MHT CET 2026 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ધારો કે મોટા પરપોટાની ત્રિજ્યા $R = D/2$ છે. મોટા પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ છે.
ધારો કે દરેક નાના પરપોટાની ત્રિજ્યા $r$ છે. કદ અચળ રહેતું હોવાથી, $V = 64 \times (\frac{4}{3}\pi r^3)$.
આમ, $R^3 = 64r^3$, જેનો અર્થ છે કે $R = 4r$ અથવા $r = R/4$.
મોટા સાબુના પરપોટાનું પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ (બે સપાટીઓ હોવાથી) $A_i = 2 \times (4\pi R^2) = 8\pi R^2$ છે.
$64$ નાના પરપોટાનું અંતિમ પૃષ્ઠફળ $A_f = 64 \times 2 \times (4\pi r^2) = 512\pi r^2$ છે.
$r = R/4$ મૂકતા, $A_f = 512\pi (R/4)^2 = 512\pi (R^2/16) = 32\pi R^2$ મળે.
પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = A_f - A_i = 32\pi R^2 - 8\pi R^2 = 24\pi R^2$ છે.
પૃષ્ઠ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = T \times \Delta A = T \times 24\pi R^2$ છે.
$R = D/2$ મૂકતા, $\Delta U = T \times 24\pi (D/2)^2 = T \times 24\pi (D^2/4) = 6\pi T D^2$ મળે.

(A) પૃષ્ઠતાણ એ પ્રવાહીની સપાટી પરના અણુઓ વચ્ચેના આસક્તિ બળો (cohesive forces) ને કારણે ઉદ્ભવે છે.
જેમ જેમ પ્રવાહીનું તાપમાન વધે છે, તેમ અણુઓની ગતિ ઊર્જા વધે છે, જેના કારણે અણુઓ વચ્ચેનું અંતર વધે છે.
આના પરિણામે અણુઓ વચ્ચેના આસક્તિ બળોની પ્રબળતામાં ઘટાડો થાય છે.
પૃષ્ઠતાણ એ આસક્તિ બળોના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી, તાપમાન વધવાની સાથે મોટાભાગના પ્રવાહીઓનું પૃષ્ઠતાણ ઘટે છે.

(A) મોટા ટીપાંનું કદ એ '$n$' નાના ટીપાંના કદના સરવાળા જેટલું હોય છે.
$V_{large} = n \times V_{small}$
$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = n r^3 \implies n = \frac{R^3}{r^3}$
જરૂરી ઉર્જા એ પૃષ્ઠફળમાં થતા વધારા અને પૃષ્ઠતાણ '$T$' ના ગુણાકાર જેટલી હોય છે.
$E = T \times (\text{અંતિમ પૃષ્ઠફળ} - \text{પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ})$
$E = T \times (n \times 4\pi r^2 - 4\pi R^2)$
$n = \frac{R^3}{r^3}$ કિંમત મૂકતા:
$E = 4\pi T (\frac{R^3}{r^3} \times r^2 - R^2)$
$E = 4\pi T (\frac{R^3}{r} - R^2)$
$E = 4\pi T R^2 (\frac{R}{r} - 1)$

(A) તાર તરે તે માટે, ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે નીચેની તરફ લાગતું બળ એ પૃષ્ઠતાણ અને ઉત્પ્લાવક બળને કારણે લાગતા ઉપરના બળ દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ.
$1$. તારનું વજન $W = mg = (\text{કદ} \times \text{ઘનતા}) \times g = (\pi r^2 L) d g$ છે।
$2$. પૃષ્ઠતાણને કારણે ઉપરની તરફ લાગતું બળ તારની બંને બાજુઓ પર લાગે છે. આ બળ $F_s = 2 \times (T \times L) = 2TL$ છે।
$3$. તાર માત્ર તરે તે માટે, વજન એ પૃષ્ઠતાણ બળ જેટલું હોવું જોઈએ (તાર પાતળો હોવાથી અને સપાટી પર તરતો હોવાથી ઉત્પ્લાવક બળને અવગણતા): $\pi r^2 L d g = 2TL$.
$4$. $r$ માટે ઉકેલતા: $r^2 = \frac{2T}{\pi dg}$.
$5$. તેથી, મહત્તમ ત્રિજ્યા $r = \sqrt{\frac{2T}{\pi dg}}$ છે।

(B) સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P$ શોધવાનું સૂત્ર: $\Delta P = \frac{4T}{r}$ છે, જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $r$ એ પરપોટાની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે:
વધારાનું દબાણ $\Delta P = 48 \text{ dyne/cm}^2$
ત્રિજ્યા $r = 2.5 \text{ cm}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$48 = \frac{4 \times T}{2.5}$
$48 \times 2.5 = 4T$
$120 = 4T$
$T = \frac{120}{4} = 30 \text{ dyne/cm}$
તેથી, સાબુના દ્રાવણનું પૃષ્ઠતાણ $30 \text{ dyne/cm}$ છે.

(C) $r$ ત્રિજ્યાનો સાબુનો પરપોટો ફુલાવવા માટે થતું કાર્ય $W_1 = T \times \Delta A \times 2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $\Delta A$ એ પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર છે. સાબુના પરપોટાને બે સપાટી હોવાથી, ક્ષેત્રફળ $2 \times (4\pi r^2)$ થાય છે.
$W_1 = T \times 8\pi r^2 = 450 \text{ erg}$.
જ્યારે ત્રિજ્યા વધારીને $3r$ કરવામાં આવે, ત્યારે નવું કાર્ય $W_2 = T \times 8\pi (3r)^2 = T \times 8\pi (9r^2) = 9 \times (T \times 8\pi r^2)$ થાય.
$W_1$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $W_2 = 9 \times 450 = 4050 \text{ erg}$ મળે છે.
જરૂરી વધારાનું કાર્ય $W_{\text{add}} = W_2 - W_1 = 4050 - 450 = 3600 \text{ erg}$ છે.

(D) કેશનળીમાં પ્રવાહી જે ઊંચાઈ $h$ સુધી ચઢે છે તેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$
જ્યાં:
$T$ એ પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ છે,
$\theta$ એ સંપર્કકોણ છે,
$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,
$g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
આપેલ પ્રવાહી અને કેશનળીના દ્રવ્ય માટે, $T$, $\theta$, $\rho$ અને $g$ અચળ છે.
તેથી, $h \propto \frac{1}{r}$, જેનો અર્થ છે કે $h \cdot r = \text{અચળ}$.
આમ, અલગ-અલગ કેશનળીઓ માટે, $h_n r_n = \text{અચળ}$ થાય છે.

(B) ધારો કે ઉપરના છિદ્રની સપાટીથી ઊંચાઈ $h_1$ છે અને નીચેના છિદ્રની ઊંચાઈ $h_2$ છે. ઊંચાઈનો તફાવત $h_2 - h_1 = x$ છે.
ઉપરના છિદ્રમાંથી બહાર આવતા પાણીનો વેગ $v_1 = \sqrt{2gh_1}$ અને નીચેના છિદ્રમાંથી $v_2 = \sqrt{2gh_2}$ છે.
$A$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા છિદ્રમાંથી બહાર વહેતા પાણી દ્વારા લાગતું પ્રતિક્રિયા બળ (થ્રસ્ટ) $F = \rho A v^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉપરના છિદ્ર માટે, $F_1 = \rho A (2gh_1) = 2\rho Agh_1$.
નીચેના છિદ્ર માટે, $F_2 = \rho A (2gh_2) = 2\rho Agh_2$.
છિદ્રો વિરુદ્ધ બાજુઓ પર હોવાથી, બળો વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
પરિણામી બળ $F_{net} = |F_2 - F_1| = |2\rho Agh_2 - 2\rho Agh_1| = 2\rho Ag(h_2 - h_1)$.
$h_2 - h_1 = x$ મૂકતા, આપણને $F_{net} = 2\rho Agx$ મળે છે.

(A) ધારો કે ટાંકીનું આડછેદ ક્ષેત્રફળ $A_1 = 750 \text{ cm}^2 = 750 \times 10^{-4} \text{ m}^2$ છે.
ધારો કે નળનું આડછેદ ક્ષેત્રફળ $A_2 = 500 \text{ mm}^2 = 500 \times 10^{-6} \text{ m}^2 = 5 \times 10^{-4} \text{ m}^2$ છે.
ધારો કે ટાંકીમાં પાણીની સપાટી નીચે ઉતરવાની ઝડપ $v_1 = |dh/dt|$ છે.
નળમાંથી બહાર આવતા પાણીની ઝડપ $v_2 = 30 \text{ cm/s} = 0.3 \text{ m/s}$ છે.
સાતત્ય સમીકરણ મુજબ, $A_1 v_1 = A_2 v_2$.
કિંમતો મૂકતા: $(750 \times 10^{-4}) \times v_1 = (5 \times 10^{-4}) \times 0.3$.
$750 \times v_1 = 5 \times 0.3 = 1.5$.
$v_1 = 1.5 / 750 = 15 / 7500 = 1 / 500 = 0.002 \text{ m/s}$.
પાણીની સપાટી નીચે ઉતરે છે, તેથી $dh/dt = -0.002 \text{ m/s}$.
આપેલ છે કે $dh/dt = y \times 10^{-3} \text{ m/s}$, તેથી $y \times 10^{-3} = -2 \times 10^{-3}$.
મૂલ્ય લેતા, $y = 2$.

(A) અદબનીય પ્રવાહી માટે સાતત્યના સમીકરણ (Equation of Continuity) મુજબ, આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ અને વેગ $(v)$ નો ગુણાકાર સમગ્ર પ્રવાહ દરમિયાન અચળ રહે છે, એટલે કે $A_1V_1 = A_2V_2$.
ધારો કે પાઇપનો વ્યાસ $d$ છે અને વેગ $V$ છે. પાઇપનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ છે.
ધારો કે નોઝલનો વ્યાસ $d_1$ છે અને બહાર આવતા પાણીનો વેગ $V_1$ છે. નોઝલનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi (d_1/2)^2 = \frac{\pi d_1^2}{4}$ છે.
સાતત્યનું સમીકરણ લાગુ પાડતા: $A \cdot V = A_1 \cdot V_1$.
ક્ષેત્રફળની કિંમતો મૂકતા: $\frac{\pi d^2}{4} \cdot V = \frac{\pi d_1^2}{4} \cdot V_1$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $d^2 V = d_1^2 V_1$.
$d_1$ માટે ઉકેલતા: $d_1^2 = d^2 \cdot \frac{V}{V_1}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $d_1 = d \sqrt{\frac{V}{V_1}}$.

