $y_1 = y$, $\mu_1 = 1.44$, અને $\mu_2 = 1.66$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{y_2}{y} = \frac{1.66 - 1}{1.44 - 1} = \frac{0.66}{0.44} = \frac{66}{44} = \frac{3}{2}$.
આમ, $y_2 = \frac{3y}{2}$.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં, વિનાશક વ્યતિકરણ (અપ્રકાશિત શલાકા) માટેની શરત એ છે કે પથ તફાવત $\Delta x$ એ તરંગલંબાઈના અડધા ભાગનો એકી ગુણાંક હોવો જોઈએ, એટલે કે $n = 1, 2, 3, \dots$ માટે $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$.
કળા તફાવત $\Delta \phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \Delta x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n^{th}$ અપ્રકાશિત શલાકા માટે $\Delta x$ ની કિંમત મૂકતા:
$\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\Delta \phi = (2n - 1)\pi$ રેડિયન.
આમ, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) મધ્યસ્થ શલાકાથી $n^{th}$ પ્રકાશિત શલાકાનું અંતર $x_n = n \cdot \frac{D \lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $D$ એ ઉદગમ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે અને $d$ એ બે સુસંબદ્ધ ઉદગમો વચ્ચેનું અંતર છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે:
$\lambda_1 = 6000 \text{ Å}$
$4^{th}$ અને $13^{th}$ પ્રકાશિત શલાકા વચ્ચેનું અંતર $y = x_{13} - x_4 = (13 - 4) \frac{D \lambda_1}{d} = 9 \frac{D \lambda_1}{d}$ છે.
બીજા કિસ્સા માટે:
$\lambda_2 = \lambda$
$6^{th}$ અને $16^{th}$ પ્રકાશિત શલાકા વચ્ચેનું અંતર $y = x_{16} - x_6 = (16 - 6) \frac{D \lambda_2}{d} = 10 \frac{D \lambda_2}{d}$ છે.
બંને કિસ્સામાં અંતર $y$ સમાન હોવાથી:
$9 \frac{D \lambda_1}{d} = 10 \frac{D \lambda_2}{d}$
$9 \lambda_1 = 10 \lambda_2$
$9 \times 6000 = 10 \times \lambda$
$\lambda = \frac{54000}{10} = 5400 \text{ Å}$.

(A) $\lambda_1$ તરંગલંબાઈ માટે $m^{th}$ પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_m = m \frac{D \lambda_1}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\lambda_2$ તરંગલંબાઈ માટે $n^{th}$ અપ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_n = (n - \frac{1}{2}) \frac{D \lambda_2}{d} = \frac{(2n - 1)}{2} \frac{D \lambda_2}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે શલાકાઓ સંપાત થાય છે, ત્યારે $y_m = y_n$:
$m \frac{D \lambda_1}{d} = \frac{(2n - 1)}{2} \frac{D \lambda_2}{d}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા, આપણને $m \lambda_1 = \frac{(2n - 1)}{2} \lambda_2$ મળે છે.
તેથી, ગુણોત્તર $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{2m}{2n - 1}$ થાય છે.

(D) પ્રકાશના તરંગની તીવ્રતા $I$ એ તેના કંપવિસ્તાર $A$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે $I \propto A^2$.
આપેલ કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $A_1 : A_2 = 3 : 1$ છે, ધારો કે $A_1 = 3k$ અને $A_2 = k$.
મહત્તમ તીવ્રતા $I_{max} = (A_1 + A_2)^2 = (3k + k)^2 = (4k)^2 = 16k^2$.
ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{min} = (A_1 - A_2)^2 = (3k - k)^2 = (2k)^2 = 4k^2$.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{max}}{I_{min}} = \frac{16k^2}{4k^2} = \frac{16}{4} = 4 : 1$ થાય.

(C) વ્યતિકરણ ભાતમાં, પરિણામી તરંગની તીવ્રતા $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રકાશિત શલાકાઓ માટે, $\cos \phi = 1$, તેથી $I_{max} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$.
અપ્રકાશિત શલાકાઓ માટે, $\cos \phi = -1$, તેથી $I_{min} = I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1 I_2} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$.
કોન્ટ્રાસ્ટ એ શલાકાઓની દ્રશ્યતા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે, જે ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે $I_{min} = 0$ હોય.
$I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2 = 0$ લેતા, આપણને $\sqrt{I_1} = \sqrt{I_2}$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $I_1 = I_2$.
તેથી, મહત્તમ કોન્ટ્રાસ્ટ મેળવવા માટે બે સુસંબદ્ધ ઉદગમોની તીવ્રતા સમાન હોવી જોઈએ.

