MHT CET 2026 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) $1$. તકતીની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_d = MR^2/4$ છે.
$2$. લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ, તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સપાટીને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = I_d + I_d = MR^2/4 + MR^2/4 = MR^2/2$ થાય.
$3$. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા, તકતીની ધાર પરના બિંદુમાંથી પસાર થતી અને સપાટીને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + Md^2$ મળે, જ્યાં $d = R$ એ કેન્દ્ર અને ધાર વચ્ચેનું અંતર છે.
$4$. કિંમતો મૂકતા: $I = MR^2/2 + M(R)^2 = MR^2/2 + MR^2 = (3/2)MR^2$.
$5$. આપેલ સમીકરણ $(x/2)MR^2$ સાથે સરખાવતા, $x/2 = 3/2$ મળે, તેથી $x = 3$ થાય.

(C) નક્કર ગોળાની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ, દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને સમાંતર અને $d$ અંતરે આવેલી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + Md^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, અંતર $d = R/3$ છે.
કિંમતો મૂકતા, આપણને મળે છે:
$I = \frac{2}{5}MR^2 + M(R/3)^2$
$I = \frac{2}{5}MR^2 + M(R^2/9)$
$I = MR^2(\frac{2}{5} + \frac{1}{9})$
$I = MR^2(\frac{18 + 5}{45})$
$I = \frac{23}{45}MR^2$.

(B) $M$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી ધરીને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{2}{5}Mr^2$ છે.
સમાંતર ધરીના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા, કેન્દ્રથી $d$ અંતરે રહેલી ધરીને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નીચે મુજબ મળે:
$I = I_{cm} + Md^2 = \frac{2}{5}Mr^2 + Md^2$।
અહીં $r = 5 \text{ cm}$ અને $d = 10 \text{ cm}$ આપેલ છે, તેથી:
$I = M \left( \frac{2}{5}(5)^2 + (10)^2 \right) = M \left( \frac{2}{5} \times 25 + 100 \right) = M(10 + 100) = 110M$।
ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $k$ ને $I = Mk^2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, તેથી $k^2 = \frac{I}{M} = 110$।
આપેલ છે કે $k = \sqrt{x}$, તેથી $k^2 = x = 110$।
આમ, $x$ નું મૂલ્ય $110$ છે.

(D) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર નળાકારની તેના કેન્દ્રીય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે પદાર્થની ઘનતા $\rho$ છે.
મૂળ નળાકારનું દળ $M_1 = \rho \cdot \pi R^2 L$ છે.
તેથી, $I_1 = \frac{1}{2} M_1 R^2 = \frac{1}{2} (\rho \pi R^2 L) R^2 = \frac{1}{2} \rho \pi R^4 L$.
કાપી લીધેલા નળાકારની ત્રિજ્યા $r = R/2$ અને લંબાઈ $l = L/2$ છે.
કાપી લીધેલા ભાગનું દળ $M_2 = \rho \cdot \pi (R/2)^2 (L/2) = \rho \cdot \pi (R^2/4) (L/2) = \frac{1}{8} \rho \pi R^2 L = \frac{M_1}{8}$ છે.
તે જ અક્ષને અનુલક્ષીને કાપી લીધેલા ભાગની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{1}{2} M_2 r^2 = \frac{1}{2} (\frac{M_1}{8}) (R/2)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{M_1}{8} \cdot \frac{R^2}{4} = \frac{M_1 R^2}{64}$ છે.
કારણ કે $I_1 = \frac{1}{2} M_1 R^2$, તેથી $M_1 R^2 = 2 I_1$ થાય.
આ કિંમત $I_2$ માં મૂકતા, $I_2 = \frac{2 I_1}{64} = \frac{I_1}{32}$ મળે છે.
તેથી, $I_1/I_2 = 32$ અથવા $32 : 1$ થાય.

(B) $1$. $M_d = M/2$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી તકતીની તેના સમતલમાં રહેલી સ્પર્શકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ, $I_{tangent} = I_{cm} + M_d R^2$.
તકતી માટે, $I_{cm} = (1/4) M_d R^2$.
તેથી, $I_{disc} = (1/4) (M/2) R^2 + (M/2) R^2 = (1/8) M R^2 + (4/8) M R^2 = (5/8) M R^2$.
$2$. $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળાની તેની સ્પર્શકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ, $I_{tangent} = I_{cm} + M R^2$.
નક્કર ગોળા માટે, $I_{cm} = (2/5) M R^2$.
તેથી, $I_{sphere} = (2/5) M R^2 + M R^2 = (7/5) M R^2$.
$3$. તકતી અને ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર:
ગુણોત્તર $= I_{disc} / I_{sphere} = [(5/8) M R^2] / [(7/5) M R^2] = (5/8) * (5/7) = 25/56$.
આમ, ગુણોત્તર $25 : 56$ છે.

(C) નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{2}{5} mr^2$ છે.
આપેલ સિસ્ટમમાં, મધ્યમાં રહેલા $3$ ગોળાઓના કેન્દ્રો $AA'$ અક્ષ પર છે, તેથી તેમની જડત્વની ચાકમાત્રા $3 \times \frac{2}{5} mr^2 = 1.2 mr^2$ થશે.
બાજુના $2$ ગોળાઓના કેન્દ્રો અક્ષથી $r$ અંતરે છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ, તેમની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + md^2 = \frac{2}{5} mr^2 + m(r)^2 = 1.4 mr^2$ થશે.
આવા $2$ ગોળાઓ માટે, કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $2 \times 1.4 mr^2 = 2.8 mr^2$ થશે.
સિસ્ટમની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total} = 1.2 mr^2 + 2.8 mr^2 = 4 mr^2$ થાય છે.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) બિંદુવત દળોના તંત્રની કોઈ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum m_i r_i^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $r_i$ એ અક્ષથી $i$-માં દળનું લંબ અંતર છે.
અહીં, અક્ષ $D$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને ચોરસના સમતલને લંબ છે.
$D(0,0)$ થી અંતર:
$A(0,b)$ પરનું દળ $m$: અંતર $r_A = b$, તેથી $I_A = m(b)^2 = mb^2$.
$B(b,b)$ પરનું દળ $2m$: અંતર $r_B = b\sqrt{2}$, તેથી $I_B = 2m(b\sqrt{2})^2 = 4mb^2$.
$C(b,0)$ પરનું દળ $3m$: અંતર $r_C = b$, તેથી $I_C = 3m(b)^2 = 3mb^2$.
$D(0,0)$ પરનું દળ $4m$: અંતર $r_D = 0$, તેથી $I_D = 0$.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_A + I_B + I_C + I_D = mb^2 + 4mb^2 + 3mb^2 + 0 = 8mb^2$.

(C) નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = 2/5 MR^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ, કેન્દ્રથી $d = R/3$ અંતરે વ્યાસને સમાંતર અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + Md^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા, આપણને $I = 2/5 MR^2 + M(R/3)^2$ મળે છે.
$I = 2/5 MR^2 + M(R^2/9)$.
લસાઅ $45$ લેતા, $I = (18/45) MR^2 + (5/45) MR^2$ મળે છે.
$I = 23/45 MR^2$.

(B) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી પાતળી સમાન વર્તુળાકાર તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_c = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
$I = MK^2$ હોવાથી, $MK_c^2 = \frac{1}{2}MR^2$, જે પરથી $K_c = \frac{R}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
તે જ તકતીની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_d = \frac{1}{4}MR^2$ છે.
$I_d = MK_d^2$ હોવાથી, $MK_d^2 = \frac{1}{4}MR^2$, જે પરથી $K_d = \frac{R}{2}$ મળે છે.
ગુણોત્તર $K_d : K_c = \frac{R/2}{R/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ, ગુણોત્તર $1:\sqrt{2}$ છે.

(A) પોલા ગોળાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{2}{3}MR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ, કેન્દ્રથી $h$ અંતરે આવેલી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + Mh^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I_{cm}$ નું મૂલ્ય મૂકતા, આપણને $I = \frac{2}{3}MR^2 + Mh^2$ મળે છે.
ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $K$ ને $I = MK^2$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
અહીં $K = R$ આપેલ હોવાથી, $I = MR^2$ થાય.
$I$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$MR^2 = \frac{2}{3}MR^2 + Mh^2$
$R^2 = \frac{2}{3}R^2 + h^2$
$h^2 = R^2 - \frac{2}{3}R^2$
$h^2 = \frac{1}{3}R^2$
$h = \frac{R}{\sqrt{3}}$
આમ, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આ સિસ્ટમમાં એક કેન્દ્રિય રીંગ અને છ આસપાસની રીંગોનો સમાવેશ થાય છે.
$1$. કેન્દ્રિય રીંગ માટે, તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{central} = MR^2$ છે.
$2$. છ આસપાસની રીંગોમાંથી દરેક માટે, કેન્દ્રિય રીંગના કેન્દ્ર અને આસપાસની રીંગના કેન્દ્ર વચ્ચેનું અંતર $d = 2R$ છે.
$3$. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા, એક આસપાસની રીંગની કેન્દ્રિય રીંગના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{surrounding} = I_{CM} + Md^2 = MR^2 + M(2R)^2 = MR^2 + 4MR^2 = 5MR^2$ થાય.
$4$. આવી છ આસપાસની રીંગો હોવાથી, તેમની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $6 \times 5MR^2 = 30MR^2$ છે.
$5$. સિસ્ટમની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total} = I_{central} + 30MR^2 = MR^2 + 30MR^2 = 31MR^2$ થાય.

(C) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_d = (2/5)MR^2$ છે।
$I = MK^2$ હોવાથી, $MK_d^2 = (2/5)MR^2$, જે આપણને $K_d = R \sqrt{2/5}$ આપે છે।
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ, નક્કર ગોળાની તેના સ્પર્શકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_t = I_{cm} + MR^2 = (2/5)MR^2 + MR^2 = (7/5)MR^2$ થાય।
$MK_t^2 = (7/5)MR^2$ હોવાથી, $K_t = R \sqrt{7/5}$ મળે।
આમ, $K_d/K_t$ નો ગુણોત્તર $\frac{R \sqrt{2/5}}{R \sqrt{7/5}} = \sqrt{\frac{2/5}{7/5}} = \sqrt{2/7} = (2/7)^{1/2}$ થાય।

(B) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, સળિયા દ્વારા ગુમાવેલી સ્થિતિ ઉર્જા તે મેળવેલી ચાકગતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
શરૂઆતમાં, સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર જમીનથી $h = l/2$ ઊંચાઈ પર છે.
ગુમાવેલી સ્થિતિ ઉર્જા $(PE)$ = $mgh = mg(l/2)$.
મેળવેલી ચાકગતિ ઉર્જા $(KE)$ = $(1/2)I\omega^2$, જ્યાં $I$ એ મિજાગરા $A$ ની સાપેક્ષ સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
એક છેડાની સાપેક્ષ સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = ml^2/3$ છે.
$PE$ અને $KE$ ને સરખાવતા: $mgl/2 = (1/2)(ml^2/3)\omega^2$.
$mgl/2 = (ml^2/6)\omega^2$.
$\omega^2 = (mgl/2) \times (6/ml^2) = 3g/l$.
તેથી, $\omega = \sqrt{3g/l}$.