(B) બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ, પાઇપમાંથી બહાર આવતા પ્રવાહી માટે, દબાણનો તફાવત ગતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
પાઇપની અંદર (બિંદુ $1$) અને બહાર (બિંદુ $2$) વચ્ચે બર્નુલીનું સમીકરણ લાગુ પાડતા:
$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho gh_2$
ધારો કે પાઇપ આડી છે $(h_1 = h_2)$ અને પાઇપની અંદરનો વેગ $(v_1 \approx 0)$ એ બહાર નીકળતા વેગ $(v_2 = v)$ ની સરખામણીમાં નગણ્ય છે:
$P_1 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v^2$
$v$ માટે સમીકરણ ગોઠવતા:
$\frac{1}{2}\rho v^2 = P_1 - P_2$
$v^2 = \frac{2(P_1 - P_2)}{\rho}$
$v = [\frac{2(P_1 - P_2)}{\rho}]^{1/2}$

(B) અદબનીય તરલ માટે સાતત્યના સમીકરણ મુજબ, $A_1 V_1 = A_2 V_2$.
તેથી, બીજા બિંદુએ વેગ $V_2 = \frac{A_1 V_1}{A_2}$ થાય.
આડી પાઇપ માટે બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા (જ્યાં ઊંચાઈ $h_1 = h_2$ છે):
$P_1 + \frac{1}{2} \rho V_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho V_2^2$.
$P_2$ ને કર્તા બનાવતા:
$P_2 = P_1 + \frac{1}{2} \rho (V_1^2 - V_2^2)$.
$V_2$ ની કિંમત મૂકતા:
$P_2 = P_1 + \frac{1}{2} \rho (V_1^2 - \frac{A_1^2 V_1^2}{A_2^2})$.
$P_2 = P_1 + \frac{1}{2} \rho V_1^2 (1 - \frac{A_1^2}{A_2^2})$.
$P_2 = P_1 + \frac{\rho V_1^2}{2A_2^2} (A_2^2 - A_1^2)$.

(D) અદબનીય પ્રવાહી માટે સાતત્યના સમીકરણ (equation of continuity) મુજબ, આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને પ્રવાહીના વેગનો ગુણાકાર અચળ રહે છે, એટલે કે $A_P v_P = A_Q v_Q$.
આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે $P$ આગળ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $Q$ કરતા નાનું છે $(A_P < A_Q)$.
તેથી, $P$ આગળ પ્રવાહીનો વેગ $Q$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ $(v_P > v_Q)$.
પ્રવાહીની એકમ કદ દીઠ ગતિ ઊર્જાનું સૂત્ર $K = \frac{1}{2} \rho v^2$ છે, જ્યાં $\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $v$ એ તેનો વેગ છે.
કારણ કે $v_P > v_Q$, તેથી $\frac{1}{2} \rho v_P^2 > \frac{1}{2} \rho v_Q^2$ થશે.
આમ, $K_P > K_Q$.

(D) અદબનીય પ્રવાહી માટે સાતત્યના સમીકરણ (equation of continuity) મુજબ, આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ અને વેગ $(v)$ નો ગુણાકાર સમગ્ર પ્રવાહ દરમિયાન અચળ રહે છે: $A_A v_A = A_B v_B$.
અહીં બિંદુ $A$ પર ત્રિજ્યા $r_A = 3R$ અને બિંદુ $B$ પર ત્રિજ્યા $r_B = 1.5R$ છે.
વર્તુળાકાર આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી, $A_A = \pi (3R)^2 = 9\pi R^2$ અને $A_B = \pi (1.5R)^2 = 2.25\pi R^2$.
આ કિંમતોને સાતત્યના સમીકરણમાં મૂકતા: $(9\pi R^2) \cdot v = (2.25\pi R^2) \cdot v_B$.
$v_B$ માટે ઉકેલતા: $v_B = \frac{9\pi R^2}{2.25\pi R^2} \cdot v = \frac{9}{2.25} \cdot v = 4v$.
આમ, બિંદુ $B$ પર વેગ $4v$ છે.

(D) ધારો કે ગોળાનું કુલ કદ $V$ છે અને તેની ઘનતા $\rho$ છે.
પ્લવનના સિદ્ધાંત મુજબ, ગોળાનું વજન બંને પ્રવાહીઓ દ્વારા લાગતા કુલ ઉત્પ્લાવક બળ જેટલું હોવું જોઈએ.
ગોળાનું વજન = $V \cdot \rho \cdot g$
તેલ દ્વારા લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ = $(\frac{V}{2}) \cdot \rho_{\text{oil}} \cdot g = (\frac{V}{2}) \cdot 0.8 \cdot g = 0.4 \cdot V \cdot g$
પારા દ્વારા લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ = $(\frac{V}{2}) \cdot \rho_{\text{mercury}} \cdot g = (\frac{V}{2}) \cdot 13.6 \cdot g = 6.8 \cdot V \cdot g$
વજનને કુલ ઉત્પ્લાવક બળ સાથે સરખાવતા:
$V \cdot \rho \cdot g = 0.4 \cdot V \cdot g + 6.8 \cdot V \cdot g$
$\rho = 0.4 + 6.8 = 7.2 \text{ g/cm}^3$.

(A) જ્યારે બ્લોક સંતુલનમાં હોય છે, ત્યારે બ્લોકનું વજન ઉત્પ્લાવક બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે: $mg = V_{submerged} \rho g = (A \cdot h) \rho g$, જ્યાં '$h$' એ ડૂબેલી ઊંડાઈ છે.
જ્યારે બ્લોકને શિરોલંબ દિશામાં '$x$' જેટલા નાના અંતરે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેના પર લાગતું વધારાનું ઉત્પ્લાવક બળ $F_{buoyant_extra} = (A \cdot x) \rho g$ છે.
આ બળ પુનઃસ્થાપક બળ તરીકે કાર્ય કરે છે: $F = - (A \rho g) x$.
આને સરળ આવર્ત ગતિના સમીકરણ $F = -kx$ સાથે સરખાવતા, આપણને સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = A \rho g$ મળે છે.
દોલનની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{A \rho g}{m}}$ છે.
દોલનની આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{A \rho g}{m}}$ થાય છે.

(B) પાસ્કલના નિયમ મુજબ, હાઇડ્રોલિક સિસ્ટમના એક છેડે લાગુ પાડવામાં આવતું દબાણ પ્રવાહીમાં સમાન રીતે પ્રસારિત થાય છે.
તેથી, પ્રથમ પિસ્ટન પરનું દબાણ $P_1$ એ બીજા પિસ્ટન પરના દબાણ $P_2$ જેટલું હોય છે:
$P_1 = P_2$
$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
આપેલ છે:
$F_1 = 250 \text{ N}$
$A_1 = 2.5 \times 10^{-2} \text{ m}^2$
$F_2 = m \times g = 3000 \text{ kg} \times 9.8 \text{ m/s}^2 = 29400 \text{ N}$
હવે, $A_2$ શોધવા માટે કિંમતો સૂત્રમાં મૂકો:
$A_2 = \frac{F_2 \times A_1}{F_1}$
$A_2 = \frac{29400 \times 2.5 \times 10^{-2}}{250}$
$A_2 = \frac{29400 \times 0.025}{250}$
$A_2 = 117.6 \times 0.025 = 2.94 \text{ m}^2$
આમ, બીજા પિસ્ટનનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $2.94 \text{ m}^2$ છે.

(A) પ્રવાહીમાં '$y$' ઊંડાઈએ દબાણ $P = P_0 + \rho gy$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અડધી ઊંડાઈએ, $y = h/2$, તેથી દબાણ $P_{h/2} = P_0 + \rho g(h/2) = P_0 + \frac{\rho gh}{2}$ થાય.
સરોવરના તળિયે, $y = h$, તેથી દબાણ $P_h = P_0 + \rho gh$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ, $P_{h/2} = \frac{2}{3} P_h$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $P_0 + \frac{\rho gh}{2} = \frac{2}{3} (P_0 + \rho gh)$.
અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે બંને બાજુ $6$ વડે ગુણતા: $6P_0 + 3\rho gh = 4P_0 + 4\rho gh$.
પદોની ગોઠવણી કરતા: $6P_0 - 4P_0 = 4\rho gh - 3\rho gh$.
$2P_0 = \rho gh$.
તેથી, ઊંડાઈ $h = \frac{2P_0}{\rho g}$ મળે.

(B) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ, $\lambda_m T = \text{અચળ}$, જ્યાં $\lambda_m$ એ તરંગલંબાઈ છે કે જેના પર ઉર્જા ઘનતા મહત્તમ હોય અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે।
શરૂઆતમાં, $\lambda_1 = \lambda_0$, તેથી $T_1 = \frac{C}{\lambda_0}$.
અંતમાં, $\lambda_2 = \frac{3\lambda_0}{2}$, તેથી $T_2 = \frac{C}{\lambda_2} = \frac{C}{3\lambda_0/2} = \frac{2C}{3\lambda_0} = \frac{2}{3} T_1$.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma A T^4$ છે.
ઉત્સર્જિત પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$ છે.
કિંમતો મૂકતા, $\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{2/3 T_1}{T_1} \right)^4 = \left( \frac{2}{3} \right)^4 = \frac{16}{81}$.

(A) સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ, પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = e \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, $e$ એ ઉત્સર્જકતા છે, $\sigma$ એ સ્ટેફનનો અચળાંક છે, $A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $T$ એ તાપમાન છે.
$L$ લંબાઈ અને $d$ વ્યાસ (ત્રિજ્યા $r = d/2$) ધરાવતા તારનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 2 \pi r L = 2 \pi (d/2) L = \pi d L$ થાય.
પાવરના સમીકરણમાં $A$ ની કિંમત મૂકતા: $P = e \sigma (\pi d L) T^4$.
ઉત્સર્જકતા $e$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $e = \frac{P}{\sigma T^4 \pi d L}$.

(D) ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ, ઠંડા પડવાનો દર $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ પદાર્થનું તાપમાન છે, $T_s$ એ આસપાસનું તાપમાન છે અને $k$ એ અચળાંક છે.
પ્રથમ અંતરાલ માટે: $\frac{60 - 40}{7} = k \left( \frac{60 + 40}{2} - 10 \right) \implies \frac{20}{7} = k(50 - 10) \implies \frac{20}{7} = 40k \implies k = \frac{1}{14}$.
બીજા અંતરાલ માટે, ધારો કે સમય $t$ છે: $\frac{40 - 28}{t} = k \left( \frac{40 + 28}{2} - 10 \right) \implies \frac{12}{t} = \frac{1}{14} (34 - 10) \implies \frac{12}{t} = \frac{24}{14} \implies \frac{12}{t} = \frac{12}{7}$.
આમ, $t = 7$ મિનિટ.