(D) '$t$' જાડાઈ અને '$\mu$' વક્રીભવનાંક ધરાવતી ફિલ્મ દ્વારા ઉદ્ભવતો પથ તફાવત $\Delta x = (\mu - 1)t$ છે.
શરૂઆતમાં, $5^{th}$ અપ્રકાશિત શલાકા તે બિંદુએ છે, તેથી પથ તફાવત $\Delta x_1 = (5 - 0.5)\lambda = 4.5\lambda$ છે.
ફિલ્મ મૂક્યા પછી, $7^{th}$ પ્રકાશિત શલાકા તે જ બિંદુએ મળે છે, તેથી પથ તફાવત $\Delta x_2 = 7\lambda$ છે.
પથ તફાવતમાં થતો ફેરફાર એ ફિલ્મ દ્વારા દાખલ કરાયેલ પથ તફાવત જેટલો હોય છે: $\Delta x = \Delta x_2 - \Delta x_1$.
$(\mu - 1)t = 7\lambda - 4.5\lambda = 2.5\lambda$.
તેથી, ફિલ્મની જાડાઈ $t = \frac{2.5\lambda}{(\mu - 1)}$ થશે.

(B) પડદા પરના કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2(\pi \Delta x / \lambda)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પથ તફાવત $\Delta x_1 = \lambda/6$ માટે, $X = I_{max} \cos^2(\pi/6) = I_{max} (3/4)$, તેથી $I_{max} = 4X/3$.
પથ તફાવત $\Delta x_2 = \lambda/3$ માટે, $I_2 = I_{max} \cos^2(\pi/3) = I_{max} (1/4)$.
$I_{max}$ ની કિંમત મૂકતા, $I_2 = (4X/3) \times (1/4) = X/3$.

(A) વ્યતિકરણ ભાતમાં કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
આપેલ પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{3}$ છે.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
$\Delta x$ ની કિંમત મૂકતા: $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
હવે, તીવ્રતાની ગણતરી કરતા: $I = I_0 \cos^2(\frac{2\pi/3}{2}) = I_0 \cos^2(\frac{\pi}{3})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\frac{\pi}{3}) = \cos(60^{\circ}) = 0.5 = \frac{1}{2}$, તેથી $I = I_0 (\frac{1}{2})^2 = \frac{I_0}{4}$.

(C) ન્યૂટનના પ્રકાશના કણવાદ મુજબ, પ્રકાશ એ 'કોર્પસલ્સ' (corpuscles) નામના નાના કણોનો બનેલો છે.
આ સિદ્ધાંત મુજબ પ્રકાશ સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે.
આ સિદ્ધાંત એવી આગાહી કરે છે કે જ્યારે પ્રકાશ પાતળા માધ્યમ (જેમ કે હવા) માંથી ઘટ્ટ માધ્યમ (જેમ કે કાચ) માં પ્રવેશ કરે છે, ત્યારે તેનો વેગ વધે છે.
તેથી,'હવામાં પ્રકાશનો વેગ કાચ કરતા વધારે હોય છે' તે વિધાન આ સિદ્ધાંત મુજબ ખોટું છે, કારણ કે તે તેનાથી વિપરીત આગાહી કરે છે.
આમ, વિકલ્પ $C$ સાચો જવાબ છે.