(B) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_A = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
રીંગની તેના સમતલમાં રહેલી સ્પર્શક અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ: $I_B = I_{CM} + MR^2 = MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$ થાય.
બંને રીંગની ચાકગતિ ઉર્જા સમાન હોવાથી $(K_A = K_B)$:
$\frac{1}{2}I_A \omega_A^2 = \frac{1}{2}I_B \omega_B^2$
$I_A$ અને $I_B$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2} (\frac{1}{2}MR^2) \omega_A^2 = \frac{1}{2} (\frac{3}{2}MR^2) \omega_B^2$
$\frac{1}{2} \omega_A^2 = \frac{3}{2} \omega_B^2$
$\omega_A^2 = 3 \omega_B^2$
$\frac{\omega_B^2}{\omega_A^2} = \frac{1}{3}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{\omega_B}{\omega_A} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
આમ, ગુણોત્તર $1:\sqrt{3}$ છે.

(C) $M_s$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{2}{5} M_s R^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા, તેની સ્પર્શકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{sphere} = I_{cm} + M_s R^2 = \frac{2}{5} M_s R^2 + M_s R^2 = \frac{7}{5} M_s R^2$ થાય.
અહીં $M_s = 5 \text{ kg}$ આપેલ છે, તેથી $I_{sphere} = \frac{7}{5} \times 5 \times R^2 = 7 R^2$.
$M_d$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી તકતીની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{1}{4} M_d R^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા, તેના સમતલમાં રહેલી સ્પર્શકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{disc} = I_{cm} + M_d R^2 = \frac{1}{4} M_d R^2 + M_d R^2 = \frac{5}{4} M_d R^2$ થાય.
અહીં $M_d = 4 \text{ kg}$ આપેલ છે, તેથી $I_{disc} = \frac{5}{4} \times 4 \times R^2 = 5 R^2$.
આમ, ગુણોત્તર $\frac{I_{sphere}}{I_{disc}} = \frac{7 R^2}{5 R^2} = \frac{7}{5}$ મળે.
તેથી, $x = 7$ અને $y = 5$ છે.

(B) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ, ભ્રમણકક્ષાના આવર્તકાળનો વર્ગ $T^2$ એ કક્ષાની અર્ધ-દીર્ઘ અક્ષ $r$ ના ઘન સાથે પ્રમાણસર હોય છે, એટલે કે $T^2 \propto r^3$.
પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહ માટે, ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા $r = R + h$ થાય.
ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ $(S_1)$ માટે: ઊંચાઈ $h_1 = 4R$, તેથી $r_1 = R + 4R = 5R$. ભૂસ્થિર ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ $T_1 = 24 \text{ કલાક}$ હોય છે.
બીજા ઉપગ્રહ $(S_2)$ માટે: ઊંચાઈ $h_2 = 1.5R$, તેથી $r_2 = R + 1.5R = 2.5R = 5R/2$. ધારો કે તેનો આવર્તકાળ $T_2 = T$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $(T_2/T_1)^2 = (r_2/r_1)^3$.
$(T/24)^2 = (2.5R / 5R)^3 = (1/2)^3 = 1/8$.
$(T/24)^2 = 1/8 \implies T/24 = 1/\sqrt{8} = 1/(2\sqrt{2})$.
$T = 24 / (2\sqrt{2}) = 12 / \sqrt{2} = 6 \times 2 / \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \text{ કલાક}$.

(C) સૂર્યથી $r$ અંતરે રહેલા ગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $v$ નું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ છે, જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે અને $M$ એ સૂર્યનું દળ છે.
આ સંબંધ પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$.
તેથી, ગ્રહ $A$ અને ગ્રહ $B$ ની ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{r_B}{r_A}}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $r_B = 100 r_A$, તેથી આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{100 r_A}{r_A}} = \sqrt{100} = 10$.
આમ, ગ્રહ $A$ અને ગ્રહ $B$ ની ઝડપનો ગુણોત્તર $10$ છે.

(C) સૂર્યથી $r$ અંતરે રહેલા ગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $v$ નું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ છે, જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે અને $M$ એ સૂર્યનું દળ છે.
આ સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$.
તેથી, ગ્રહો $A$ અને $B$ ની કક્ષીય ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_B}{v_A} = \sqrt{\frac{r_A}{r_B}}$ થશે.
આપેલ છે કે $r_B = 225 r_A$, તેથી કિંમત મૂકતા:
$\frac{v_B}{v_A} = \sqrt{\frac{r_A}{225 r_A}} = \sqrt{\frac{1}{225}} = \frac{1}{15}$.
ગ્રહ $A$ ની કક્ષીય ઝડપ $V$ હોવાથી, $v_A = V$.
આમ, $v_B = \frac{v_A}{15} = \frac{V}{15}$.

(A) ગ્રહની સપાટીની નજીક પરિભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહ માટે, કક્ષીય વેગ $v = \sqrt{gR}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $R$ એ ગ્રહની ત્રિજ્યા છે.
ઉપગ્રહ સપાટીની નજીક હોવાથી, આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi R}{\sqrt{gR}} = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ થાય.
ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ અને ઘનતા $\rho$ વચ્ચેનો સંબંધ $g = \frac{GM}{R^2}$ છે, જ્યાં $M$ એ ગ્રહનું દળ છે.
$M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho$ હોવાથી, $g = \frac{G(\frac{4}{3}\pi R^3 \rho)}{R^2} = \frac{4}{3}\pi R \rho G$ મળે.
આ $g$ ની કિંમત આવર્તકાળના સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{R}{\frac{4}{3}\pi R \rho G}} = 2\pi \sqrt{\frac{3}{4\pi \rho G}} = \sqrt{\frac{3\pi}{\rho G}}$.

(A) ધારો કે પૃથ્વીનું દળ $M$ અને તેની ત્રિજ્યા $R$ છે. પૃથ્વીની સપાટી પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
પદાર્થને $v = \frac{v_e}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{\frac{GM}{2R}}$ વેગથી ફેંકવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી અને મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ વાપરતા:
સપાટી પરની કુલ ઉર્જા = મહત્તમ ઊંચાઈ પરની કુલ ઉર્જા
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mv^2 = -\frac{GMm}{R+h} + 0$
$v^2 = \frac{GM}{2R}$ મૂકતા:
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m \left( \frac{GM}{2R} \right) = -\frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{GMm}{R} + \frac{GMm}{4R} = -\frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{3GMm}{4R} = -\frac{GMm}{R+h}$
$\frac{3}{4R} = \frac{1}{R+h}$
$3(R+h) = 4R$
$3R + 3h = 4R$
$3h = R$
$h = R/3$
તેથી, પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $R/3$ છે.

(A) કોઈપણ ગ્રહ માટે નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v = \sqrt{2GM/R}$ છે.
પૃથ્વી માટે, $v_e = \sqrt{2GM_e/R_e}$.
ગ્રહ $P$ માટે, દળ $M_p = M_e / 9$ અને ત્રિજ્યા $R_p = R_e / 2$ છે.
ગ્રહ $P$ પરનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_p = \sqrt{2G(M_e/9) / (R_e/2)} = \sqrt{(2GM_e/R_e) \times (2/9)} = v_e \sqrt{2/9} = v_e \sqrt{2} / 3$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ, ગ્રહ $P$ પરનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e / (3 \sqrt{x})$ આપેલ છે.
બંને પદોને સરખાવતા: $v_e \sqrt{2} / 3 = v_e / (3 \sqrt{x})$.
આથી $\sqrt{2} = 1 / \sqrt{x}$, જેનો અર્થ છે કે $x = 1/2$ અથવા $0.5$. આપેલા વિકલ્પો મુજબ, જો પ્રશ્નનો અર્થ $M_p = 9M_e$ અને $R_p = 2R_e$ હોય, તો $v_p = v_e \sqrt{9/2} = v_e \times 3 / \sqrt{2} = v_e \times 3 \sqrt{2} / 2$. જો સમીકરણ $v_e \sqrt{x} / 3$ હોય, તો $x=18$ મળે.

(A) અનંત સુધી પહોંચવા માટે, પદાર્થની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા ઓછામાં ઓછી શૂન્ય હોવી જોઈએ.
ધારો કે પદાર્થને $M_1$ થી $r_1 = 2d/3$ અંતરેથી $v$ ઝડપે ફેંકવામાં આવે છે. $M_2$ થી તેનું અંતર $r_2 = d - 2d/3 = d/3$ થશે.
આ બિંદુએ સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\frac{GM_1m}{r_1} - \frac{GM_2m}{r_2} = -\frac{GM_1m}{2d/3} - \frac{GM_2m}{d/3} = -\frac{3GM_1m}{2d} - \frac{3GM_2m}{d} = -\frac{3Gm}{2d} (M_1 + 2M_2)$ છે.
ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
પદાર્થ અનંત સુધી પહોંચે તે માટે, $K + U = 0$.
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{3Gm}{2d} (M_1 + 2M_2) = 0$.
$\frac{1}{2}v^2 = \frac{3G}{2d} (M_1 + 2M_2)$.
$v^2 = \frac{6G}{d} (M_1 + 2M_2)$.
$v = \sqrt{\frac{6G}{d} (M_1 + 2M_2)}$.

(A) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિઊર્જા $U = -GMm/r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર, $r = R$, તેથી $U_i = -GMm/R$.
$h = 2R$ ઊંચાઈ પર, કેન્દ્રથી અંતર $r = R + h = R + 2R = 3R$ થાય.
તેથી, ઊંચાઈ $h$ પર સ્થિતિઊર્જા $U_f = -GMm/(3R)$ છે.
સ્થિતિઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta U = U_f - U_i = -GMm/(3R) - (-GMm/R) = GMm/R - GMm/(3R) = (2/3) GMm/R$.
પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = GM/R^2$ હોવાથી, $GM = gR^2$ મળે.
આ કિંમત $\Delta U$ ના સમીકરણમાં મૂકતા, $\Delta U = (2/3) (gR^2) m / R = (2/3) mgR$ મળે.

(C) વિધાન $I$ સાચું છે કારણ કે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ પૃથ્વીની સપાટી પર મહત્તમ હોય છે અને ઊંચાઈ $(h)$ તથા ઊંડાઈ $(d)$ બંને સાથે ઘટે છે.
વિધાન $II$ ખોટું છે. $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_h = g(1 - 2h/R)$ (જ્યારે $h \ll R$) દ્વારા અને $d$ ઊંડાઈએ $g_d = g(1 - d/R)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો $h = d$ હોય, તો $g_h = g(1 - 2h/R)$ અને $g_d = g(1 - h/R)$ થાય.
સ્પષ્ટપણે, $h = d$ માટે $g_h \neq g_d$ થાય (જ્યાં $h, d > 0$).
તેથી, વિધાન $I$ સાચું છે પરંતુ વિધાન $II$ ખોટું છે.

(A) વિષુવવૃત્ત પર ગુરુત્વપ્રવેગનું અસરકારક મૂલ્ય $g' = g - \omega^2 R$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\omega$ એ પૃથ્વીની કોણીય ઝડપ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે વિષુવવૃત્ત પર વજન તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના $(3/5)$ ગણું થાય છે, તેથી $g' = (3/5)g$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $(3/5)g = g - \omega^2 R$.
પદોને ગોઠવતા: $\omega^2 R = g - (3/5)g = (2/5)g$.
$\omega$ માટે ઉકેલતા: $\omega^2 = (2g)/(5R)$.
તેથી, $\omega = \sqrt{(2g)/(5R)}$ અથવા $(2g/5R)^{1/2}$.