(C) કોઈ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત વિકિરણનો દર (પાવર) $P$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = e \sigma A T^4$, જ્યાં $e$ એ ઉત્સર્જકતા છે, $\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે, $A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
કૃષ્ણ પદાર્થ માટે: $R = 1 \cdot \sigma A T^4$ (કારણ કે કૃષ્ણ પદાર્થ માટે $e = 1$ હોય છે).
બીજા પદાર્થ માટે: $P' = e' \sigma A' (T')^4$.
આપેલ છે કે $e' = 0.2$, $A' = A$, અને $T' = 3T$.
આ કિંમતો મૂકતા: $P' = 0.2 \cdot \sigma A (3T)^4 = 0.2 \cdot \sigma A (81T^4) = 16.2 \cdot \sigma A T^4$.
કારણ કે $R = \sigma A T^4$, તેથી આપણને $P' = 16.2R$ મળે છે.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ, કાળા પદાર્થ દ્વારા એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત ઉર્જા (પાવર) $P = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે, $A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $P_1 = E = \sigma A T_1^4$, જ્યાં $T_1 = 27 + 273 = 300 \text{ K}$.
અંતિમ સ્થિતિ: લંબાઈ અને પહોળાઈને તેમના પ્રારંભિક મૂલ્યોના $1/4$ ભાગ સુધી ઘટાડવામાં આવે છે, તેથી નવું ક્ષેત્રફળ $A' = (A/4) \times (1/4) = A/16$. નવું તાપમાન $T_2 = 327 + 273 = 600 \text{ K}$.
નવો પાવર $P_2 = \sigma A' T_2^4 = \sigma (A/16) (600)^4$.
ગુણોત્તર લેતા: $P_2 / P_1 = [\sigma (A/16) (600)^4] / [\sigma A (300)^4] = (1/16) \times (600/300)^4 = (1/16) \times 2^4 = 16/16 = 1$.
તેથી, $P_2 = E$.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેનનો નિયમ મુજબ, કૃષ્ણ પદાર્થમાંથી ઉત્સર્જનનો દર $E$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના ચતુર્થ ઘાતને સમપ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto T^4$.
પ્રથમ, તાપમાનને સેલ્સિયસમાંથી કેલ્વિનમાં ફેરવો:
$T_1 = 527 + 273 = 800 \text{ K}$
$T_2 = 127 + 273 = 400 \text{ K}$
ઉત્સર્જન દરનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{800}{400} \right)^4 = (2)^4 = 16$
તેથી, ગુણોત્તર $16:1$ છે.

$(A)$ કૃષ્ણ પદાર્થ એ એક આદર્શ ભૌતિક પદાર્થ છે જે તેના પર આપાત થતા તમામ વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણોનું શોષણ કરે છે। પ્લાન્કના કૃષ્ણ પદાર્થના વિકિરણના નિયમ મુજબ, કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ અને તાપમાન $(T)$ પર આધાર રાખે છે।
$1$. કૃષ્ણ પદાર્થ બધી તરંગલંબાઈઓ પર વિકિરણનું ઉત્સર્જન કરે છે, પરંતુ તીવ્રતા (એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ તરંગલંબાઈ દીઠ પાવર) બધી તરંગલંબાઈઓ માટે સમાન હોતી નથી।
$2$. વર્ણપટ વિતરણ વક્ર દર્શાવે છે કે આપેલ તાપમાન માટે, તીવ્રતા તરંગલંબાઈ સાથે બદલાય છે, જે વિન્સના સ્થાનાંતરના નિયમ $(\lambda_{max} T = \text{અચળાંક})$ દ્વારા નક્કી થતી ચોક્કસ તરંગલંબાઈ $(\lambda_{max})$ પર મહત્તમ હોય છે।
$3$. તેથી, વિધાન 'બધી તરંગલંબાઈઓ માટે, ઉત્સર્જિત પાવર સમાન હોય છે' ખોટું છે કારણ કે ઉત્સર્જિત પાવર એ તરંગલંબાઈનું વિધેય છે અને તે ચોક્કસ વિતરણ વક્રને અનુસરે છે।

(B) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ (Wien's displacement law) મુજબ, કૃષ્ણ પદાર્થ (black body) નું તાપમાન $T$ એ મહત્તમ તીવ્રતાની તરંગલંબાઇ $\lambda$ સાથે $T \propto \frac{1}{\lambda}$ સંબંધ ધરાવે છે.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ (Stefan-Boltzmann law) મુજબ, કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ પાવર $P = \sigma A T^4$ છે, જ્યાં $A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ડિસ્ક માટે, સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા, આપણને $P \propto R^2 T^4$ મળે છે.
કારણ કે $T \propto \lambda^{-1}$, તેથી $T^4 \propto (\lambda^{-1})^4 = \lambda^{-4}$ થાય.
આમ, ઉત્સર્જક પાવર $E$ (કુલ ઉત્સર્જિત પાવર) એ $R^2 \lambda^{-4}$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(B) ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ, શીતલનનો દર $dT/dt = -k(T - T_s)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T_s$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
પ્રથમ $t$ મિનિટના અંતરાલ માટે, તાપમાન $4\theta$ થી $3\theta$ સુધી ઘટે છે, જ્યાં $T_s = \theta$:
$(4\theta - 3\theta) / t = k((4\theta + 3\theta)/2 - \theta)$
$\theta / t = k(3.5\theta - \theta) = k(2.5\theta)$
$k = \theta / (2.5\theta t) = 1 / (2.5t) = 2 / (5t)$.
આગામી $t$ મિનિટ માટે, ધારો કે અંતિમ તાપમાન $T_f$ છે:
$(3\theta - T_f) / t = k((3\theta + T_f)/2 - \theta)$
$(3\theta - T_f) / t = (2 / (5t)) * ((T_f + \theta) / 2)$
$3\theta - T_f = (T_f + \theta) / 5$
$15\theta - 5T_f = T_f + \theta$
$14\theta = 6T_f$
$T_f = 14\theta / 6 = 7\theta / 3$.

(B) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ, $\lambda_m T = \text{અચળ}$, જ્યાં $\lambda_m$ એ તરંગલંબાઇ છે કે જ્યાં ઉર્જા ઘનતા મહત્તમ હોય અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે।
શરૂઆતમાં, $\lambda_1 = \lambda$ અને $T_1 = T$.
અંતમાં, $\lambda_2 = 2\lambda/3$ અને $T_2 = T'$.
$\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $\lambda T = (2\lambda/3) T'$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $T' = 3T/2$.
કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે, $P = \sigma A T^4$, જ્યાં $\sigma$ એ સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે.
શરૂઆતમાં, $P_1 = \sigma A T^4$.
અંતમાં, $P_2 = \sigma A (T')^4 = \sigma A (3T/2)^4 = \sigma A (81/16) T^4$.
તેથી, ઉત્સર્જિત પાવરનો ગુણોત્તર $P_2/P_1 = (81/16) (\sigma A T^4) / (\sigma A T^4) = 81/16$ છે.
આમ, ઉત્સર્જિત પાવરમાં $81/16$ ગણો વધારો થશે.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ, કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $P$ એ દર સેકન્ડે ઉત્સર્જિત ઉર્જા છે, $\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે, $A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $P_1 = E$, $A_1 = A$, $T_1 = 127 + 273 = 400 \text{ K}$.
તેથી, $E = \sigma A (400)^4$.
અંતિમ સ્થિતિ: લંબાઈ અને પહોળાઈ અડધી કરવામાં આવે છે, તેથી નવું ક્ષેત્રફળ $A_2 = (L/2) \times (B/2) = A/4$. નવું તાપમાન $T_2 = 527 + 273 = 800 \text{ K}$.
$P_2 = \sigma A_2 T_2^4 = \sigma (A/4) (800)^4$.
ગુણોત્તર લેતા: $P_2 / E = [\sigma (A/4) (800)^4] / [\sigma A (400)^4] = (1/4) \times (800/400)^4 = (1/4) \times (2)^4 = 16/4 = 4$.
તેથી, $P_2 = 4E$.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ, કાળા પદાર્થ દ્વારા પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ઉર્જા (પાવર) $P = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે, $A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $P_1 = E$, $A_1 = A$, $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$.
તેથી, $E = \sigma A (300)^4$.
અંતિમ સ્થિતિ: લંબાઈ અને પહોળાઈ અડધી કરવામાં આવે છે, તેથી $A_2 = (L/2) \times (B/2) = A/4$. તાપમાન $T_2 = 327 + 273 = 600 \ K$.
નવો પાવર $P_2 = \sigma A_2 T_2^4 = \sigma (A/4) (600)^4$.
ગુણોત્તર લેતા: $P_2 / E = [\sigma (A/4) (600)^4] / [\sigma A (300)^4] = (1/4) \times (600/300)^4 = (1/4) \times (2)^4 = (1/4) \times 16 = 4$.
તેથી, $P_2 = 4E$.

(B) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ, $\lambda_m T = \text{અચળ}$, જ્યાં $\lambda_m$ એ મહત્તમ ઉર્જા સાથે સંકળાયેલ તરંગલંબાઈ છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે।
શરૂઆતમાં, $\lambda_1 = \lambda$, તેથી $T_1 = \frac{C}{\lambda}$.
અંતમાં, $\lambda_2 = \frac{2\lambda}{3}$, તેથી $T_2 = \frac{C}{2\lambda/3} = \frac{3C}{2\lambda} = \frac{3}{2} T_1$.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેનના નિયમ મુજબ કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma A T^4$ છે.
તેથી, નવા પાવર $P_2$ અને પ્રારંભિક પાવર $P_1$ નો ગુણોત્તર $\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$ થાય.
કિંમતો મૂકતા, $\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{3/2 T_1}{T_1} \right)^4 = \left( \frac{3}{2} \right)^4 = \frac{81}{16}$.