(A) હવામાં આપાત તરંગ અગ્રની ભૂમિતિ પરથી, આપણને મળે છે $\sin i = \frac{x}{AB}$.
પાણીમાં વક્રીભૂત તરંગ અગ્રની ભૂમિતિ પરથી, આપણને મળે છે $\sin r = \frac{y}{AB}$.
સ્નેલના નિયમ મુજબ, હવાની સાપેક્ષે પાણીનો વક્રીભવનાંક $n_{wa} = \frac{\sin i}{\sin r} = \frac{x/AB}{y/AB} = \frac{x}{y}$ છે.
જોકે, પ્રશ્નમાં પાણીની સાપેક્ષે હવાનો વક્રીભવનાંક $(n_{aw})$ પૂછવામાં આવ્યો છે, જે $n_{wa}$ નો વ્યસ્ત છે.
આકૃતિ જોતા, અંતર $AB$ બંને ત્રિકોણ માટે સામાન્ય છે. આપાત તરંગ અગ્ર દ્વારા બનતા ત્રિકોણમાં, તરંગ અગ્ર અને સપાટી વચ્ચેનો ખૂણો $i$ છે. તેથી, $x = AB \sin i$.
વક્રીભૂત તરંગ અગ્ર દ્વારા બનતા ત્રિકોણમાં, તરંગ અગ્ર અને સપાટી વચ્ચેનો ખૂણો $r$ છે. તેથી, $y = AB \sin r$.
આકૃતિ પરથી, આપણે $w$ અને $z$ ને લગતા સંબંધો પણ ઓળખી શકીએ છીએ. ખાસ કરીને, $z = AB \cos i$ અને $w = AB \cos r$.
તેથી, $\frac{z}{w} = \frac{AB \cos i}{AB \cos r} = \frac{\cos i}{\cos r}$.
$n_{wa} = \frac{\sin i}{\sin r}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને, આપણે શોધી શકીએ છીએ કે પહોળાઈનો ગુણોત્તર વક્રીભવનાંક સાથે સંબંધિત છે. આપેલા વિકલ્પો અને ભૂમિતિના આધારે, સાચો ગુણોત્તર $\frac{w}{z}$ છે.

(B) ફોટોન માટે, ઉર્જા $E$ અને તેની તરંગલંબાઇ $\lambda_p$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{hc}{\lambda_p}$ છે, જેનો અર્થ છે કે $\lambda_p = \frac{hc}{E}$.
બિન-સાપેક્ષવાદી ઇલેક્ટ્રોન માટે, ગતિ ઉર્જા $E$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{p^2}{2m}$ છે, તેથી $p = \sqrt{2mE}$.
ઇલેક્ટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda_e$ એ $\lambda_e = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હવે, આપણે $\frac{\lambda_e}{\lambda_p}$ નો ગુણોત્તર શોધીએ:
$\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \frac{h / \sqrt{2mE}}{hc / E} = \frac{h}{\sqrt{2mE}} \times \frac{E}{hc} = \frac{1}{c} \sqrt{\frac{E}{2m}}$.
અહીં $c$ અને $m$ અચળાંક હોવાથી, ગુણોત્તર $\frac{\lambda_e}{\lambda_p}$ એ $\sqrt{E}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = hv - h v_0$ છે, જ્યાં $v$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $v_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
આવૃત્તિ $v_1$ માટે, $K_1 = h v_1 - h v_0$.
આવૃત્તિ $v_2$ માટે, $K_2 = h v_2 - h v_0$.
ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $K_1 / K_2 = k / 1$ આપેલ છે, તેથી $K_1 = k K_2$.
સમીકરણો મૂકતા: $h v_1 - h v_0 = k(h v_2 - h v_0)$.
$h$ વડે ભાગતા: $v_1 - v_0 = k v_2 - k v_0$.
$v_0$ માટે પદો ગોઠવતા: $k v_0 - v_0 = k v_2 - v_1$.
$v_0(k - 1) = k v_2 - v_1$.
તેથી, $v_0 = \frac{k v_2 - v_1}{k - 1}$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, મહત્તમ ગતિઊર્જા $E_k = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન (કાર્ય વિધેય) છે.
બંને ધાતુની પ્લેટો સમાન હોવાથી, $\phi$ બંને માટે સમાન રહેશે.
પ્રથમ પ્લેટ માટે: $E_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - \phi$
બીજી પ્લેટ માટે: $E_2 = \frac{hc}{\lambda_2} - \phi$
આપેલ છે કે $\lambda_1 = 1.5\lambda_2 = \frac{3}{2}\lambda_2$, તેથી $\frac{1}{\lambda_1} = \frac{2}{3\lambda_2}$.
આ કિંમત $E_1$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $E_1 = \frac{hc(2/3\lambda_2)} - \phi = \frac{2}{3}(\frac{hc}{\lambda_2}) - \phi$.
$E_2 = \frac{hc}{\lambda_2} - \phi$ હોવાથી, $\frac{hc}{\lambda_2} = E_2 + \phi$ મળે.
આ કિંમત $E_1$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $E_1 = \frac{2}{3}(E_2 + \phi) - \phi = \frac{2}{3}E_2 + \frac{2}{3}\phi - \phi = \frac{2}{3}E_2 - \frac{1}{3}\phi$.
અહીં $\phi > 0$ હોવાથી, $E_1 < \frac{2}{3}E_2$ સાબિત થાય છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(E_k)$ $E_k = h\nu - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે, $\nu$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે અને $\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે મહત્તમ ગતિઊર્જા $(E_k)$ માત્ર આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ $(\nu)$ અને ધાતુની સપાટીના વર્ક ફંક્શન $(\phi)$ પર આધાર રાખે છે.
તે આપાત વિકિરણની તીવ્રતા $(I)$ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી, જો આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ અચળ રાખવામાં આવે, તો આપાત વિકિરણની તીવ્રતા $(I)$ વધારવા છતાં મહત્તમ ગતિઊર્જા $(E_k)$ અચળ રહે છે.
આલેખ $P$ એ $I$ ના બદલાતા મૂલ્યો માટે $E$ નું અચળ મૂલ્ય દર્શાવે છે, જે આ સંબંધને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.
આમ, સાચો આલેખ $P$ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ, ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{max} = E - W$ છે, જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઉર્જા છે અને $W$ એ કાર્ય વિધેય છે।
પ્રથમ કિસ્સા માટે, $E_1 = 3W$. તેથી, $K_1 = 3W - W = 2W$.
$K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી, $\frac{1}{2}mv_1^2 = 2W$, જેનો અર્થ છે કે $v_1 = \sqrt{\frac{4W}{m}}$.
બીજા કિસ્સા માટે, $E_2 = 5W$. તેથી, $K_2 = 5W - W = 4W$.
તે જ રીતે, $\frac{1}{2}mv_2^2 = 4W$, જેનો અર્થ છે કે $v_2 = \sqrt{\frac{8W}{m}}$.
વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \frac{\sqrt{4W/m}}{\sqrt{8W/m}} = \sqrt{\frac{4}{8}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય.
આમ, ગુણોત્તર $1 : \sqrt{2}$ છે।