(B) વિષુવવૃત્ત પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g' = g - \omega^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $g$ એ ધ્રુવો પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે, $\omega$ એ કોણીય વેગ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે વિષુવવૃત્ત પરનું વજન તેના વર્તમાન વજનના $3/5$ ગણું થાય છે, તેથી $g' = (3/5)g$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $(3/5)g = g - \omega^2 R$.
પદોને ગોઠવતા: $\omega^2 R = g - (3/5)g = (2/5)g$.
$\omega$ માટે ઉકેલતા: $\omega^2 = 2g / (5R)$, જે આપણને $\omega = \sqrt{2g/5R}$ આપે છે.

(A) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{l/g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $l$ એ લોલકની લંબાઈ છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર, $T_1 = 2\pi \sqrt{l/g}$, જ્યાં $g$ એ સપાટી પરનો ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $h = 2R$ ઊંચાઈ પર, ગુરુત્વપ્રવેગ $g_h$ એ $g_h = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$h = 2R$ મૂકતા, આપણને $g_h = g \left( \frac{R}{R+2R} \right)^2 = g \left( \frac{R}{3R} \right)^2 = g \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{g}{9}$ મળે છે.
ઊંચાઈ $h$ પર આવર્તકાળ $T_2 = 2\pi \sqrt{l/g_h} = 2\pi \sqrt{l/(g/9)} = 2\pi \sqrt{9l/g} = 3 \times 2\pi \sqrt{l/g} = 3T_1$ થાય છે.
તેથી, ગુણોત્તર $T_1 : T_2 = T_1 : 3T_1 = 1:3$ થાય.

(A) સેકન્ડ લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \text{ s}$ છે.
લોલકની લંબાઈનું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{l/g}$ છે, જેનો અર્થ થાય છે $l = g(T/2\pi)^2$.
પૃથ્વીની સપાટી પર, $l_s = g(T/2\pi)^2$.
'$h$' ઊંચાઈ પર, $l_h = g_h(T/2\pi)^2$, જ્યાં $g_h$ એ '$h$' ઊંચાઈ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
ગુણોત્તર લેતા, $l_h/l_s = g_h/g = (R/(R+h))^2$, જ્યાં '$R$' એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા, $\sqrt{l_h/l_s} = R/(R+h)$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $(R+h)\sqrt{l_h} = R\sqrt{l_s}$.
$R\sqrt{l_h} + h\sqrt{l_h} = R\sqrt{l_s}$.
$h\sqrt{l_h} = R(\sqrt{l_s} - \sqrt{l_h})$.
તેથી, $R = \frac{h\sqrt{l_h}}{\sqrt{l_s} - \sqrt{l_h}}$.

(D) પૃથ્વીની સપાટીથી '$h$' ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર $g_h = g(1 - 2h/R)$ છે, જ્યાં $g$ એ સપાટી પરનો ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી '$d$' ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર $g_d = g(1 - d/R)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ, $d = 90 \text{ km}$ ઊંડાઈએ $g_h = g_d$ છે.
તેથી, $g(1 - 2h/R) = g(1 - d/R)$.
બંને બાજુથી $g$ ને દૂર કરતા અને સાદું રૂપ આપતા:
$1 - 2h/R = 1 - d/R$
$-2h/R = -d/R$
$2h = d$
$h = d/2$
અહીં $d = 90 \text{ km}$ આપેલ હોવાથી:
$h = 90 / 2 = 45 \text{ km}$.

(A) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g_h = g(1 - 2h/R)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
પદાર્થનું વજન $W = mg$ છે, તેથી $h$ ઊંચાઈએ વજન $W_h = mg_h = mg(1 - 2h/R)$ થાય.
વજનમાં થતો ઘટાડો $\Delta W = W - W_h = mg - mg(1 - 2h/R) = mg(2h/R)$ છે.
વજનમાં થતો ટકાવારી ઘટાડો $(\Delta W / W) \times 100 = (2h/R) \times 100$ છે.
અહીં $h = 48 \text{ km}$ અને $R = 6400 \text{ km}$ આપેલ છે.
ટકાવારી ઘટાડો $= (2 \times 48 / 6400) \times 100 = (96 / 6400) \times 100 = 96 / 64 = 1.5\%$.

(A) $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g_h = g(1 - 2h/R)$ અને $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g_d = g(1 - d/R)$ છે.
બંને કિસ્સામાં ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ કરતા ઓછો હોવાથી, વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
વિકલ્પ $B$ માટે, $g_h = g_d$ થવા માટે $2h = d$ હોવું જરૂરી છે, તેથી $h=d$ ખોટું છે.
વિકલ્પ $C$ માટે, આંશિક ફેરફાર $\Delta g/g = 2h/R = 2(640)/6400 = 0.2 = 20\%$ થાય, તેથી $10\%$ ખોટું છે.
વિકલ્પ $D$ માટે, પૃથ્વીના પરિભ્રમણને કારણે ધ્રુવો પર ગુરુત્વપ્રવેગમાં કોઈ ઘટાડો થતો નથી કારણ કે ત્યાં કેન્દ્રત્યાગી બળ શૂન્ય હોય છે ($r=0$ હોવાથી). તેથી વિકલ્પ $D$ ખોટો છે.

(A) ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
દળ $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ હોવાથી, આપણે આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકી શકીએ:
$g = \frac{G (\frac{4}{3} \pi R^3 \rho)}{R^2} = \frac{4}{3} \pi G R \rho$.
તેથી, $g_p$ અને $g_e$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{g_p}{g_e} = \frac{R_p}{R_e} \times \frac{\rho_p}{\rho_e}$.
અહીં $\frac{R_p}{R_e} = 2.5$ અને $\frac{\rho_p}{\rho_e} = 3$ આપેલ છે, તેથી:
$\frac{g_p}{g_e} = 2.5 \times 3 = 7.5$.

(D) ટર્મિનલ વેગ (અંતિમ વેગ) પર, દડા પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય હોય છે. તેથી, સ્નિગ્ધ બળ $F_v$ એ દડાના અસરકારક વજન જેટલું હોય છે.
$F_v = W_{eff} = V(\rho_b - \rho_l)g$
અહીં, $V = (4/3)\pi r^3$ એ ગોળાનું કદ છે.
આપેલ છે: $r = 1 \text{ mm} = 10^{-3} \text{ m}$, $\rho_b = 10.5 \text{ g/cc} = 10500 \text{ kg/m}^3$, $\rho_l = 1.5 \text{ g/cc} = 1500 \text{ kg/m}^3$, $g = 9.8 \text{ m/s}^2$, $\pi = 22/7$.
ઘનતાનો તફાવત: $\rho_b - \rho_l = 10500 - 1500 = 9000 \text{ kg/m}^3$.
$F_v = (4/3) \times (22/7) \times (10^{-3})^3 \times 9000 \times 9.8$
$F_v = (4/3) \times (22/7) \times 10^{-9} \times 9000 \times 9.8 = 3696 \times 10^{-8} \text{ N}$.
તેથી, $x = 8$.

(A) સ્નિગ્ધ માધ્યમમાં પડતા ગોળાકાર ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ '$V_t$' નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V_t = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$.
આના પરથી, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $V_t \propto r^2$.
ધારો કે નાના ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ '$V$' છે અને તેમની ત્રિજ્યા '$r$' છે. તેથી, $V = k r^2$ (જ્યાં '$k$' એક અચળાંક છે).
જ્યારે '$r$' ત્રિજ્યાના બે ટીપાં જોડાઈને '$R$' ત્રિજ્યાનું મોટું ટીપું બનાવે છે, ત્યારે કદનું સંરક્ષણ થાય છે:
$2 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$2r^3 = R^3 \implies R = 2^{1/3}r$.
મોટા ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ '$V_{big}$' તેની ત્રિજ્યાના વર્ગ '$R^2$' ના સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$V_{big} = k R^2$.
બંને વેગનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{V_{big}}{V} = \frac{k R^2}{k r^2} = \frac{R^2}{r^2}$.
તેથી, $V_{big} = V \frac{R^2}{r^2}$.

(D) જ્યારે કોઈ ગોળાકાર પદાર્થ સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં પડે છે, ત્યારે તે ત્રણ બળો અનુભવે છે: નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(F_g)$, ઉપરની તરફ લાગતું પ્લવન બળ $(F_b)$ અને ઉપરની તરફ લાગતું સ્નિગ્ધ ઘર્ષણ બળ $(F_v)$.
જેમ જેમ ગોળાનો વેગ વધે છે, તેમ સ્નિગ્ધ બળ વધે છે. જ્યારે ગોળા પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય થાય ત્યારે તે ટર્મિનલ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે, જેનો અર્થ છે કે પદાર્થનો પ્રવેગ શૂન્ય થઈ જાય છે.
આ સ્થિતિમાં, નીચેની તરફનું બળ એ ઉપરની તરફના બળોના સરવાળા દ્વારા સંતુલિત થાય છે:
$F_g = F_b + F_v$
તેથી, પ્લવન બળ અને સ્નિગ્ધ બળનો સરવાળો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલો થાય છે.

(D) રેનોલ્ડ્સ નંબર $(R_n)$ એ પરિમાણરહિત રાશિ છે જેનો ઉપયોગ વિવિધ પ્રવાહી પ્રવાહની સ્થિતિમાં પ્રવાહની ભાત નક્કી કરવા માટે થાય છે.
ક્ષિતિજ સમાંતર સપાટી પર અથવા પાઇપમાંથી વહેતા પ્રવાહ માટે, જ્યારે $R_n < 2000$ હોય ત્યારે પ્રવાહ સામાન્ય રીતે લેમિનર (ધારારેખી) ગણવામાં આવે છે.
જ્યારે રેનોલ્ડ્સ નંબર $2000$ ના નિર્ણાયક મૂલ્ય કરતા વધી જાય $(R_n > 2000)$, ત્યારે પ્રવાહ અસ્થાયી અથવા અશાંત (turbulent) બને છે.

(C) રેનોલ્ડ્સ નંબર '$R_n$' પ્રવાહીના પ્રવાહનો પ્રકાર નક્કી કરે છે.
'$R_n < 1000$' માટે, પ્રવાહ રેખીય (streamline) હોય છે.
'$1000 < R_n < 2000$' માટે, પ્રવાહ અસ્થિર હોય છે અને તે રેખીય અને અશાંત પ્રવાહ વચ્ચેની સંક્રમણ અવસ્થામાં હોય છે.
'$R_n > 2000$' માટે, પ્રવાહ અશાંત (turbulent) હોય છે.
અહીં આપેલ રેનોલ્ડ્સ નંબર $1450$ છે, જે '$1000 < R_n < 2000$' ની શ્રેણીમાં આવે છે, તેથી પ્રવાહ સંક્રમણ અવસ્થામાં છે, એટલે કે તે રેખીયમાંથી અશાંત પ્રવાહમાં બદલાઈ રહ્યો છે.