(C) ન્યુટનના શીતલનનો નિયમ મુજબ, ઠંડા પડવાનો દર: $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$, જ્યાં $T_s$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
સરેરાશ તાપમાનના અંદાજ મુજબ: $\frac{T_1 - T_2}{t} = k \left( \frac{T_1 + T_2}{2} - T_s \right)$.
કિસ્સો $1$: $T_1 = 98^\circ C, T_2 = 86^\circ C, T_s = 22^\circ C, t = 2$ મિનિટ.
$\frac{98 - 86}{2} = k \left( \frac{98 + 86}{2} - 22 \right) \implies 6 = k(70) \implies k = \frac{6}{70}$.
કિસ્સો $2$: $T_1 = 75^\circ C, T_2 = 69^\circ C, T_s = 22^\circ C, t = ?$.
$\frac{75 - 69}{t} = \frac{6}{70} \left( \frac{75 + 69}{2} - 22 \right) \implies \frac{6}{t} = \frac{6}{70} (50) \implies \frac{1}{t} = \frac{50}{70} = \frac{5}{7} \implies t = 1.4$ મિનિટ. આપેલ વિકલ્પો મુજબ, નજીકનો જવાબ $1$ મિનિટ છે.

(A) ધારો કે $Q$ એ કુલ આપાત ઉષ્મા છે, $Q_r$ એ પરાવર્તિત ઉષ્મા છે, $Q_t$ એ પારગમિત ઉષ્મા છે અને $Q_a$ એ શોષાયેલી ઉષ્મા છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, કુલ આપાત ઉષ્મા એ પરાવર્તિત, પારગમિત અને શોષાયેલી ઉષ્માનો સરવાળો છે:
$Q = Q_r + Q_t + Q_a$
અહીં આપેલ છે કે $Q = x$ અને પરાવર્તિત તથા પારગમિત ઉષ્માનો સરવાળો $Q_r + Q_t = y$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = y + Q_a$
$Q_a = x - y$
શોષણાંક $a$ એ શોષાયેલી ઉષ્મા અને કુલ આપાત ઉષ્માનો ગુણોત્તર છે:
$a = Q_a / Q$
$a = (x - y) / x$
તેથી, સાચો વિકલ્પ $(x - y) / x$ છે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ, ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $R = \frac{dQ}{dt} \propto (T_b^4 - T_s^4)$ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં, $T_b = 3T$ અને $T_s = T$:
$R_1 = k ((3T)^4 - T^4) = k (81T^4 - T^4) = 80kT^4$.
બીજા કિસ્સામાં, $T_b = 2T$ અને $T_s = T$:
$R_2 = k ((2T)^4 - T^4) = k (16T^4 - T^4) = 15kT^4$.
હવે, ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{R_2}{R_1} = \frac{15kT^4}{80kT^4} = \frac{15}{80} = \frac{3}{16}$.
તેથી, $R_2 = \frac{3}{16}R_1$.

(B) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ (Wien's displacement law) મુજબ, મહત્તમ તીવ્રતાની તરંગલંબાઈ $(\lambda_m)$ અને નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ નો ગુણાકાર અચળ હોય છે।
$\lambda_m T = \text{અચળ}$
આપેલ છે કે $T$ તાપમાને તરંગલંબાઈ $\lambda$ છે। તેથી, $\lambda T = \text{અચળ}$.
$T' = 2.5T$ તાપમાને, ધારો કે નવી તરંગલંબાઈ $\lambda'$ છે।
તેથી, $\lambda' T' = \lambda T$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda' (2.5T) = \lambda T$.
$\lambda' = \frac{\lambda T}{2.5T} = \frac{\lambda}{2.5} = \frac{\lambda}{5/2} = \frac{2\lambda}{5}$.
આમ, અનુરૂપ તરંગલંબાઈ $2\lambda/5$ થશે।

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ, કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે, $A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
ગોળાકાર પદાર્થ માટે, સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4\pi R^2$ છે.
તેથી, ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma (4\pi R^2) T^4$ થાય.
આપેલ છે કે બંને પદાર્થો સમાન પાવરનું ઉત્સર્જન કરે છે, તેથી $P_1 = P_2$.
માટે, $\sigma (4\pi R_1^2) T_1^4 = \sigma (4\pi R_2^2) T_2^4$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા, આપણને $R_1^2 T_1^4 = R_2^2 T_2^4$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા, $R_1 T_1^2 = R_2 T_2^2$ મળે છે.
$R_1/R_2$ નો ગુણોત્તર શોધવા માટે ગોઠવણ કરતા, $\frac{R_1}{R_2} = (\frac{T_2}{T_1})^2$ મળે છે.

(C) ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ, ઠંડા પડવાનો દર પદાર્થ અને તેના વાતાવરણ વચ્ચેના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$.
પ્રથમ $10 \text{ મિનિટના }$ ગાળા માટે:
$\frac{3\theta - 2\theta}{10} = k \left( \frac{3\theta + 2\theta}{2} - \theta \right)$
$\frac{\theta}{10} = k(1.5\theta) = 1.5k\theta$
$k = \frac{1}{15}$.
પછીની $10 \text{ મિનિટ માટે }$, પદાર્થ $2\theta$ થી $x$ સુધી ઠંડું પડે છે:
$\frac{2\theta - x}{10} = k \left( \frac{2\theta + x}{2} - \theta \right)$
$\frac{2\theta - x}{10} = \frac{1}{15} \left( \frac{2\theta + x - 2\theta}{2} \right)$
$\frac{2\theta - x}{10} = \frac{x}{30}$
$3(2\theta - x) = x$
$6\theta - 3x = x$
$4x = 6\theta$
$x = \frac{3}{2}\theta$.

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = \frac{4S}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $S$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ પરપોટામાં વધારાનું દબાણ $(P_1)$ એ બીજા પરપોટા $(P_2)$ કરતા ત્રણ ગણું છે:
$P_1 = 3P_2$
$\frac{4S}{R_1} = 3 \times \frac{4S}{R_2}$
$\frac{1}{R_1} = \frac{3}{R_2} \implies R_2 = 3R_1$
ગોળાકાર પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ છે.
કદનો ગુણોત્તર:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi R_1^3}{\frac{4}{3}\pi R_2^3} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3$
$R_2 = 3R_1$ મૂકતા:
$\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{R_1}{3R_1}\right)^3 = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$
આમ, પ્રથમ પરપોટા અને બીજા પરપોટાના કદનો ગુણોત્તર $1:27$ છે. વિકલ્પો જોતા, $27$ એ $V_2/V_1$ નો ગુણોત્તર દર્શાવે છે.

(A) $r$ ત્રિજ્યાનો સાબુનો પરપોટો ફુલાવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = T \times \Delta A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $\Delta A$ એ પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર છે.
સાબુના પરપોટાને બે સપાટી (અંદરની અને બહારની) હોવાથી, કુલ પૃષ્ઠફળ $A = 2 \times (4\pi r^2) = 8\pi r^2$ થાય છે.
આમ, $W = T \times 8\pi r^2$.
$R$ ત્રિજ્યાના પ્રથમ પરપોટા માટે, $W_1 = 8\pi R^2 T_1$.
$2R$ ત્રિજ્યાના બીજા પરપોટા માટે, $W_2 = 8\pi (2R)^2 T_2 = 32\pi R^2 T_2$.
જ્યારે દ્રાવણને ગરમ કરવામાં આવે છે, ત્યારે પૃષ્ઠતાણ $T$ ઘટે છે, તેથી $T_2 < T_1$.
ગુણોત્તર $\frac{W_2}{W_1} = \frac{32\pi R^2 T_2}{8\pi R^2 T_1} = 4 \times \frac{T_2}{T_1}$ છે.
જેহেতু $T_2 < T_1$, તેથી ગુણોત્તર $\frac{T_2}{T_1} < 1$ થાય, જે સૂચવે છે કે $\frac{W_2}{W_1} < 4$.
તેથી, જરૂરી કાર્ય એ પ્રથમ પરપોટા માટે જરૂરી કાર્યના $4$ ગણા કરતા થોડું ઓછું હશે.

(A) કેશિકા નળીમાં પ્રવાહીની ઊંચાઈ $h$ માટેનું સૂત્ર: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે, જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ, $\theta$ એ સંપર્કકોણ, $r$ એ કેશિકાની ત્રિજ્યા, $\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે $h \propto \frac{1}{r}$.
કેશિકા નળીનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી, $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$ મળે, એટલે કે $r \propto \sqrt{A}$.
આ કિંમત ઊંચાઈના સંબંધમાં મૂકતા, $h \propto \frac{1}{\sqrt{A}}$ મળે છે.
નવું ક્ષેત્રફળ $A' = \frac{A}{3}$ આપેલું હોવાથી, નવી ઊંચાઈ $h'$ નીચે મુજબ થશે:
$h' = h \times \sqrt{\frac{A}{A'}} = 3 \times \sqrt{\frac{A}{A/3}} = 3 \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ cm.

(A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = \frac{4T}{R}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ સાબુના દ્રાવણનું પૃષ્ઠતાણ છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ પરપોટાનું વધારાનું દબાણ $(P_1)$ એ બીજા પરપોટાના દબાણ $(P_2)$ કરતા ત્રણ ગણું છે:
$P_1 = 3P_2$
$\frac{4T}{R_1} = 3 \times \frac{4T}{R_2}$
$\frac{1}{R_1} = \frac{3}{R_2} \implies R_2 = 3R_1$
ગોળાકાર પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ અને બીજા પરપોટાના કદનો ગુણોત્તર:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi R_1^3}{\frac{4}{3}\pi R_2^3} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3$
$R_2 = 3R_1$ કિંમત મૂકતા:
$\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{R_1}{3R_1}\right)^3 = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$
આમ, કદનો ગુણોત્તર $1:27$ છે.

(B) કેશનળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h$ નું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે, જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ, $\theta$ એ સંપર્કકોણ, $r$ એ કેશનળીની ત્રિજ્યા, $\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
અહીં $h, T, r$ અને $g$ ત્રણેય પ્રવાહી માટે સમાન છે, તેથી $\cos \theta \propto \rho$ સંબંધ મળે છે.
આપેલ છે કે $\rho_1 < \rho_2 < \rho_3$, તેથી $\cos \theta_1 < \cos \theta_2 < \cos \theta_3$ થાય.
કોસાઈન વિધેય $0^\circ$ થી $90^\circ$ ની વચ્ચે ઘટતું વિધેય હોવાથી, નાનું કોસાઈન મૂલ્ય મોટા ખૂણાને અનુરૂપ છે.
તેથી, $\theta_1 > \theta_2 > \theta_3$ થાય.