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = hf - \Phi$ છે, જ્યાં $\Phi = hf_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
$2f_0$ આવૃત્તિ માટે, મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_1 = h(2f_0) - hf_0 = hf_0$ છે.
$K_1 = \frac{1}{2}mv_1^2$ હોવાથી, $\frac{1}{2}mv_1^2 = hf_0 \implies v_1 = \sqrt{\frac{2hf_0}{m}}$.
$5f_0$ આવૃત્તિ માટે, મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_2 = h(5f_0) - hf_0 = 4hf_0$ છે.
$K_2 = \frac{1}{2}mv_2^2$ હોવાથી, $\frac{1}{2}mv_2^2 = 4hf_0 \implies v_2 = \sqrt{\frac{8hf_0}{m}}$.
$v_1 : v_2$ નો ગુણોત્તર = $\sqrt{\frac{2hf_0}{m}} : \sqrt{\frac{8hf_0}{m}} = \sqrt{2} : \sqrt{8} = \sqrt{2} : 2\sqrt{2} = 1 : 2$.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$, જ્યાં $K_{max}$ એ ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા છે, $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે, $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે, $\lambda$ એ આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે અને $\phi$ એ પદાર્થનું વર્ક ફંક્શન છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $eV_s = K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$.
આ સમીકરણ પરથી, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $V_s = \frac{hc}{e\lambda} - \frac{\phi}{e}$.
જો આપાત તરંગલંબાઈ $\lambda$ ઘટાડવામાં આવે, તો પદ $\frac{hc}{e\lambda}$ વધે છે.
કારણ કે વર્ક ફંક્શન $\phi$ આપેલ પદાર્થ માટે અચળ છે, તેથી જેમ $\lambda$ ઘટે છે તેમ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ વધવું જોઈએ.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $K_{max} = h v - \Phi_0$, જ્યાં $K_{max}$ એ ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા છે, $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે, $v$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે અને $\Phi_0$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $K_{max} = e V_s$, જ્યાં $e$ એ ઈલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે અને $V_s$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે, તેથી: $e V_s = h v - \Phi_0$.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $V_s = \frac{h}{e} v - \frac{\Phi_0}{e}$.
આ રેખીય સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_s)$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ $(v)$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી, જો આવૃત્તિ $(v)$ વધારવામાં આવે, તો સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_s)$ પણ વધે છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ નીચે મુજબ મળે છે: $eV_s = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$, જ્યાં $\lambda_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $eV = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ --- $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે: $e(V/12) = \frac{hc}{6\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $12$ વડે ગુણતા: $eV = \frac{12hc}{6\lambda} - \frac{12hc}{\lambda_0} = \frac{2hc}{\lambda} - \frac{12hc}{\lambda_0}$ --- $(3)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(3)$ ને સરખાવતા: $\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{2hc}{\lambda} - \frac{12hc}{\lambda_0}$
પદોને ગોઠવતા: $\frac{12hc}{\lambda_0} - \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{2hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda}$
$\frac{11hc}{\lambda_0} = \frac{hc}{\lambda}$
તેથી, $\lambda_0 = 11\lambda$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ, ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - W_0$
આપણે જાણીએ છીએ કે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા સાથે નીચેના સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે:
$K_{max} = eV$
આ કિંમતને પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણમાં મૂકતા:
$eV = \frac{hc}{\lambda} - W_0$
તરંગલંબાઇ $\lambda$ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{hc}{\lambda} = W_0 + eV$
$\lambda = \frac{hc}{W_0 + eV}$