(D) જ્યારે એક નાનો ધાતુનો ગોળો સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં નીચે પડે છે, ત્યારે તે ત્રણ બળો અનુભવે છે: નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(mg)$, ઉપરની તરફ લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ $(F_B)$, અને ઉપરની તરફ લાગતું સ્નિગ્ધતાનું અવરોધક બળ $(F_v = 6\pi\eta rv)$.
પરિણામી બળ $F_{net} = mg - F_B - 6\pi\eta rv = ma$ છે.
શરૂઆતમાં, વેગ $(v)$ શૂન્ય હોય છે, તેથી સ્નિગ્ધતાનું અવરોધક બળ શૂન્ય હોય છે અને પ્રવેગ મહત્તમ હોય છે. જેમ જેમ વેગ વધે છે, તેમ સ્નિગ્ધતાનું અવરોધક બળ વધે છે, જેના કારણે પરિણામી બળ અને પ્રવેગ ઘટે છે.
અંતે, જ્યારે સ્નિગ્ધતાનું અવરોધક બળ અસરકારક વજનને સંતુલિત કરે છે ત્યારે પરિણામી બળ શૂન્ય થઈ જાય છે, અને ગોળો અચળ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે જેને ટર્મિનલ વેગ કહેવામાં આવે છે. આ વર્તણૂક એક વક્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જે ઉગમબિંદુથી શરૂ થાય છે, ઘટતા ઢાળ સાથે વધે છે અને આડી અનંતસ્પર્શી રેખા (asymptote) ની નજીક પહોંચે છે, જે આલેખ $(d)$ ને અનુરૂપ છે.

(A) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પ્રવાહીના ટીપાંની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = \frac{2T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
આપેલ છે કે, $P_1 = \frac{2T}{r} = 9 \text{ units}$.
જ્યારે $r$ ત્રિજ્યાના $27$ નાના ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનું મોટું ટીપું બનાવે છે, ત્યારે કદનું સંરક્ષણ થાય છે:
$27 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$27r^3 = R^3 \implies R = 3r$.
મોટા ટીપાંની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P_2 = \frac{2T}{R}$ છે.
$R = 3r$ મૂકતા, આપણને મળે છે $P_2 = \frac{2T}{3r} = \frac{1}{3} \times (\frac{2T}{r})$.
કારણ કે $\frac{2T}{r} = 9$, તેથી $P_2 = \frac{1}{3} \times 9 = 3 \text{ units}$.

(B) કેશનળીમાં પાણીની સપાટી (મેનિસ્કસ) પરનું દબાણ તફાવત યંગ-લાપ્લેસ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta P = 2T/R_{eff}$.
અહીં, કેશનળીની અસરકારક ત્રિજ્યા એ નળી અને તાર વચ્ચેની જગ્યા છે, જે $R_{eff} = R - r$ છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં, દબાણ તફાવત '$h$' ઊંચાઈના પાણીના સ્તંભના હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણને સંતુલિત કરે છે: $\Delta P = h\rho g$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $2T/(R-r) = h\rho g$.
'$h$' માટે ઉકેલતા: $h = 2T/((R-r)\rho g)$.

(B) ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
મોટા ટીપાની પૃષ્ઠ ઉર્જા $E = T \cdot 4\pi R^2$ છે, જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
કદ સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, મોટા ટીપાનું કદ $512$ નાના ટીપાંઓના કુલ કદ જેટલું થાય:
$\frac{4}{3}\pi R^3 = 512 \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$
$R^3 = 512 r^3 \implies R = 8r$ અથવા $r = \frac{R}{8}$.
અંતિમ પૃષ્ઠ ઉર્જા $E_{final}$ એ $512$ ટીપાંઓની પૃષ્ઠ ઉર્જાનો સરવાળો છે:
$E_{final} = 512 \cdot (T \cdot 4\pi r^2)$
સમીકરણમાં $r = \frac{R}{8}$ મૂકતા:
$E_{final} = 512 \cdot T \cdot 4\pi \left(\frac{R}{8}\right)^2$
$E_{final} = 512 \cdot T \cdot 4\pi \cdot \frac{R^2}{64}$
$E_{final} = \frac{512}{64} \cdot (T \cdot 4\pi R^2)$
$E_{final} = 8E$.

(B) પૃષ્ઠફળમાં થતા વધારાને કારણે કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = T \Delta A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, $\Delta A$ એ પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર છે, જ્યાં $\Delta A = A_{\text{અંતિમ}} - A_{\text{પ્રારંભિક}}$.
ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી, $\frac{4}{3}\pi R^3 = 64 \times \frac{4}{3}\pi r^3$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા, $R = 4r$, જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{R}{4}$.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ $A_i = 4\pi R^2$.
અંતિમ પૃષ્ઠફળ $A_f = 64 \times 4\pi r^2 = 64 \times 4\pi (\frac{R}{4})^2 = 64 \times 4\pi \times \frac{R^2}{16} = 16 \times 4\pi R^2 = 64\pi R^2$.
પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = A_f - A_i = 64\pi R^2 - 4\pi R^2 = 60\pi R^2$ (નોંધ: ગણતરી મુજબ $W = T(A_f - A_i) = T(16 \times 4\pi R^2 - 4\pi R^2) = T(4\pi R^2(4-1)) = 12\pi R^2 T$).

(B) કેશનળીમાં પ્રવાહીના સ્તરની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
અહીં $h, T, r$ અને $g$ ત્રણેય પ્રવાહી માટે અચળ હોવાથી, $\cos \theta \propto \rho$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\rho_1 > \rho_2 > \rho_3$, તેથી $\cos \theta_1 > \cos \theta_2 > \cos \theta_3$ થશે.
કોસાઈન વિધેય $0^\circ$ થી $90^\circ$ ની વચ્ચે ઘટતું વિધેય હોવાથી, જેમ કોસાઈનનું મૂલ્ય મોટું તેમ ખૂણો નાનો હોય છે.
તેથી, સંપર્કકોણ વચ્ચેનો સંબંધ $\theta_1 < \theta_2 < \theta_3$ થાય છે.

(C) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કદનું સંરક્ષણ થતું હોવાથી, મોટા ટીપાનું કદ એ બે નાના ટીપાંના કદના સરવાળા જેટલું થાય:
$2 \times (4/3 \pi r^3) = 4/3 \pi R^3$
$2r^3 = R^3 \implies R = 2^{1/3}r$.
પૃષ્ઠ ઊર્જા $E$ એ $E = T \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $A$ એ પૃષ્ઠફળ છે.
$E_{before} = 2 \times (T \times 4\pi r^2) = 8\pi r^2 T$.
$E_{after} = T \times 4\pi R^2 = 4\pi T (2^{1/3}r)^2 = 4\pi T r^2 2^{2/3}$.
ફેરફાર પછી અને પહેલાની કુલ પૃષ્ઠ ઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$E_{after} / E_{before} = (4\pi T r^2 2^{2/3}) / (8\pi r^2 T) = 2^{2/3} / 2 = 2^{2/3 - 1} = 2^{-1/3}$.
આમ, ગુણોત્તર $2^{-1/3} : 1$ છે.

(A) ધારો કે મૂળ ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને $1000$ નાના ટીપાંમાંથી દરેકની ત્રિજ્યા $r$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી: $1000 \times (4/3 \pi r^3) = 4/3 \pi R^3$.
આનું સાદુરૂપ આપતા $1000r^3 = R^3$ મળે, તેથી $R = 10r$ અથવા $r = R/10$.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઊર્જા $u_i = T \times 4\pi R^2$ છે, જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
અંતિમ કુલ પૃષ્ઠ ઊર્જા $u_f = 1000 \times (T \times 4\pi r^2)$ છે.
$r = R/10$ મૂકતા: $u_f = 1000 \times T \times 4\pi (R/10)^2 = 1000 \times T \times 4\pi (R^2/100) = 10 \times (T \times 4\pi R^2) = 10 u_i$.
આમ, $u_f/u_i = 10$.
આપેલ છે કે $u_f/u_i = 10/x$, તેથી $10 = 10/x$, જેનો અર્થ છે કે $x = 1$.

(B) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કદ સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, $1000$ નાના ટીપાંનું કુલ કદ $1$ મોટા ટીપાંના કદ જેટલું હોય છે:
$1000 \cdot (\frac{4}{3}\pi r^3) = \frac{4}{3}\pi R^3$
$1000 r^3 = R^3 \implies R = 10r$.
ટીપાની પૃષ્ઠ ઉર્જા $U = T \cdot A$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $A$ એ પૃષ્ઠફળ છે.
$1$ મોટા ટીપાની પૃષ્ઠ ઉર્જા: $U_{large} = T \cdot 4\pi R^2 = T \cdot 4\pi (10r)^2 = 100 T \cdot 4\pi r^2$.
$1000$ નાના ટીપાંની કુલ પૃષ્ઠ ઉર્જા: $U_{small_total} = 1000 \cdot (T \cdot 4\pi r^2) = 1000 T \cdot 4\pi r^2$.
$1$ મોટા ટીપાં અને $1000$ નાના ટીપાંની પૃષ્ઠ ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{U_{large}}{U_{small_total}} = \frac{100 T \cdot 4\pi r^2}{1000 T \cdot 4\pi r^2} = \frac{100}{1000} = \frac{1}{10}$.
આમ, ગુણોત્તર $1 : 10$ છે.

(A) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ પરપોટામાં વધારાનું દબાણ $(P_1)$ એ બીજા પરપોટા $(P_2)$ કરતા ત્રણ ગણું છે:
$P_1 = 3P_2$
$\frac{4T}{r_1} = 3 \times \frac{4T}{r_2}$
$\frac{1}{r_1} = \frac{3}{r_2} \implies r_2 = 3r_1$
ગોળાકાર સાબુના પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે.
કદનો ગુણોત્તર:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$
$r_2 = 3r_1$ મૂકતા:
$\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{r_1}{3r_1}\right)^3 = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$
આમ, પ્રથમ સાબુના પરપોટાના કદ અને બીજા સાબુના પરપોટાના કદનો ગુણોત્તર $1:27$ છે.

(A) કેશનળીમાં પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે, જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ, $\rho$ એ ઘનતા અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
આથી, $h \propto \frac{1}{r}$ થાય.
જો ત્રિજ્યા $xr$ થાય, તો નવી ઊંચાઈ $h' = \frac{h}{x}$ થશે.
કેશનળીમાં રહેલા પાણીનું દળ $m = V \cdot \rho = (\pi r^2 h) \cdot \rho$ છે.
દળના સૂત્રમાં $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ મુકતા:
$m = \pi r^2 \left( \frac{2T \cos \theta}{r \rho g} \right) \rho = \frac{2 \pi r T \cos \theta}{g}$.
આમ, $m \propto r$ થાય.
જો ત્રિજ્યા $r$ માંથી બદલાઈને $xr$ થાય, તો નવું દળ $m' = x \cdot m$ થશે.