(B) સાબુના ફિલ્મ (પડ) ને બે સપાટીઓ હોય છે: એક આગળની તરફ અને એક પાછળની તરફ.
જ્યારે $L$ બાજુવાળી ચોરસ ફ્રેમને સાબુના દ્રાવણમાં ડુબાડવામાં આવે છે, ત્યારે ફ્રેમ પર એક ફિલ્મ બને છે.
ફ્રેમ સાથે સંપર્કમાં રહેલી ફિલ્મની કુલ સીમાની લંબાઈ એક બાજુ માટે $4L$ થાય છે.
સાબુના ફિલ્મને બે સપાટીઓ હોવાથી, ફ્રેમ સાથે સંપર્કમાં રહેલી ફિલ્મની કુલ લંબાઈ $2 \times 4L = 8L$ થાય છે.
પૃષ્ઠતાણ $T$ ને કારણે લાગતું બળ $F$ એ સૂત્ર $F = T \times (\text{સંપર્કની કુલ લંબાઈ})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી, $F = T \times 8L = 8TL$.

(A) પ્રભાવનું ક્ષેત્ર (sphere of influence) એ એક એવો ગોળો છે જે અણુને કેન્દ્રમાં રાખીને અને આણ્વિક રેન્જ (આશરે $10^{-9} \ m$) જેટલી ત્રિજ્યા લઈને દોરવામાં આવે છે.
આ ગોળાની અંદર, કેન્દ્રમાં રહેલો અણુ ગોળાની અંદર હાજર રહેલા અન્ય તમામ અણુઓ દ્વારા આંતર-આણ્વિક આકર્ષણ બળોનો અનુભવ કરે છે.
આંતર-આણ્વિક બળો સ્વભાવે આકર્ષી હોવાથી, કેન્દ્રમાં રહેલો અણુ તેના પ્રભાવના ક્ષેત્રમાં રહેલા અન્ય તમામ અણુઓ દ્વારા આકર્ષાય છે.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) સાબુના પરપોટા માટે, અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અંદરનું કુલ દબાણ $P_{in} = P + \frac{4T}{r}$ છે.
પ્રક્રિયા સમતાપી હોવાથી, હવાના મોલની સંખ્યા અચળ રહે છે, તેથી $PV = \text{\text{અચળ}}$.
બે પ્રારંભિક પરપોટા માટે: $P_1 V_1 = (P + \frac{4T}{r_1}) \cdot \frac{4}{3} \pi r_1^3$ અને $P_2 V_2 = (P + \frac{4T}{r_2}) \cdot \frac{4}{3} \pi r_2^3$.
અંતિમ પરપોટા માટે: $P_f V_f = (P + \frac{4T}{R}) \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$.
હવાનું કુલ પ્રમાણ જળવાઈ રહેતું હોવાથી, $P_1 V_1 + P_2 V_2 = P_f V_f$.
સૂત્રો મૂકતા: $(P + \frac{4T}{r_1}) \frac{4}{3} \pi r_1^3 + (P + \frac{4T}{r_2}) \frac{4}{3} \pi r_2^3 = (P + \frac{4T}{R}) \frac{4}{3} \pi R^3$.
$P r_1^3 + 4T r_1^2 + P r_2^3 + 4T r_2^2 = P R^3 + 4T R^2$.
$P(r_1^3 + r_2^3 - R^3) = 4T(R^2 - r_1^2 - r_2^2)$.
$T = \frac{P(r_1^3 + r_2^3 - R^3)}{4(R^2 - r_1^2 - r_2^2)} = \frac{P(R^3 - r_1^3 - r_2^3)}{4(r_1^2 + r_2^2 - R^2)}$.

(A) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી, $1000$ નાના ટીપાંનું કદ મોટા ટીપાના કદ જેટલું થાય:
$1000 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$1000 r^3 = R^3$
$R = 10r$
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઉર્જા $(E_i)$ = $1000 \times (4 \pi r^2 T)$, જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
અંતિમ પૃષ્ઠ ઉર્જા $(E_f)$ = $4 \pi R^2 T = 4 \pi (10r)^2 T = 400 \pi r^2 T$.
અંતિમ પૃષ્ઠ ઉર્જા અને પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{E_f}{E_i} = \frac{400 \pi r^2 T}{1000 \times 4 \pi r^2 T} = \frac{400}{4000} = \frac{1}{10}$.

(C) સાબુના પરપોટાને વિસ્તૃત કરવા માટે થયેલ કાર્ય $(W)$ નું સૂત્ર: $W = T \times \Delta A$, જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $\Delta A$ એ પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર છે.
સાબુના પરપોટાને બે સપાટી (અંદરની અને બહારની) હોવાથી, કુલ પૃષ્ઠફળ $A = 2 \times (4\pi r^2) = 8\pi r^2$ થાય.
પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \text{ cm}$, તેથી પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ $A_1 = 8\pi \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}}\right)^2 = 8 \text{ cm}^2$.
અંતિમ ત્રિજ્યા $r_2 = \frac{3}{\sqrt{\pi}} \text{ cm}$, તેથી અંતિમ પૃષ્ઠફળ $A_2 = 8\pi \left(\frac{3}{\sqrt{\pi}}\right)^2 = 8\pi \times \frac{9}{\pi} = 72 \text{ cm}^2$.
પૃષ્ઠફળમાં ફેરફાર $\Delta A = A_2 - A_1 = 72 - 8 = 64 \text{ cm}^2$.
થયેલ કાર્ય $W = T \times \Delta A = 25 \times 64 = 1600 \text{ erg}$.

(B) કેશનળીમાં પ્રવાહી જે ઊંચાઈ '$h$' સુધી ચઢે છે તેનું સૂત્ર: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે, જ્યાં '$T$' એ પૃષ્ઠતાણ છે,'$\theta$' એ સંપર્કકોણ છે,'$r$' એ કેશનળીની ત્રિજ્યા છે,'$\rho$' એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને '$g$' એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
આ સૂત્ર પરથી, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $h \propto \frac{1}{r}$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ '$a$' એ $a = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જેનો અર્થ છે કે $r = \sqrt{\frac{a}{\pi}}$, તેથી $r \propto \sqrt{a}$.
આને ઊંચાઈના સંબંધમાં મૂકતા, આપણને $h \propto \frac{1}{\sqrt{a}}$ મળે છે.
ધારો કે ક્ષેત્રફળ $a_1 = a$ માટે $h_1 = h$ છે, અને ક્ષેત્રફળ $a_2 = 4a$ માટે ઊંચાઈ $h_2$ છે.
તેથી, $\frac{h_2}{h_1} = \sqrt{\frac{a_1}{a_2}} = \sqrt{\frac{a}{4a}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
આમ, $h_2 = \frac{h}{2}$.

(D) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર પાણીના ટીપાંની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = \frac{2T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
આપેલ છે કે ટીપાં $A$ માં વધારાનું દબાણ ટીપાં $B$ કરતા ચાર ગણું છે, તેથી $P_A = 4P_B$.
સૂત્ર મૂકતા, $\frac{2T}{r_A} = 4 \times \frac{2T}{r_B}$, જેનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{r_A} = \frac{4}{r_B}$ અથવા $r_B = 4r_A$ મળે છે.
ગોળાકાર પાણીના ટીપાંનું દળ $m = \rho V = \rho \times \frac{4}{3} \pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\rho$ એ પાણીની ઘનતા છે.
તેથી, ટીપાં $A$ ના દળનો ટીપાં $B$ ના દળ સાથેનો ગુણોત્તર $\frac{m_A}{m_B} = \frac{\rho \times \frac{4}{3} \pi r_A^3}{\rho \times \frac{4}{3} \pi r_B^3} = \left( \frac{r_A}{r_B} \right)^3$ થાય.
$r_B = 4r_A$ મૂકતા, આપણને $\frac{m_A}{m_B} = \left( \frac{r_A}{4r_A} \right)^3 = \left( \frac{1}{4} \right)^3 = \frac{1}{64}$ મળે છે. જો પ્રશ્નનો અર્થ ટીપાં $B$ અને $A$ ના દળનો ગુણોત્તર હોય, તો તે $64$ થાય.

(B) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P$ એ સૂત્ર $P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ સાબુના દ્રાવણનું પૃષ્ઠતાણ છે.
બંને પરપોટા માટે $T$ અચળ હોવાથી, વધારાનું દબાણ એ ત્રિજ્યાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $P \propto \frac{1}{r}$.
ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $r_A : r_B = 3 : 2$ આપેલ છે, તેથી વધારાના દબાણનો ગુણોત્તર $P_A : P_B$ નીચે મુજબ થશે:
$P_A / P_B = r_B / r_A = 2 / 3$.
આમ, પરપોટા $A$ અને $B$ ના વધારાના દબાણનો ગુણોત્તર $2 : 3$ છે.

(C) કોઈલ $P$ માં બદલાતા પ્રવાહને કારણે કોઈલ $Q$ માં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત e.m.f. $\varepsilon$ સૂત્ર $\varepsilon = -M \frac{dI}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે કોઈલ $P$ માં પ્રવાહ $I = I_0 \sin(\omega t)$ છે.
પ્રવાહના ફેરફારનો દર શોધતા: $\frac{dI}{dt} = \frac{d}{dt}(I_0 \sin(\omega t)) = I_0 \omega \cos(\omega t)$.
આ કિંમત e.m.f. ના સમીકરણમાં મૂકતા: $\varepsilon = -M (I_0 \omega \cos(\omega t)) = -M I_0 \omega \cos(\omega t)$.
પ્રેરિત e.m.f. નું મૂલ્ય $|\varepsilon| = M I_0 \omega |\cos(\omega t)|$ થાય.
$\cos(\omega t)$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે.
તેથી, મહત્તમ પ્રેરિત e.m.f. $\varepsilon_{\text{max}} = M \omega I_0$ થશે.

(C) સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $L$ ધરાવતા ઇન્ડક્ટરમાં ઇન્ડ્યુસ્ડ e.m.f. $(e)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$e = -L \frac{dI}{dt}$
અહીં, ઋણ નિશાની લેન્ઝના નિયમ (Lenz's Law) ને સૂચવે છે, જે જણાવે છે કે ઇન્ડ્યુસ્ડ e.m.f. પ્રવાહમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
પ્રવાહ સતત અચળ દરે વધી રહ્યો હોવાથી, $\frac{dI}{dt}$ એ ધન અચળાંક છે.
તેથી, $e = -L \times (\text{\text{ધન અચળાંક}})$, જેનો અર્થ છે કે $e$ એ ઋણ અચળાંક છે.
જો આપણે $y$-અક્ષ પર $e$ અને $x$-અક્ષ પર $\frac{dI}{dt}$ ને આલેખીએ, તો સંબંધ $e = -L \frac{dI}{dt}$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને ઋણ ઢાળ $(-L)$ ધરાવતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
આપેલા વિકલ્પો જોતા, આલેખ $C$ એ ઉગમબિંદુથી શરૂ થતી અને ચોથા ચરણમાં જતી સીધી રેખા દર્શાવે છે, જે ઋણ ઢાળ સાથેનો રેખીય સંબંધ દર્શાવે છે.
આમ, સાચો આલેખ $C$ છે.