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K = \frac{hc}{\lambda_i} - \frac{hc}{\lambda_0}$ છે.
$K = \frac{p^2}{2m}$ મૂકતા, જ્યાં $p$ એ ઈલેક્ટ્રોનનું વેગમાન છે, આપણને $\frac{p^2}{2m} = hc(\frac{1}{\lambda_i} - \frac{1}{\lambda_0})$ મળે છે.
ડી-બ્રોગ્લી સંબંધ મુજબ, તરંગલંબાઈ $\lambda_e = \frac{h}{p}$ છે, જેનો અર્થ છે કે $p = \frac{h}{\lambda_e}$.
ગતિઊર્જાના સમીકરણમાં $p$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{h^2}{2m\lambda_e^2} = hc(\frac{1}{\lambda_i} - \frac{1}{\lambda_0})$.
$\lambda_e^2$ માટે ગોઠવતા: $\lambda_e^2 = \frac{h^2}{2mhc(\frac{1}{\lambda_i} - \frac{1}{\lambda_0})} = \frac{h}{2mc(\frac{1}{\lambda_i} - \frac{1}{\lambda_0})}$.
આમ, $\lambda_e = [\frac{h}{2mc(\frac{1}{\lambda_i} - \frac{1}{\lambda_0})}]^{1/2}$.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $K_{max} = \frac{1}{2}mV^2 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$, જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં: $\frac{1}{2}mV^2 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ ... $(1)$
બીજા કિસ્સામાં, નવી તરંગલંબાઈ $\lambda' = \frac{2\lambda}{3}$ છે. નવી મહત્તમ ઝડપ $V'$ ધારો.
$\frac{1}{2}m(V')^2 = \frac{hc}{2\lambda/3} - \phi = \frac{3hc}{2\lambda} - \phi = 1.5 \frac{hc}{\lambda} - \phi$
સમીકરણ $(1)$ માંથી, $\frac{hc}{\lambda} = \frac{1}{2}mV^2 + \phi$
તેથી, $\frac{1}{2}m(V')^2 = 1.5(\frac{1}{2}mV^2 + \phi) - \phi = 0.75mV^2 + 1.5\phi - \phi = 0.75mV^2 + 0.5\phi$
$\frac{1}{2}m(V')^2 = 0.75mV^2 + 0.5\phi$
$(V')^2 = 1.5V^2 + \frac{\phi}{m}$
$(V')^2 > 1.5V^2$
$V' > V(1.5)^{1/2}$
આમ, નવી મહત્તમ ઝડપ $V(1.5)^{1/2}$ કરતા વધારે હશે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = h\nu - h\nu_0$ છે, જ્યાં $\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\nu_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $K_{max1} = h\nu_1 - h\nu_0$.
બીજા કિસ્સા માટે: $K_{max2} = h\nu_2 - h\nu_0$.
ગુણોત્તર $\frac{K_{max1}}{K_{max2}} = \frac{3}{K}$ આપેલ છે.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{h\nu_1 - h\nu_0}{h\nu_2 - h\nu_0} = \frac{3}{K}$.
$K(\nu_1 - \nu_0) = 3(\nu_2 - \nu_0)$.
$K\nu_1 - K\nu_0 = 3\nu_2 - 3\nu_0$.
$K\nu_1 - 3\nu_2 = K\nu_0 - 3\nu_0$.
$K\nu_1 - 3\nu_2 = \nu_0(K - 3)$.
તેથી, થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0 = \frac{K\nu_1 - 3\nu_2}{K - 3}$ થાય.