(C) જ્યારે પ્રવાહીની સપાટી વક્ર હોય છે, ત્યારે પૃષ્ઠતાણને કારણે સપાટીની બંને બાજુએ દબાણનો તફાવત ઉદ્ભવે છે.
યંગ-લાપ્લાસના સમીકરણ મુજબ, વક્ર પ્રવાહી સપાટીની અંતર્ગોળ બાજુ પરનું દબાણ હંમેશા બહિર્ગોળ બાજુ પરના દબાણ કરતા વધારે હોય છે.
ગોળાકાર સપાટી માટે આ દબાણનો તફાવત $\Delta P = P_{\text{concave}} - P_{\text{convex}} = \frac{2T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $R$ એ વક્રતા ત્રિજ્યા છે.
તેથી, અંતર્ગોળ બાજુ પરનું દબાણ બહિર્ગોળ બાજુ પરના દબાણ કરતા વધારે હોય છે.

(A) સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = P_{in} - P_{out} = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $r$ એ પરપોટાની ત્રિજ્યા છે.
પરપોટા $A$ માટે: $\Delta P_A = 1.02 - 1 = 0.02 \text{ atm} = \frac{4T}{r_A}$.
પરપોટા $B$ માટે: $\Delta P_B = 1.04 - 1 = 0.04 \text{ atm} = \frac{4T}{r_B}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\Delta P_A}{\Delta P_B} = \frac{r_B}{r_A} = \frac{0.02}{0.04} = \frac{1}{2}$.
આમ, $r_A = 2r_B$.
ગોળાકાર પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે.
કદનો ગુણોત્તર $\frac{V_A}{V_B} = \frac{r_A^3}{r_B^3} = (2)^3 = 8$ થાય.
તેથી, ગુણોત્તર $8:1$ છે.

(B) ક્યુરીના નિયમ મુજબ, પેરામેગ્નેટિક પદાર્થની ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $(\chi)$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે, $\chi \propto \frac{1}{T}$ અથવા $\chi T = \text{અચળ}$.
આ નિયમ પેરામેગ્નેટિક પદાર્થો માટે સાચો છે. ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થો માટે, સંબંધ ક્યુરી-વેઈસના નિયમ મુજબ હોય છે, $\chi = \frac{C}{T - T_c}$, જ્યાં $T_c$ એ ક્યુરી તાપમાન છે, જેનો અર્થ છે કે ગુણાકાર $\chi T$ અચળ રહેતો નથી.

(B) ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થો બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા નિર્બળ રીતે અપાકર્ષાય છે.
જ્યારે ડાયામેગ્નેટિક પ્રવાહી ધરાવતી $U$-ટ્યુબનો એક છેડો બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે ચુંબકીય બળ પ્રવાહી પર કાર્ય કરે છે, જે તેને પ્રબળ ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિસ્તારથી દૂર ધકેલે છે.
પ્રવાહી ડાયામેગ્નેટિક હોવાથી, તે ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી અપાકર્ષણ બળ અનુભવે છે.
પરિણામે, ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવેલા છેડામાં પ્રવાહીનું સ્તર નીચે જશે અને સંતુલન જાળવવા માટે બીજા છેડામાં પ્રવાહીનું સ્તર ઉપર આવશે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકના દોલનની આવૃત્તિનું સૂત્ર $n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{\mu B}{I}}$ છે, જ્યાં $\mu$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે, $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે।
આ સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે $n \propto \sqrt{B}$.
અહીં આપેલ છે કે પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n$ છે જ્યારે ક્ષેત્ર $B$ છે, અને અંતિમ આવૃત્તિ $n' = n/3$ છે જ્યારે ક્ષેત્ર $X$ છે, તેથી ગુણોત્તર:
$\frac{n'}{n} = \sqrt{\frac{X}{B}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{n/3}{n} = \sqrt{\frac{X}{B}}$
$\frac{1}{3} = \sqrt{\frac{X}{B}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{1}{9} = \frac{X}{B}$
તેથી, $X = B/9$.

(C) કંપન મેગ્નેટોમીટરમાં ચુંબકનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$, જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે, $M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
પ્રારંભિક આવર્તકાળ $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ આપેલ છે.
નવા ચુંબક માટે, નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = 3I$ અને નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = M/3$ છે.
નવો આવર્તકાળ $T'$ નીચે મુજબ મળે: $T' = 2\pi \sqrt{\frac{I'}{M'B}} = 2\pi \sqrt{\frac{3I}{(M/3)B}} = 2\pi \sqrt{\frac{9I}{MB}} = 3 \times (2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}})$.
તેથી, $T' = 3T_0$.

(C) આપેલ છે:
ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $H = 2000 \text{ A/m}$.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = 6 \times 10^{-4} \text{ Wb}$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 3 \text{ cm}^2 = 3 \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A$, જ્યાં $B$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘનતા છે.
$B = \frac{\phi}{A} = \frac{6 \times 10^{-4} \text{ Wb}}{3 \times 10^{-4} \text{ m}^2} = 2 \text{ T}$.
વળી, $B = \mu H$, જ્યાં $\mu$ એ ચુંબકીય પરમીએબિલિટી છે.
$\mu = \frac{B}{H} = \frac{2 \text{ T}}{2000 \text{ A/m}} = \frac{2}{2 \times 10^3} = 10^{-3} \text{ Wb/A} \cdot \text{m}$.
તેથી, ચુંબકીય પરમીએબિલિટી $10^{-3} \text{ Wb/A} \cdot \text{m}$ છે.

(B) આપેલ છે:
ચુંબકીય ક્ષેત્ર તીવ્રતા, $H = 1000 \text{ A/m}$
ચુંબકીય ફ્લક્સ, $\phi = 3 \times 10^{-4} \text{ Wb}$
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ, $A = 1.5 \text{ cm}^2 = 1.5 \times 10^{-4} \text{ m}^2$
પ્રથમ, ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘનતા $(B)$ ની ગણતરી કરો:
$B = \frac{\phi}{A} = \frac{3 \times 10^{-4} \text{ Wb}}{1.5 \times 10^{-4} \text{ m}^2} = 2 \text{ T (અથવા Wb/m}^2)$
ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘનતા $(B)$, ચુંબકીય પરમીએબિલિટી $(\mu)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર તીવ્રતા $(H)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$B = \mu H$
તેથી, ચુંબકીય પરમીએબિલિટી $(\mu)$ થશે:
$\mu = \frac{B}{H} = \frac{2 \text{ Wb/m}^2}{1000 \text{ A/m}} = 2 \times 10^{-3} \text{ Wb/(A} \cdot \text{m)}$
આમ, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) શૂન્યાવકાશમાં ટોરોઇડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0 = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ટોરોઇડને $\chi$ મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી ધરાવતા પદાર્થથી ભરવામાં આવે છે, ત્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 (1 + \chi) n I = B_0 (1 + \chi)$ થાય છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં થતો વધારો $\Delta B = B - B_0 = B_0 \chi$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{\Delta B}{B_0} \times 100 \% = \chi \times 100 \%$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $\chi = 2.6 \times 10^{-5}$, તેથી ટકાવારી વધારો $(2.6 \times 10^{-5}) \times 100 \% = 2.6 \times 10^{-3} \%$ થાય છે.

(A) મેગ્નેટાઈઝેશન $(M)$ એ નમૂનાના એકમ કદ દીઠ ચુંબકીય મોમેન્ટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સૂત્ર: $M = \frac{m}{V}$, જ્યાં $m$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $V$ એ કદ છે.
આપેલ છે: ચુંબકીય મોમેન્ટ $m = 8 \times 10^{-7} \text{ A} \cdot \text{m}^2$, દળ $M_{mass} = 2 \text{ g}$, ઘનતા $\rho = 4 \text{ g/cm}^3$.
પ્રથમ, કદની ગણતરી કરો: $V = \frac{M_{mass}}{\rho} = \frac{2 \text{ g}}{4 \text{ g/cm}^3} = 0.5 \text{ cm}^3$.
કદને $SI$ એકમોમાં રૂપાંતરિત કરો: $V = 0.5 \times 10^{-6} \text{ m}^3$.
હવે, મેગ્નેટાઈઝેશનની ગણતરી કરો: $M = \frac{8 \times 10^{-7} \text{ A} \cdot \text{m}^2}{0.5 \times 10^{-6} \text{ m}^3} = 16 \times 10^{-1} \text{ A/m} = 1.6 \text{ A/m}$.

(D) ધારો કે દરેક તારની લંબાઈ $L$ છે.
$N_1 = 2$ આંટાવાળા વર્તુળાકાર લૂપ માટે, એક આંટાનો પરિઘ $2\pi r = L/2$ થાય, તેથી $r = L/(4\pi)$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_1 = N_1 I A_1 = 2 \cdot I \cdot \pi r^2 = 2 \cdot I \cdot \pi \cdot (L^2 / 16\pi^2) = I L^2 / (8\pi)$.
$N_2 = 1$ આંટાવાળા ચોરસ લૂપ માટે, પરિમિતિ $4a = L$ થાય, તેથી $a = L/4$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_2 = N_2 I A_2 = 1 \cdot I \cdot a^2 = I \cdot (L^2 / 16) = I L^2 / 16$.
ગુણોત્તર $M_1 / M_2 = (I L^2 / 8\pi) / (I L^2 / 16) = 16 / (8\pi) = 2 / \pi$.

(A) વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતા કણની ચુંબકીય મોમેન્ટ '$\mu$' નું સૂત્ર $\mu = I A$ છે, જ્યાં '$I$' એ પ્રવાહ છે અને '$A$' એ કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ છે.
'$q$' વિદ્યુતભાર ધરાવતો કણ '$\omega$' કોણીય ઝડપથી ગતિ કરતો હોય, તો પ્રવાહ '$I = \frac{q}{T} = \frac{q\omega}{2\pi}$ થાય.
કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
તેથી, $\mu = \left(\frac{q\omega}{2\pi}\right)(\pi r^2) = \frac{q\omega r^2}{2}$.
કણનું કોણીય વેગમાન '$L = mvr = m(\omega r)r = m\omega r^2$ થાય.
ચુંબકીય મોમેન્ટ અને કોણીય વેગમાનના મૂલ્યોનો ગુણોત્તર $\frac{\mu}{L} = \frac{q\omega r^2 / 2}{m\omega r^2} = \frac{q}{2m}$ મળે.
આ ગુણોત્તર માત્ર કણના વિદ્યુતભાર '$q$' અને દળ '$m$' પર આધાર રાખે છે.

(A) ધારો કે તારની લંબાઈ $L$ છે. $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર લૂપ માટે, પરિઘ $L = 2\pi r$ થાય, તેથી $r = L/(2\pi)$. ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I \times A = I \times (\pi r^2) = I \times \pi \times (L^2 / 4\pi^2) = IL^2 / (4\pi)$ છે.
$a$ બાજુ ધરાવતા ચોરસ લૂપ માટે, પરિમિતિ $L = 4a$ થાય, તેથી $a = L/4$. ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_1 = I \times A_1 = I \times a^2 = I \times (L/4)^2 = IL^2 / 16$ છે.
ગુણોત્તર $M/M_1 = (IL^2 / 4\pi) / (IL^2 / 16) = 16 / (4\pi) = 4/\pi$ થાય.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત ગૂંચળા પર લાગતું ટોર્ક $\tau = N i A B \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે, $i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે, $A$ એ ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\theta$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને ગૂંચળાના ક્ષેત્રફળના સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$L$ લંબાઈના તારને $N$ આંટાવાળા વર્તુળાકાર ગૂંચળામાં વાળતા, એક આંટાનો પરિઘ $2 \pi r = L/N$ થાય, તેથી ત્રિજ્યા $r = L / (2 \pi N)$ મળે.
ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (L / (2 \pi N))^2 = L^2 / (4 \pi N^2)$ થાય.
ટોર્કના સમીકરણમાં $A$ ની કિંમત મૂકતા: $\tau = N i (L^2 / (4 \pi N^2)) B \sin \theta = (i L^2 B \sin \theta) / (4 \pi N)$.
મહત્તમ ટોર્ક માટે, $\tau$ એ $N$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે. તેથી, $\tau$ ને મહત્તમ કરવા માટે, $N$ શક્ય તેટલું નાનું હોવું જોઈએ. આંટાની લઘુત્તમ સંખ્યા $N = 1$ છે.