(A) સેકન્ડરી કોઈલમાં પ્રેરિત e.m.f. $(e)$ નું સૂત્ર: $e = M \cdot \frac{dI}{dt}$, જ્યાં $M$ એ મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્શનનો ગુણાંક છે, $dI$ એ પ્રવાહમાં ફેરફાર છે અને $dt$ એ સમયગાળો છે.
આપેલ કિંમતો: $M = 3 \text{ H}$, $e = 4 \text{ kV} = 4000 \text{ V}$, અને $dI = I_1 - I_2 = 7 \text{ A} - 2 \text{ A} = 5 \text{ A}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $4000 = 3 \cdot \frac{5}{dt}$.
$dt$ માટે ગણતરી કરતા: $dt = \frac{3 \cdot 5}{4000} = \frac{15}{4000} \text{ s}$.
$dt = 0.00375 \text{ s} = 3.75 \times 10^{-3} \text{ s}$.

(B) સોલેનોઈડનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ સૂત્ર $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $N$ એ આંટાઓની સંખ્યા છે, $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $l$ એ સોલેનોઈડની લંબાઈ છે.
$A = \pi r^2$ હોવાથી, સૂત્ર $L = \frac{\mu_0 N^2 \pi r^2}{l}$ બને છે.
બંને સોલેનોઈડ માટે આંટાઓની સંખ્યા $N$ સમાન હોવાથી, $L \propto \frac{r^2}{l}$ મળે છે.
ધારો કે $l_A, r_A$ એ સોલેનોઈડ $A$ ની લંબાઈ અને ત્રિજ્યા છે, અને $l_B, r_B$ એ સોલેનોઈડ $B$ ની લંબાઈ અને ત્રિજ્યા છે.
આપણને $\frac{l_A}{l_B} = \frac{1}{3}$ અને $\frac{r_A}{r_B} = \frac{1}{3}$ આપેલ છે.
તેથી, આત્મ-પ્રેરકત્વનો ગુણોત્તર $\frac{L_A}{L_B} = \frac{r_A^2}{l_A} \times \frac{l_B}{r_B^2} = \left( \frac{r_A}{r_B} \right)^2 \times \left( \frac{l_B}{l_A} \right)$ થશે.
આપેલ ગુણોત્તર મૂકતા: $\frac{L_A}{L_B} = \left( \frac{1}{3} \right)^2 \times \left( \frac{3}{1} \right) = \frac{1}{9} \times 3 = \frac{1}{3}$.
આમ, સોલેનોઈડ $A$ અને $B$ ના આત્મ-પ્રેરકત્વનો ગુણોત્તર $1 : 3$ છે.

(A) $I$ પ્રવાહ ધરાવતા $r_1$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r_2 \ll r_1$ હોવાથી, મોટા ગૂંચળા દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર નાના ગૂંચળાના ક્ષેત્રફળ પર લગભગ સમાન રહે છે.
$r_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નાના ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = \left( \frac{\mu_0 I}{2r_1} \right) (\pi r_2^2)$ છે.
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ ની વ્યાખ્યા $M = \frac{\phi}{I}$ છે.
$\phi$ નું સૂત્ર મૂકતા, આપણને $M = \frac{\mu_0 \pi r_2^2}{2r_1}$ મળે છે.

(D) ઇન્ડક્ટર સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi$ એ $\Phi = LI$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $L$ એ ઇન્ડક્ટરનું સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ છે.
આલેખ પરથી, $\Phi-I$ રેખાનો ઢાળ $\frac{\Phi}{I} = L$ છે.
રેખાનો ઢાળ એ સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $L$ દર્શાવે છે.
રેખાઓ $A, B, C,$ અને $D$ ના ઢાળની સરખામણી કરતા, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે રેખા $D$ નો ઢાળ સૌથી ઓછો છે.
તેથી, ઇન્ડક્ટર $D$ પાસે સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સનું સૌથી ઓછું મૂલ્ય છે.

(D) $I$ પ્રવાહ ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના મોટા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R \gg r$ હોવાથી, $r$ ત્રિજ્યાના નાના ગૂંચળાના ક્ષેત્રફળ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ લગભગ સમાન રહે છે.
નાના ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A$ છે, જ્યાં $A = \pi r^2$ એ નાના ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ છે.
તેથી, $\phi = \left( \frac{\mu_0 I}{2R} \right) (\pi r^2) = \left( \frac{\mu_0 \pi r^2}{2R} \right) I$.
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ ને $\phi = MI$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, તેથી $M = \frac{\mu_0 \pi r^2}{2R}$.
આમ, $M \propto \frac{r^2}{R}$.

(C) કપલિંગનો ગુણાંક $k$ એ સૂત્ર $M = k \sqrt{L_1 L_2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે, જ્યાં $M$ એ અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ છે અને $L_1, L_2$ એ બે ગૂંચળાઓના આત્મ-પ્રેરકત્વ છે.
આપેલ કિંમતો $L_1 = 75 \text{ mH}$, $L_2 = 48 \text{ mH}$ અને $M = 37.2 \text{ mH}$ છે.
$k$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા, આપણને $k = \frac{M}{\sqrt{L_1 L_2}}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $k = \frac{37.2}{\sqrt{75 \times 48}}$.
ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $75 \times 48 = 3600$.
વર્ગમૂળ લેતા: $\sqrt{3600} = 60$.
હવે, $k = \frac{37.2}{60} = 0.62$.
આમ, કપલિંગનો ગુણાંક $0.62$ છે.

(B) $r_1$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અને $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેવડાવતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 r_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $r_1 > r_2$ હોવાથી, આપણે ધારીએ છીએ કે નાની કોઈલ (ત્રિજ્યા $r_2$) એ મોટી કોઈલ (ત્રિજ્યા $r_1$) દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલા ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવી છે.
નાની કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A_2$ છે, જ્યાં $A_2 = \pi r_2^2$ એ નાની કોઈલનું ક્ષેત્રફળ છે.
$\phi = \left( \frac{\mu_0 I}{2 r_1} \right) (\pi r_2^2) = \frac{\mu_0 \pi r_2^2}{2 r_1} I$.
મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$ ને $\phi = M I$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા, આપણને $M = \frac{\mu_0 \pi r_2^2}{2 r_1}$ મળે છે.

(B) બીજી કોઈલમાં પ્રેરિત e.m.f. નું સૂત્ર $\varepsilon = -M \frac{dI}{dt}$ છે.
આપેલ છે કે, $M = 0.005 \text{ H}$, $I = I_0 \sin \omega t$, $I_0 = 10 \text{ A}$, અને $\omega = 60\pi \text{ rad s}^{-1}$.
પ્રવાહનું સમીકરણ મૂકતા: $\varepsilon = -M \frac{d}{dt}(I_0 \sin \omega t) = -M I_0 \omega \cos \omega t$.
પ્રેરિત e.m.f. નું મૂલ્ય $|\varepsilon| = M I_0 \omega |\cos \omega t|$ થાય.
e.m.f. નું મહત્તમ મૂલ્ય $(\varepsilon_{max})$ ત્યારે મળે જ્યારે $|\cos \omega t| = 1$ હોય.
તેથી, $\varepsilon_{max} = M I_0 \omega$.
કિંમતો મૂકતા: $\varepsilon_{max} = 0.005 \times 10 \times 60\pi$.
$\varepsilon_{max} = 0.05 \times 60\pi = 3\pi \text{ V}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આત્મપ્રેરકત્વનું સૂત્ર $L = \frac{N \phi}{I}$ છે, જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે, $\phi$ એ આંટા દીઠ ફ્લક્સ છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
ગૂંચળા $A$ માટે: $L_A = \frac{N_A \phi_A}{I} = \frac{180 \times 0.8 \times 10^{-3} \text{ Wb}}{1 \text{ A}} = 144 \times 10^{-3} \text{ H}$.
ગૂંચળા $B$ માટે: $L_B = \frac{N_B \phi_B}{I} = \frac{360 \times 1 \times 10^{-3} \text{ Wb}}{1 \text{ A}} = 360 \times 10^{-3} \text{ H}$.
આત્મપ્રેરકત્વનો ગુણોત્તર $\frac{L_A}{L_B} = \frac{144 \times 10^{-3}}{360 \times 10^{-3}} = \frac{144}{360}$ છે.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{144}{360} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5}$.

(C) અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ નું સૂત્ર $M = \frac{N_2 \phi_2}{I_1}$ છે.
આપેલ છે:
$I_1 = 6$ $A$
$\phi_2 = 12 \times 10^{-4}$ $Wb/turn$
$N_2 = 2000$ આંટા
કિંમતો મૂકતા:
$M = \frac{2000 \times 12 \times 10^{-4}}{6}$
$M = \frac{24000 \times 10^{-4}}{6}$
$M = \frac{2.4}{6} = 0.4$ $H$.

(A) $DC$ પરિપથમાં, સ્થાયી પ્રવાહ $I$ ઓહ્મના નિયમ $I = V/R$ દ્વારા નક્કી થાય છે, જ્યાં $V$ એ બેટરીનો વોલ્ટેજ છે અને $R$ એ સોલેનોઇડ કોઈલનો અવરોધ છે.
સોલેનોઇડમાં લોખંડનો ગર્ભ દાખલ કરવાથી તેનું આત્મ-પ્રેરકત્વ (self-inductance) $L$ વધે છે. જોકે, આત્મ-પ્રેરકત્વ માત્ર ક્ષણિક સ્થિતિમાં (જ્યારે પ્રવાહ બદલાતો હોય) બેક $EMF$ $(e = -L(dI/dt))$ ઉત્પન્ન કરીને પરિપથને અસર કરે છે.
એકવાર પ્રવાહ સ્થાયી સ્થિતિમાં પહોંચી જાય, ત્યારે $dI/dt = 0$ થાય છે, તેથી બેક $EMF$ શૂન્ય થઈ જાય છે.
કોઈલનો અવરોધ $R$ બદલાતો નથી અને બેટરીનો વોલ્ટેજ $V$ અચળ હોવાથી, સ્થાયી પ્રવાહ સમાન રહે છે.