(A) $r$ અંતરે રહેલા $I_1$ અને $I_2$ પ્રવાહ ધરાવતા બે સમાંતર તારો વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ ચુંબકીય બળનું સૂત્ર છે:
$F/L = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r}$
તાર $CD$ સંતુલનમાં લટકેલો હોવાથી, ઉપરની તરફ લાગતું ચુંબકીય બળ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
એકમ લંબાઈ દીઠ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $\lambda g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\lambda$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
બંને બળોને સરખાવતા:
$\lambda g = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r}$
$\lambda$ માટે ઉકેલતા:
$\lambda = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r g}$
તેથી, એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r g}$ છે.

(A) તારનો અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \rho \frac{L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે, $L$ એ તારની લંબાઈ છે અને $A$ એ તારનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
મૂવિંગ કોઈલ ગેલ્વેનોમીટરમાં, કોઈલ $S$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા ફ્રેમ પર $N$ વખત વીંટળાયેલા $L$ લંબાઈના તારની બનેલી હોય છે. તારની કુલ લંબાઈ $L = N \times (\text{એક આંટાની પરિમિતિ})$ છે.
જો આંટાઓની સંખ્યા $N$ ઘટે, તો કોઈલમાં વપરાયેલા તારની કુલ લંબાઈ $L$ ઘટે છે.
કારણ કે $R \propto L$, તેથી કુલ લંબાઈ $L$ માં ઘટાડો થવાથી ગેલ્વેનોમીટર કોઈલનો અવરોધ $R$ ઘટે છે.

(D) બે સમાંતર પ્રવાહધારિત તાર વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ ચુંબકીય બળનું સૂત્ર $F/L = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}$ છે.
આપેલ કિંમતો $I_1 = 2 \text{ A}$, $I_2 = 4 \text{ A}$, $d = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$, અને $L = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ છે.
બળના સૂત્ર $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2 L}{2\pi d}$ માં આ કિંમતો મૂકતા:
$F = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 2 \times 4 \times 0.1}{2\pi \times 0.2}$.
$F = \frac{2 \times 10^{-7} \times 8 \times 0.1}{0.2} = \frac{1.6 \times 10^{-7}}{0.2} = 8 \times 10^{-7} \text{ N}$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલી વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત કોઈલ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\vec{m}$ એ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ છે.
'$n$' આંટા,'$I$' વિદ્યુતપ્રવાહ અને $\vec{A}$ ક્ષેત્રફળ સદિશ ધરાવતી કોઈલ માટે, ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{m} = nI\vec{A}$ થાય છે.
આ કિંમત ટોર્કના સૂત્રમાં મૂકતા, આપણને $\vec{\tau} = (nI\vec{A}) \times \vec{B} = nI(\vec{A} \times \vec{B})$ મળે છે.
આમ, ટોર્ક માટેનું સાચું સૂત્ર $nI(\vec{A} \times \vec{B})$ છે.

(A) પ્રવાહધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, તાર $x$-અક્ષ પર છે, તેથી લંબાઈ સદિશ $\vec{L} = L\hat{i}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = B(\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k})$ છે.
સદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\vec{L} \times \vec{B} = (L\hat{i}) \times (B\hat{i} + 2B\hat{j} - 2B\hat{k})$.
સદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા ($\hat{i} \times \hat{i} = 0$, $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$, $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$):
$\vec{L} \times \vec{B} = L B (\hat{i} \times \hat{i}) + 2LB (\hat{i} \times \hat{j}) - 2LB (\hat{i} \times \hat{k}) = 0 + 2LB\hat{k} - 2LB(-\hat{j}) = 2LB\hat{j} + 2LB\hat{k}$.
બળ સદિશ $\vec{F} = I(2LB\hat{j} + 2LB\hat{k}) = 2ILB\hat{j} + 2ILB\hat{k}$ છે.
બળનું મૂલ્ય $|\vec{F}| = \sqrt{(2ILB)^2 + (2ILB)^2} = \sqrt{4(ILB)^2 + 4(ILB)^2} = \sqrt{8(ILB)^2} = \sqrt{8} ILB$ થાય.

(C) તાર $W_1$ દ્વારા તાર $W_2$ ના સ્થાન પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ એ સૂત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 i}{2\pi a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર સમાંતર છે અને '$a$' અંતરે અલગ પડેલા હોવાથી, $I_2 = 3i$ પ્રવાહ ધરાવતા તાર $W_2$ પર લાગતું એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $f$ એ $f = B_1 I_2$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા, આપણને $f = \left(\frac{\mu_0 i}{2\pi a}\right) \times (3i)$ મળે છે.
તેથી, $f = \frac{3\mu_0 i^2}{2\pi a}$ થાય છે.

(A) $1$. $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત વડે પ્રવેગિત થતા $q$ વીજભારિત કણની ગતિઊર્જા $K = qV$ થાય છે.
$2$. ગતિઊર્જાને $K = p^2 / 2m$ તરીકે પણ દર્શાવી શકાય, જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે અને $m$ એ દળ છે. તેથી, $qV = p^2 / 2m$, જેનો અર્થ છે કે $p = \sqrt{2mqV}$.
$3$. જ્યારે વીજભારિત કણ $B$ જેટલા સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં લંબરૂપે દાખલ થાય છે, ત્યારે તે $r = p / (qB)$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
$4$. $p$ ની કિંમત મૂકતા, $r = \sqrt{2mqV} / (qB) \text{ મળે છે}.$
$5. \text{બંને બાજુ વર્ગ કરતા},$ $r^2 = 2mqV / (q^2 B^2)$.
$6. \text{દળ } m \text{ માટે સૂત્ર બનાવતા}, $ $m = (q^2 B^2 r^2) / (2qV) = (q B^2 r^2) / (2V)$ મળે છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં વેગ $\vec{V}$ થી ગતિ કરતા $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણ પર લાગતું લોરેન્ઝ ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\vec{F}_m = q(\vec{V} \times \vec{B})$.
ચુંબકીય બળ હંમેશા વેગ સદિશ $\vec{V}$ ને લંબ હોય છે (કારણ કે સદિશ ગુણાકાર $\vec{V} \times \vec{B}$ એ $\vec{V}$ અને $\vec{B}$ બંનેને લંબ હોય છે), તેથી આ બળ હંમેશા કણના સ્થાનાંતર $d\vec{r}$ ને લંબ હોય છે.
બળ દ્વારા થતું કાર્ય $W$ એ સંકલન $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m$ અને સ્થાનાંતર $d\vec{r}$ પરસ્પર લંબ હોવાથી, તેમનો અદિશ ગુણાકાર $\vec{F}_m \cdot d\vec{r} = 0$ થાય છે.
તેથી, ચુંબકીય બળ દ્વારા વિદ્યુતભારિત કણ પર થયેલું કાર્ય હંમેશા શૂન્ય હોય છે.

(B) જ્યારે $m$ દળ અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતો કણ $v$ વેગથી સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને લંબ રૂપે ગતિ કરે છે, ત્યારે તે ચુંબકીય લોરેન્ટ્ઝ બળ $F = qvB$ અનુભવે છે જે કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે.
આમ, $qvB = \frac{mv^2}{r}$, જ્યાં $r$ એ વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા છે.
આના પરથી, ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$.
પરિભ્રમણનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi r}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $T = \frac{2\pi}{v} \cdot \frac{mv}{qB} = \frac{2\pi m}{qB}$ મળે છે.
સૂત્ર $T = \frac{2\pi m}{qB}$ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે આવર્તકાળ $T$ એ દળ $m$, વિદ્યુતભાર $q$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ પર આધાર રાખે છે, પરંતુ તે કણના વેગ $v$ થી સ્વતંત્ર છે.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણની ત્રિજ્યા $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{mv}{qB}$ છે, જ્યાં $m$ એ દળ, $v$ એ વેગ, $q$ એ વીજભાર અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે.
ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી, આપણે $v = \sqrt{\frac{2K}{m}}$ લખી શકીએ.
આ કિંમતને ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા: $R = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2K}{m}} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$.
આ દર્શાવે છે કે $R \propto \sqrt{K}$.
આપેલ છે કે નવી ઉર્જા $K' = 3K$ છે, તેથી નવી ત્રિજ્યા $R'$ એ $R' = \sqrt{\frac{K'}{K}} R = \sqrt{\frac{3K}{K}} R = \sqrt{3}R$ થશે.

(B) સાયક્લોટ્રોનમાં, વીજભારિત કણ લંબચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ની અસર હેઠળ વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે. ચુંબકીય બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $qvB = \frac{mv^2}{r}$.
આના પરથી, રેખીય વેગ $V = \frac{qBr}{m}$ મળે છે. જેમ ત્રિજ્યા $r$ વધે છે, તેમ રેખીય વેગ $V$ વધે છે.
કોણીય વેગ $\omega$ એ $\omega = \frac{V}{r} = \frac{qB}{m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સાયક્લોટ્રોનમાં આપેલ કણ માટે $q$, $B$, અને $m$ અચળ હોવાથી, ત્રિજ્યા $r$ ગમે તે હોય, કોણીય વેગ $\omega$ અચળ રહે છે.

(C) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે, જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $p$ એ ઇલેક્ટ્રોનના વેગમાનનું મૂલ્ય છે.
વેગમાન $p = mv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે અને $v$ એ તેના વેગનું મૂલ્ય છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં, ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ છે.
ચુંબકીય બળ હંમેશા ઇલેક્ટ્રોનના વેગને લંબ હોવાથી, તે ઇલેક્ટ્રોન પર કોઈ કાર્ય કરતું નથી.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા અચળ રહે છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ અચળ હોવાથી, વેગ $v$ નું મૂલ્ય અચળ રહે છે.
પરિણામે, વેગમાન $p = mv$ નું મૂલ્ય અચળ રહે છે.
તેથી, $h$, $m$, અને $v$ બધા અચળ હોવાથી, ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ અચળ રહે છે.

(C) ધારો કે તાર $A$ અને $B$ પર છે, જેમાં $I_1 = 8 \text{ A}$ અને $I_2 = 15 \text{ A}$ વિરુદ્ધ દિશામાં છે. અંતર $AB = 7 \text{ cm}$ છે.
બિંદુ $P$ એ $A$ અને $B$ થી સમાન અંતરે છે, તેથી $PA = PB = r$. $\angle APB = 90^\circ$ હોવાથી, $\triangle APB$ માં, $AB^2 = PA^2 + PB^2 = 2r^2$.
$7^2 = 2r^2 \implies 49 = 2r^2 \implies r^2 = 24.5 \implies r = \sqrt{24.5} \text{ cm} = \sqrt{24.5} \times 10^{-2} \text{ m}$.
તાર $A$ ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi r}$ અને તાર $B$ ને કારણે $B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi r}$ છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી, $P$ પાસે $B_1$ અને $B_2$ એકબીજાને લંબ છે.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \frac{\mu_0}{2\pi r} \sqrt{I_1^2 + I_2^2}$.
$B = \frac{2 \times 10^{-7}}{r} \sqrt{8^2 + 15^2} = \frac{2 \times 10^{-7}}{\sqrt{24.5} \times 10^{-2}} \times 17 = \frac{34 \times 10^{-5}}{\sqrt{24.5}} \approx \frac{34 \times 10^{-5}}{4.95} \approx 6.86 \times 10^{-5} \text{ T}$.
આપેલ છે કે $B = X \times 10^{-6} \text{ T}$, તેથી $X \approx 68.6 \approx 68$.

(B) બે તાર વચ્ચેનું અંતર $d = 3 \text{ m}$ છે. મધ્યબિંદુ દરેક તારથી $r = d/2 = 1.5 \text{ m}$ ના અંતરે છે.
લાંબા સીધા તાર માટે, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ તાર $(I_1 = 3 \text{ A})$ માટે, મધ્યબિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 \times 3}{2\pi \times 1.5} = \frac{3\mu_0}{3\pi} = \frac{\mu_0}{\pi} = \frac{2\mu_0}{2\pi}$ છે.
બીજા તાર $(I_2 = 4.5 \text{ A})$ માટે, મધ્યબિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 \times 4.5}{2\pi \times 1.5} = \frac{4.5\mu_0}{3\pi} = \frac{1.5\mu_0}{\pi} = \frac{3\mu_0}{2\pi}$ છે.
પ્રવાહો વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી, બંને તારને કારણે મધ્યબિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં હશે (જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ).
તેથી, પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_1 + B_2 = \frac{2\mu_0}{2\pi} + \frac{3\mu_0}{2\pi} = \frac{5\mu_0}{2\pi}$ થાય.

(A) લાંબા સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n = N/L$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ માંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = \mu_0 \frac{N}{L} I A$ છે.
સોલેનોઈડની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = N I A$ છે.
ફ્લક્સના સમીકરણમાં $M$ મૂકતા: $\phi = \frac{\mu_0 M}{L}$.
આપેલ છે કે $\phi = \frac{\pi}{2} \times 10^{-6} \text{ Wb}$, $L = 0.6 \text{ m}$, અને $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$.
$\frac{\pi}{2} \times 10^{-6} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times M}{0.6}$.
$\frac{1}{2} \times 10^{-6} = \frac{4 \times 10^{-7} \times M}{0.6}$.
$0.5 \times 10^{-6} = \frac{4 \times 10^{-7} \times M}{0.6}$.
$M = \frac{0.5 \times 10^{-6} \times 0.6}{4 \times 10^{-7}} = \frac{0.3 \times 10^{-6}}{4 \times 10^{-7}} = \frac{0.3}{0.4} = 0.75 \text{ Am}^2$.

(C) લાંબા સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu n I = \mu_0 \mu_r n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n = N/L$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
આપેલ છે: ક્ષેત્રફળ $A = 2 \text{ cm}^2 = 2 \times 10^{-4} \text{ m}^2$, લંબાઈ $L = 40 \text{ cm} = 0.4 \text{ m}$, આંટાની સંખ્યા $N = 400$, પ્રવાહ $I = 0.4 \text{ A}$, ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = 4\pi \times 10^{-6} \text{ Wb}$.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = \mu_0 \mu_r (N/L) I \cdot A$.
કિંમતો મૂકતા: $4\pi \times 10^{-6} = (4\pi \times 10^{-7}) \cdot \mu_r \cdot (400 / 0.4) \cdot 0.4 \cdot (2 \times 10^{-4})$.
$4\pi \times 10^{-6} = (4\pi \times 10^{-7}) \cdot \mu_r \cdot 1000 \cdot 0.4 \cdot 2 \times 10^{-4}$.
$4\pi \times 10^{-6} = (4\pi \times 10^{-7}) \cdot \mu_r \cdot 8 \times 10^{-2}$.
$10^{-6} = 10^{-7} \cdot \mu_r \cdot 8 \times 10^{-2}$.
$10 = \mu_r \cdot 8 \times 10^{-2}$.
$\mu_r = 10 / (8 \times 10^{-2}) = 1000 / 8 = 125$.

(A) જ્યારે રીંગ ફરે છે ત્યારે તે વર્તુળાકાર પ્રવાહ ગાળા તરીકે વર્તે છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ને વિદ્યુતભારના વહનનો દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, $I = \frac{q}{T}$, જ્યાં $T$ એ એક પરિભ્રમણનો સમયગાળો છે.
આવૃત્તિ $f$ હોવાથી, સમયગાળો $T = \frac{1}{f}$ થાય.
તેથી, સમતુલ્ય વિદ્યુતપ્રવાહ $I = qf$ થાય.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $I$ પ્રવાહ વહેતા વર્તુળાકાર ગાળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $B = \frac{\mu_0 (qf)}{2R} = \frac{\mu_0 qf}{2R}$ મળે છે.

(C) ધારો કે તારની લંબાઈ $L$ છે.
એક આંટા માટે જેની ત્રિજ્યા $R_1$ છે, પરિઘ $2\pi R_1 = L$ થાય, તેથી $R_1 = L / (2\pi)$.
કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2 R_1} = \frac{\mu_0 I}{2 (L / 2\pi)} = \frac{\mu_0 I \pi}{L}$ મળે.
$n$ આંટા માટે જેની ત્રિજ્યા $R_n$ છે, તારની કુલ લંબાઈ $n(2\pi R_n) = L$ થાય, તેથી $R_n = L / (2\pi n)$.
કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_n = \frac{n \mu_0 I}{2 R_n} = \frac{n \mu_0 I}{2 (L / 2\pi n)} = \frac{n^2 \mu_0 I \pi}{L}$ મળે.
એક આંટા માટે અને $n$ આંટા માટેના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ગુણોત્તર $B_1 / B_n = (\frac{\mu_0 I \pi}{L}) / (\frac{n^2 \mu_0 I \pi}{L}) = 1 / n^2$ થાય.

(B) લાંબા સોલેનોઇડ માટે, તેના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રનું પ્રેરણ $(B)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $B = \mu_0 n I$.
વ્યાખ્યા મુજબ, ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $(H)$ એ શૂન્યાવકાશમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રના પ્રેરણ $(B)$ સાથે નીચેના સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે: $H = B / \mu_0$.
$H$ ના સમીકરણમાં $B$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને મળે છે: $H = (\mu_0 n I) / \mu_0$.
તેથી, $H = n I$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા લાંબા સીધા તારથી '$r$' લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર '$B$' નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ અંતર '$r$' ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે:
$B \propto \frac{1}{r}$
ધારો કે '$r_1 = r$' અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર '$B_1 = B$' છે અને '$r_2 = 2r$' અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર '$B_2$' છે.
તેથી, $\frac{B_2}{B_1} = \frac{r_1}{r_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{B_2}{B} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$
આમ, $B_2 = \frac{B}{2}$.

(A) $N$ આંટા, $R$ ત્રિજ્યા અને $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 NI}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$L$ લંબાઈના તારના એક આંટા $(N=1)$ માટે, પરિઘ $2\pi R = L$ થાય, તેથી $R = \frac{L}{2\pi}$.
આમ, $B = \frac{\mu_0 (1) I}{2(L/2\pi)} = \frac{\mu_0 \pi I}{L}$.
જ્યારે તે જ તારને $N'=2$ આંટામાં વાળવામાં આવે, ત્યારે નવી ત્રિજ્યા $R'$ માટે $2\pi R' = L/2$ થાય, તેથી $R' = \frac{L}{4\pi} = \frac{R}{2}$.
નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B' = \frac{\mu_0 N' I}{2R'} = \frac{\mu_0 (2) I}{2(R/2)} = 4 \left( \frac{\mu_0 I}{2R} \right) = 4B$ થાય.

(A) $R$ ત્રિજ્યા અને $I$ પ્રવાહ ધરાવતા વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર: $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ છે.
લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ: $M = I A = I (\pi R^2)$ છે.
ગુણોત્તર '$x$' આ મુજબ છે: $x = \frac{B}{M} = \frac{\mu_0 I / 2R}{I \pi R^2} = \frac{\mu_0}{2 \pi R^3}$.
જ્યારે પ્રવાહ '$I$' ને '$3I$' અને ત્રિજ્યા '$R$' ને '$3R$' કરવામાં આવે:
નવો ગુણોત્તર $x' = \frac{\mu_0}{2 \pi (3R)^3} = \frac{\mu_0}{2 \pi (27 R^3)} = \frac{1}{27} \left( \frac{\mu_0}{2 \pi R^3} \right) = \frac{x}{27}$.
આમ, નવો ગુણોત્તર '$x/27$' થશે.

(C) બિંદુ '$O$' પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર ત્રણ ભાગોને કારણે ઉદ્ભવતા ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે: સીધો તાર $AB$, વર્તુળાકાર ચાપ $BC$, અને સીધો તાર $CD$।
$1$. અર્ધ-અનંત તાર માટે, લંબ અંતર $r$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$ હોય છે।
$2$. તાર $AB$ ને કારણે '$O$' પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર: $B_{AB} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$।
$3$. વર્તુળાકાર ચાપ $BC$ (ત્રિજ્યા $r$, ખૂણો $\pi/2$) ને કારણે '$O$' પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર: $B_{arc} = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi r} = \frac{\mu_0 I (\pi/2)}{4\pi r} = \frac{\mu_0 I}{8r}$।
$4$. તાર $CD$ ને કારણે '$O$' પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર: $B_{CD} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$।
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_{AB} + B_{arc} + B_{CD} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} + \frac{\mu_0 I}{8r} + \frac{\mu_0 I}{4\pi r} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} (1 + \frac{\pi}{2} + 1) = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} (2 + \frac{\pi}{2})$।
આમ, સાચો વિકલ્પ $C$ છે।

(D) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા લાંબા સીધા તારથી $r$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
આ સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે $B \propto \frac{1}{r}$.
ધારો કે $r_1 = 2 \text{ cm}$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ છે અને $r_2 = 5 \text{ cm}$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ છે.
તેથી, ગુણોત્તર $\frac{B_1}{B_2} = \frac{r_2}{r_1}$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{5}{2} = 5 : 2$.
આમ, $2 \text{ cm}$ અને $5 \text{ cm}$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ગુણોત્તર $5 : 2$ છે.