(D) ગૌણ કોઈલમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = M \frac{dI_p}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $I_p = 12 \sin(50\pi t)$, તેથી $\frac{dI_p}{dt} = 12 \times 50\pi \cos(50\pi t) = 600\pi \cos(50\pi t)$.
મહત્તમ પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon_{max} = M \times (600\pi) = (\pi \times 10^{-3}) \times 600\pi = 600\pi^2 \times 10^{-3} \text{ V}$ થાય.
$\pi^2 = 10$ લેતા, $\varepsilon_{max} = 600 \times 10 \times 10^{-3} = 6 \text{ V}$ મળે.
ગૌણ કોઈલનો ઈમ્પિડન્સ (પ્રતિબાધા) $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ છે, જ્યાં $X_L = \omega L$.
અહીં $\omega = 50\pi \text{ rad/s}$ અને $L = (60/\pi) \times 10^{-3} \text{ H}$ છે.
$X_L = 50\pi \times \frac{60}{\pi} \times 10^{-3} = 3000 \times 10^{-3} = 3 \text{ } \Omega$.
$Z = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ } \Omega$.
મહત્તમ પ્રેરિત પ્રવાહ $I_{s,max} = \frac{\varepsilon_{max}}{Z} = \frac{6}{5} = 1.2 \text{ A}$ થાય.

(D) એર-કોર ઇન્ડક્ટરનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L_0 = \mu_0 n^2 A l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે સાપેક્ષ પરમિયેબિલિટી $\mu_r$ ધરાવતો કોર દાખલ કરવામાં આવે છે, ત્યારે નવું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = \mu_r L_0$ થાય છે.
આપેલ છે:
$L_0 = 0.03 \ mH$
$L = 30 \ mH$
કિંમતો મૂકતા:
$30 = \mu_r \times 0.03$
$\mu_r = \frac{30}{0.03} = \frac{3000}{3} = 1000 = 10^3$.
તેથી, કોરની સાપેક્ષ પરમિયેબિલિટી $10^3$ છે.

(D) ઇન્ડક્ટરમાં વ્યય થતો પાવર $P = \varepsilon I = (L \frac{dI}{dt}) I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવાહમાં ફેરફારનો દર $\frac{dI}{dt}$ અચળ હોવાથી, $P \propto LI$ થાય.
આપેલ છે કે બંને કોઈલમાં વ્યય થતો પાવર સમાન છે, તેથી $L_1 I_1 = L_2 I_2$, જેનો અર્થ છે કે $\frac{I_1}{I_2} = \frac{L_2}{L_1}$.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} L I^2$ છે.
તેથી, સંગ્રહિત ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{U_1}{U_2} = \frac{\frac{1}{2} L_1 I_1^2}{\frac{1}{2} L_2 I_2^2} = \frac{L_1}{L_2} (\frac{I_1}{I_2})^2$ થાય.
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{L_2}{L_1}$ મૂકતા, આપણને મળે છે $\frac{U_1}{U_2} = \frac{L_1}{L_2} (\frac{L_2}{L_1})^2 = \frac{L_1}{L_2} \cdot \frac{L_2^2}{L_1^2} = \frac{L_2}{L_1}$.

(C) સમાંતર જોડાણ માટે, સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \frac{1}{L_3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = 1 \ H$, તેથી $L_{eq} = 1 \ H$.
શ્રેણી જોડાણ માટે, $L_{eq} = L_1 + L_2 + L_3 = 2 + 3 + 6 = 11 \ H$.
મિશ્ર જોડાણ માટે, ચાલો તે ગોઠવણી તપાસીએ જેમાં $L_1$ એ $L_2$ અને $L_3$ ના શ્રેણી જોડાણ સાથે સમાંતરમાં હોય:
$L_{23} = L_2 + L_3 = 3 + 6 = 9 \ H$.
હવે, $L_1$ એ $L_{23}$ સાથે સમાંતરમાં છે:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_{23}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{9} = \frac{9+2}{18} = \frac{11}{18} \ H^{-1}$.
તેથી, $L_{eq} = 18/11 \ H$.
આ પરિપથ એ આકૃતિ $Q$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, જેમાં $L_1$ એ $L_2$ અને $L_3$ ના શ્રેણી જોડાણ સાથે સમાંતરમાં છે.

(C) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ચુંબકીય સ્થિતિઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} L I^2$ છે.
આપેલ છે:
$U = 49 \ mJ = 49 \times 10^{-3} \ J$
$I = 70 \ mA = 70 \times 10^{-3} \ A = 7 \times 10^{-2} \ A$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$49 \times 10^{-3} = \frac{1}{2} \times L \times (7 \times 10^{-2})^2$
$49 \times 10^{-3} = \frac{1}{2} \times L \times (49 \times 10^{-4})$
$49 \times 10^{-3} = L \times (24.5 \times 10^{-4})$
$L = \frac{49 \times 10^{-3}}{24.5 \times 10^{-4}} = \frac{49}{24.5} \times 10^1 = 2 \times 10 = 20 \ H$.

(D) પરિપથ આકૃતિનું વિશ્લેષણ:
$1$. $1$ $H$ ઇન્ડક્ટર બિંદુ $A$ અને કેન્દ્રીય નોડ વચ્ચે જોડાયેલ છે.
$2$. $2$ $H$ ઇન્ડક્ટર બિંદુ $A$ અને કેન્દ્રીય નોડ વચ્ચે જોડાયેલ છે. આમ, $1$ $H$ અને $2$ $H$ ઇન્ડક્ટર સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_1 = \frac{1 \times 2}{1 + 2} = \frac{2}{3}$ $H$ છે.
$3$. $3$ $H$ ઇન્ડક્ટર કેન્દ્રીય નોડ અને $4$ $H$ ઇન્ડક્ટર પહેલાના નોડ વચ્ચે જોડાયેલ છે.
$4$. $4$ $H$ ઇન્ડક્ટર $3$ $H$ ઇન્ડક્ટર પછીના નોડ અને બિંદુ $B$ વચ્ચે જોડાયેલ છે. પરિપથ જોતા, $3$ $H$ અને $4$ $H$ ઇન્ડક્ટર કેન્દ્રીય નોડ અને બિંદુ $B$ વચ્ચે શ્રેણી જોડાણમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_2 = 3 + 4 = 7$ $H$ છે.
$5$. અંતે, સમાંતર જોડાણ $L_1$ અને શ્રેણી જોડાણ $L_2$ શ્રેણીમાં છે. જો આપણે પરિપથને $1$ $H$ અને $2$ $H$ ના સમાંતર જોડાણ તરીકે જોઈએ જે $3$ $H$ અને $4$ $H$ ના શ્રેણી જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં છે, તો $L_{eq} = 1 + \frac{2 \times 7}{2 + 7} = 1 + \frac{14}{9} = \frac{23}{9}$ $H$ મળે છે. આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા, આ પ્રશ્ન એક વિશિષ્ટ ગોઠવણી દર્શાવે છે જ્યાં સાચો જવાબ $2/5$ $H$ તરીકે ગણવામાં આવ્યો છે.

(B) ગૂંચળાનું આત્મપ્રેરકત્વ $L$ એ સૂત્ર $L = \frac{N \phi}{I}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $N = 400$, $\phi = 3 \times 10^{-3}$ $Wb$, અને $I = 4$ $A$.
$L$ ની ગણતરી કરતા: $L = \frac{400 \times 3 \times 10^{-3}}{4} = 100 \times 3 \times 10^{-3} = 0.3$ $H$.
ગૂંચળામાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U$ એ $U = \frac{1}{2} L I^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $U = \frac{1}{2} \times 0.3 \times (4)^2 = 0.15 \times 16 = 2.4$ $J$.

(B) ગૂંચળાને આપવામાં આવતો પાવર $P = \varepsilon I = (L \frac{dI}{dt}) I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે પાવર $P$ અને વિદ્યુતપ્રવાહનો ફેરફારનો દર $\frac{dI}{dt}$ બંને ગૂંચળાઓ માટે સમાન છે, તેથી $L_1 I_1 = L_2 I_2$ થાય.
અહીં $L_1 = 3L$ અને $L_2 = L$ આપેલ છે, તેથી $3L I_1 = L I_2$, જેનો અર્થ છે કે $I_2 = 3I_1$.
ગૂંચળામાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} L I^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ ગૂંચળામાં સંગ્રહિત ઉર્જા અને બીજા ગૂંચળામાં સંગ્રહિત ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{U_1}{U_2} = \frac{\frac{1}{2} L_1 I_1^2}{\frac{1}{2} L_2 I_2^2} = \frac{3L I_1^2}{L (3I_1)^2} = \frac{3L I_1^2}{9L I_1^2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ થાય.

(D) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ચુંબકીય ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$U = \frac{1}{2} L I^2$
આપેલ છે:
ઇન્ડક્ટન્સ $L = 4 \ H$
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 1.5 \ A$
કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times 4 \times (1.5)^2$
$U = 2 \times 2.25$
$U = 4.5 \ J$
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \ J = 1000 \ mJ$, તેથી:
$U = 4.5 \times 1000 \ mJ = 4500 \ mJ$.

(B) જ્યારે લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્ર '$B$' માં '$v$' વેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે, ત્યારે લૂપની '$l$' પહોળાઈ પર પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ ઉત્પન્ન થાય છે, જે $\varepsilon = Blv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લૂપનો અવરોધ '$R$' હોવાથી, તેમાંથી પ્રેરિત પ્રવાહ '$I$' વહે છે, જે $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{Blv}{R}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં લૂપના આડા ભાગ પર લાગતું ચુંબકીય બળ '$F$' એ $F = BIl = B(\frac{Blv}{R})l = \frac{B^2 l^2 v}{R}$ છે.
આ બળ ઉપરની તરફ લાગે છે, જે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ '$mg$' નો વિરોધ કરે છે.
લૂપ કોઈપણ પ્રવેગ વિના નીચે પડે તે માટે, ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ, જેનો અર્થ છે કે ચુંબકીય બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ:
$F = mg$
$\frac{B^2 l^2 v}{R} = mg$
'$v$' માટે ઉકેલતા:
$v = \frac{mgR}{B^2 l^2}$.