(A) આદર્શ સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$B = \mu n I$
જ્યાં:
- $\mu$ એ સોલેનોઇડની અંદરના માધ્યમની પરમીએબિલિટી છે.
- $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
- $I$ એ સોલેનોઇડમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ચુંબકીય પ્રેરણ એ માધ્યમની પરમીએબિલિટી, એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા અને તેમાંથી વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહ પર આધાર રાખે છે. તે તારની ત્રિજ્યા પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી, સાચી રાશિઓ $(a)$, $(c)$ અને $(d)$ છે.

(C) લાંબા સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_0 n I$ છે, જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ સોલેનોઇડમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \mu_0 n I$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ, નવો વિદ્યુતપ્રવાહ $I' = 3I$ અને એકમ લંબાઈ દીઠ નવા આંટાની સંખ્યા $n' = n/2$ છે.
નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B'$ એ $B' = \mu_0 n' I' = \mu_0 (n/2) (3I) = \frac{3}{2} \mu_0 n I$ દ્વારા મળે છે.
$B = \mu_0 n I$ મૂકતા, આપણને $B' = \frac{3}{2} B$ મળે છે.

(C) $I_2$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા લાંબા સીધા તારથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચોરસ લૂપ માટે, ઉપરના ભાગ $BC$ અને નીચેના ભાગ $AD$ પર લાગતા બળો સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી, તેઓ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
ભાગ $AB$ પર લાગતું બળ ($r_1 = L/3$ અંતરે) $F_{AB} = \frac{\mu_0 I_1 I_2 L}{2\pi (L/3)} = \frac{3\mu_0 I_1 I_2}{2\pi}$ (આકર્ષી, તાર તરફ).
ભાગ $CD$ પર લાગતું બળ ($r_2 = L/3 + L = 4L/3$ અંતરે) $F_{CD} = \frac{\mu_0 I_1 I_2 L}{2\pi (4L/3)} = \frac{3\mu_0 I_1 I_2}{8\pi}$ (અપાકર્ષી, તારથી દૂર).
કુલ બળ $F_{net} = F_{AB} - F_{CD} = \frac{3\mu_0 I_1 I_2}{2\pi} - \frac{3\mu_0 I_1 I_2}{8\pi} = \frac{12\mu_0 I_1 I_2 - 3\mu_0 I_1 I_2}{8\pi} = \frac{9\mu_0 I_1 I_2}{8\pi}$.

(D) લાંબા સોલેનોઇડના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય તીવ્રતા $H$ નું સૂત્ર $H = nI$ છે, જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ તેમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આપેલ છે:
કુલ આંટાની સંખ્યા $N = 1000$
સોલેનોઇડની લંબાઈ $L = 4 \text{ m}$
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 4 \text{ A}$
સૌ પ્રથમ, એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા શોધો: $n = N / L = 1000 / 4 = 250 \text{ આંટા/m}$.
હવે, કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$H = 250 \times 4 = 1000 \text{ A/m} = 10^{3} \text{ A/m}$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) $i$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$, જે કેન્દ્ર પર $\theta$ ખૂણો આંતરે છે, તેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 i \theta}{4 \pi r}$
અહીં, $\theta = \frac{\pi}{5}$ રેડિયન આપેલ છે.
સૂત્રમાં $\theta$ ની કિંમત મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 i (\frac{\pi}{5})}{4 \pi r}$
$B = \frac{\mu_0 i \pi}{20 \pi r}$
$B = \frac{\mu_0 i}{20 r}$
તેથી, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર: $B_{center} = \frac{\mu_0 I}{2R}$ છે.
લૂપની અક્ષ પર કેન્દ્રથી $x$ અંતરે આવેલા બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર: $B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ છે.
અહીં $x = R$ આપેલું હોવાથી, અક્ષ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર: $B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(2R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(2\sqrt{2} R^3)} = \frac{\mu_0 I}{4\sqrt{2} R}$ થાય.
હવે, કેન્દ્ર પરના ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને અક્ષ પરના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ગુણોત્તર: $\frac{B_{center}}{B_{axis}} = \frac{\mu_0 I / 2R}{\mu_0 I / 4\sqrt{2} R} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} : 1$ થાય.

(D) આ ગોઠવણી બે અર્ધ-અનંત તાર અને બે ચતુર્થાંશ-અનંત વિભાગોની બનેલી છે. ભૂમિતિને જોતા, બિંદુ '$O$' પર ચુંબકીય ક્ષેત્રની ગણતરી બાયો-સાવર્ટના નિયમનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે.
અર્ધ-અનંત તાર માટે, $a$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4\pi a}$ હોય છે.
આ ગોઠવણીમાં, વિભાગ $AB$ અને $BC$ બિંદુ '$O$' પર કાગળના સમતલની અંદરની તરફ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. તેવી જ રીતે, વિભાગ $TE$ અને અન્ય આડો વિભાગ પણ '$O$' પર કાગળના સમતલની અંદરની તરફ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
સમાનતા અને જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, ચારેય વિભાગોનું યોગદાન ઉમેરાય છે. ખાસ કરીને, દરેક વિભાગ બિંદુ '$O$' ની સાપેક્ષમાં અર્ધ-અનંત તાર તરીકે કાર્ય કરે છે.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{total} = 4 \times (\frac{\mu_0 I}{4\pi a}) = \frac{\mu_0 I}{\pi a}$ થશે.

(B) લાંબા સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તારથી '$r$' અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર અંતર '$r$' ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે $B \propto \frac{1}{r}$
આપેલ છે કે '$r$' અંતરે, $B_1 = 0.4 \text{ tesla}$
જ્યારે અંતર બમણું કરવામાં આવે, ત્યારે $r_2 = 2r$
નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ નીચે મુજબ થશે:
$B_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi (2r)} = \frac{1}{2} \times \left( \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \right) = \frac{1}{2} B_1$
$B_2 = \frac{0.4}{2} = 0.2 \text{ tesla}$.

(C) એમ્પિયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ, બંધ લૂપની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ નું રેખા સંકલન $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, $I_{\text{enclosed}}$ એ લૂપ $P$ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળમાંથી પસાર થતો કુલ પ્રવાહ છે.
લૂપની અંદરના પ્રવાહો $I_1 = 3 \text{ A}$ (ઉપરની તરફ) અને $I_2 = 1.5 \text{ A}$ (નીચેની તરફ) છે.
ઉપરની દિશાને ધન લેતા, કુલ ઘેરાયેલો પ્રવાહ $I_{\text{enclosed}} = 3 \text{ A} - 1.5 \text{ A} = 1.5 \text{ A}$ થાય.
લૂપની બહારનો પ્રવાહ રેખા સંકલનમાં ફાળો આપતો નથી.
તેથી, $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 (1.5 \text{ A}) = 1.5 \mu_0$.

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાની અક્ષ પર તેના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગૂંચળા $X$ માટે: ત્રિજ્યા $R_x = r$, અંતર $x_x = d/2$. $d \gg r$ હોવાથી, $B_x \approx \frac{\mu_0 I r^2}{2(d/2)^3} = \frac{\mu_0 I r^2}{2(d^3/8)} = \frac{4 \mu_0 I r^2}{d^3}$.
ગૂંચળા $Y$ માટે: ત્રિજ્યા $R_y = 2r$, અંતર $x_y = d$. $d \gg r$ હોવાથી, $B_y \approx \frac{\mu_0 I (2r)^2}{2d^3} = \frac{4 \mu_0 I r^2}{2d^3} = \frac{2 \mu_0 I r^2}{d^3}$.
$B_x$ અને $B_y$ ની સરખામણી કરતા, આપણને $B_x = 2 B_y$ મળે છે.

(B) $I$ પ્રવાહ ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્રથી $x$ અંતરે આવેલા અક્ષીય બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરત $B_2 = 8B_1$ આપેલ છે, તેથી:
$\frac{\mu_0 I}{2R} = 8 \times \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$.
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\frac{1}{R} = \frac{8R^2}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$.
$(R^2 + x^2)^{3/2} = 8R^3$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$(R^2 + x^2)^{1/2} = 2R$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$R^2 + x^2 = 4R^2$.
$x^2 = 3R^2$.
$x = \sqrt{3} R$.

(A) જ્યારે સ્વિચ $S$ ચાલુ (closed) હોય છે, ત્યારે બંને બલ્બ $B_1$ અને $B_2$ પ્રકાશિત થાય છે. જ્યારે સ્વિચ $S$ ખોલવામાં (બંધ/off કરવામાં) આવે છે, ત્યારે અવરોધ $R$ અને બલ્બ $B_1$ ધરાવતી શાખામાં પ્રવાહ તરત જ શૂન્ય થઈ જાય છે કારણ કે તે શાખામાં કોઈ ઉર્જા સંગ્રહિત કરતું ઘટક નથી.
જો કે, બલ્બ $B_2$ ધરાવતી શાખામાં રહેલ ઇન્ડક્ટર $L$ તેમાંથી વહેતા પ્રવાહમાં થતા કોઈપણ ફેરફારનો વિરોધ કરે છે. લેન્ઝના નિયમ મુજબ, ઇન્ડક્ટર એક પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ ઉત્પન્ન કરે છે જે સ્વિચ ખોલ્યા પછી થોડા સમય માટે ઇન્ડક્ટર $L$ અને બલ્બ $B_2$ દ્વારા બનેલા લૂપમાં પ્રવાહને જાળવી રાખે છે.
તેથી, બલ્બ $B_1$ તરત જ બંધ થઈ જાય છે, જ્યારે બલ્બ $B_2$ ઇન્ડક્ટર $L$ દ્વારા પૂરા પાડવામાં આવતા ઘટતા પ્રવાહને કારણે થોડા સમય માટે પ્રકાશિત રહે છે અને ત્યારબાદ વિલંબ સાથે બંધ થાય છે.

(D) સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB}$ એ $A$ થી $B$ ના માર્ગ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તીર દ્વારા દર્શાવ્યા મુજબ પ્રવાહ $I$ ની દિશાને અનુસરીને:
$V_A - I R - L(dI/dt) - E = V_B$
$V_{AB} = V_A - V_B = I R + L(dI/dt) + E$
અહીં $L = 3 \text{ H}$, $R = 6 \text{ } \Omega$, $E = 6 \text{ V}$, અને $dI/dt = -1 \text{ A/s}$ આપેલ છે.
ધારો કે આ ક્ષણે પ્રવાહ $I = 2 \text{ A}$ છે:
$V_{AB} = (2 \text{ A})(6 \text{ } \Omega) + (3 \text{ H})(-1 \text{ A/s}) + 6 \text{ V}$
$V_{AB} = 12 - 3 + 6 = 15 \text{ V}$.

(A) ધારો કે $A$ અને $B$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB}$ છે. પરિપથમાં એક અવરોધ $R$ અને એક ઇન્ડક્ટર $L$ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
પરિપથ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB} = iR + L(di/dt)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિસ્સો $1$: $i = 3 \text{ A}$, $di/dt = 1 \text{ A/s}$, $V_{AB} = 12 \text{ V}$.
$12 = 3R + L(1) \implies 3R + L = 12$ --- $(1)$
કિસ્સો $2$: $i = 3 \text{ A}$, $di/dt = -1 \text{ A/s}$, $V_{AB} = 6 \text{ V}$.
$6 = 3R + L(-1) \implies 3R - L = 6$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(3R + L) + (3R - L) = 12 + 6$
$6R = 18$
$R = 3 \text{ } \Omega$.