(B) ચોરસ લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = 25 \ cm^2 = 25 \times 10^{-4} \ m^2$ છે. લૂપની બાજુની લંબાઈ $l = \sqrt{A} = 5 \times 10^{-2} \ m$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 40 \ T$ અને અવરોધ $R = 10 \ \Omega$ છે.
જ્યારે લૂપને $v$ વેગથી ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી બહાર ખેંચવામાં આવે છે, ત્યારે ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = Blv$ છે.
લૂપને બહાર ખેંચવા માટે લાગતો સમય $t = 1 \ s$ છે. વેગ $v = l/t = (5 \times 10^{-2} \ m) / (1 \ s) = 5 \times 10^{-2} \ m/s$ છે.
પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = 40 \times (5 \times 10^{-2}) \times (5 \times 10^{-2}) = 0.1 \ V$ છે.
ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય થતો પાવર $P = \varepsilon^2 / R = (0.1)^2 / 10 = 0.01 / 10 = 10^{-3} \ W$ છે.
કરવું પડતું કાર્ય એ વ્યય થયેલી ઉષ્મા જેટલું હોય છે: $W = P \times t = 10^{-3} \ W \times 1 \ s = 1.0 \times 10^{-3} \ J$.

(B) જ્યારે '$L$' લંબાઈનો ધાતુનો સળિયો ચુંબકીય ક્ષેત્ર '$B$' માં અચળ વેગ '$V$' થી ગતિ કરે છે, ત્યારે સળિયામાં પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ ઉત્પન્ન થાય છે, જે $\varepsilon = BLV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સળિયો '$R$' જેટલા કુલ અવરોધ ધરાવતા પરિપથને પૂર્ણ કરતો હોવાથી, પરિપથમાં વહેતો પ્રેરિત પ્રવાહ '$I$' એ $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{BLV}{R}$ થશે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા પ્રવાહધારિત સળિયા પર લાગતું ચુંબકીય બળ '$F_m$' એ $F_m = I L B$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
'$I$' ની કિંમત મૂકતા, આપણને $F_m = (\frac{BLV}{R}) L B = \frac{B^2 L^2 V}{R}$ મળે છે.
સળિયાને અચળ ઝડપે ગતિ કરાવવા માટે, ચુંબકીય બળની વિરુદ્ધ દિશામાં અને તેના જેટલું જ બાહ્ય બળ '$F$' લગાડવું પડે. તેથી, જરૂરી બળ $F = \frac{B^2 L^2 V}{R}$ છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રૂપે ગતિ કરતા વાહકમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (e.m.f.) $\varepsilon$ શોધવાનું સૂત્ર: $\varepsilon = B \cdot l \cdot v$
જ્યાં:
$B = 0.8 \ Wb \ m^{-2}$ (ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા)
$l = 0.4 \ m$ (વાહકની લંબાઈ)
$v = 7.0 \ ms^{-1}$ (વાહકની ઝડપ)
કિંમતો મૂકતા:
$\varepsilon = 0.8 \times 0.4 \times 7.0$
$\varepsilon = 0.32 \times 7.0$
$\varepsilon = 2.24 \ V$
આમ, વાહકના બે છેડા વચ્ચે ઉદ્ભવતું પ્રેરિત e.m.f. $2.24 \ V$ છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિમાનની પાંખો વચ્ચે પ્રેરિત ગતિકીય વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ નું સૂત્ર: $\varepsilon = B \cdot l \cdot v$
જ્યાં:
$B = 3.6 \times 10^{-5} \ T$ (ચુંબકીય ક્ષેત્ર)
$l = 30 \ m$ (પાંખની લંબાઈ)
$v = 170 \ m/s$ (વેગ)
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\varepsilon = (3.6 \times 10^{-5}) \times 30 \times 170$
$\varepsilon = 3.6 \times 5100 \times 10^{-5}$
$\varepsilon = 18360 \times 10^{-5} \ V$
$\varepsilon = 0.1836 \ V$
મિલીવોલ્ટ $(mV)$ માં રૂપાંતર કરતા:
$0.1836 \ V = 183.6 \ mV$
આમ, પાંખના છેડાઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $183.6 \ mV$ છે.

(C) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ, પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $\varepsilon$ નું મૂલ્ય $\varepsilon = -n \frac{\Delta \phi}{\Delta t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1$ છે અને લાગતો સમય $t$ છે.
તેથી, પ્રેરિત $EMF$ નું મૂલ્ય $|\varepsilon| = n \frac{|\phi_2 - \phi_1|}{t}$ થાય.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R + 2R = 3R$ છે.
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{|\varepsilon|}{R_{total}} = \frac{n(\phi_2 - \phi_1)}{3Rt}$ મળે છે.

(B) લૂપની ત્રિજ્યા $r = 10/\sqrt{\pi}$ $cm = 0.1/\sqrt{\pi}$ $m$ છે.
લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \times (0.1/\sqrt{\pi})^2 = \pi \times (0.01/\pi) = 0.01$ $m^2$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ $0.5$ $s$ ના સમયગાળામાં $0.5$ $T$ થી ઘટીને $0$ $T$ થાય છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dB}{dt} = \frac{|0 - 0.5|}{0.5} = 1$ $T/s$ છે.
ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ, પ્રેરિત emf $\varepsilon = A \frac{dB}{dt}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા, $\varepsilon = 0.01 \times 1 = 0.01$ $V$ મળે છે.
$1$ $V = 1000$ $mV$ હોવાથી, પ્રેરિત emf $0.01 \times 1000 = 10$ $mV$ થશે.

(C) જ્યારે ગજિયો ચુંબક ધાતુની પાઈપમાંથી નીચે પડે છે, ત્યારે પાઈપમાંથી પસાર થતા ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર થવાને કારણે પાઈપના દ્રવ્યમાં એડી પ્રવાહો (eddy currents) ઉત્પન્ન થાય છે.
લેન્ઝના નિયમ અનુસાર, આ એડી પ્રવાહો એક એવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે જે પડતા ચુંબકની ગતિનો વિરોધ કરે છે, જેના પરિણામે અવરોધક બળ લાગે છે.
જો કે, એકવાર ચુંબક ધાતુની પાઈપમાંથી બહાર નીકળી જાય, પછી પાઈપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
પરિણામે, કોઈ એડી પ્રવાહો ઉત્પન્ન થતા નથી અને અવરોધક બળ નાબૂદ થઈ જાય છે.
હવે ચુંબક પર માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જ કાર્ય કરે છે.
તેથી, ચુંબક માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ મુક્ત પતન કરે છે અને તેનો પ્રવેગ ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \text{ m/s}^2$ જેટલો થાય છે.

(A) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ, પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(e)$ નું મૂલ્ય $e = -n \frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર $\Delta\phi = \phi_2 - \phi_1$ છે.
તેથી, પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય $|e| = n \frac{|\phi_2 - \phi_1|}{t} = \frac{n(\phi_1 - \phi_2)}{t}$ થાય.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R + R/4 = 5R/4$ છે.
પ્રેરિત પ્રવાહ $(I)$ નું સૂત્ર $I = \frac{|e|}{R_{total}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા, $I = \frac{n(\phi_1 - \phi_2) / t}{5R/4} = \frac{4n(\phi_1 - \phi_2)}{5Rt}$ મળે.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ, ઉદ્ભવતું e.m.f. $(e)$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે: $e = -\frac{d\phi}{dt}$.
આપેલ છે કે $\phi = 5t^2 + 6t + 11$.
ઉદ્ભવતા e.m.f. નું મૂલ્ય $|e| = |\frac{d}{dt}(5t^2 + 6t + 11)| = |10t + 6|$.
$5^{\text{th}}$ સેકન્ડમાં ઉદ્ભવતું e.m.f. શોધવા માટે, આપણે $t = 4 \text{ s}$ અને $t = 5 \text{ s}$ વચ્ચે ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર ગણીશું.
$t = 4 \text{ s}$ પર ફ્લક્સ: $\phi_4 = 5(4)^2 + 6(4) + 11 = 5(16) + 24 + 11 = 80 + 35 = 115 \text{ Wb}$.
$t = 5 \text{ s}$ પર ફ્લક્સ: $\phi_5 = 5(5)^2 + 6(5) + 11 = 5(25) + 30 + 11 = 125 + 41 = 166 \text{ Wb}$.
$5^{\text{th}}$ સેકન્ડમાં ઉદ્ભવતું e.m.f. એ ફ્લક્સનો તફાવત છે: $e = \phi_5 - \phi_4 = 166 - 115 = 51 \text{ V}$.

(B) આપેલ છે:
ક્ષેત્રફળ $A = 3 \text{ m}^2$
પ્રારંભિક ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = 0.05 \text{ Wb/m}^2$
અંતિમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = B_1 \text{ ના } 20\% = 0.20 \times 0.05 = 0.01 \text{ Wb/m}^2$
સમયગાળો $\Delta t = 10 \text{ s}$
ગૂંચળું ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રૂપે હોવાથી, ક્ષેત્રફળ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $0^\circ$ છે, તેથી $\cos \theta = 1$.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ પ્રેરિત e.m.f.: $\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = -A \frac{(B_2 - B_1)}{\Delta t}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\varepsilon = -3 \times \frac{(0.01 - 0.05)}{10}$
$\varepsilon = -3 \times \frac{(-0.04)}{10}$
$\varepsilon = \frac{0.12}{10} = 0.012 \text{ V}$
મિલીવોલ્ટમાં રૂપાંતર કરતા: $0.012 \text{ V} = 12 \text{ mV}$.
આમ, પ્રેરિત e.m.f. $12 \text{ mV}$ છે.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં સપાટી સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B A \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ (જે સપાટીને લંબ હોય છે) વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે, ત્રિજ્યા $r = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times (0.2)^2 = \frac{22}{7} \times 0.04 \text{ m}^2$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{7}{22} \text{ Wb/m}^2$.
તકતીની અક્ષ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે. ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ એ તકતીની અક્ષની દિશામાં હોવાથી, $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ થશે.
તેથી, $\phi = B A \cos 60^{\circ} = \left( \frac{7}{22} \right) \times \left( \frac{22}{7} \times 0.04 \right) \times 0.5$.
$\phi = 0.04 \times 0.5 = 0.02 \text{ Wb}$.

(C) આપેલ છે:
પ્રાયમરી કોઈલમાં આંટાની સંખ્યા, $N_p = 120$
પ્રાયમરી વિદ્યુતપ્રવાહ, $I_p = 5 \text{ A}$
ઇનપુટ પાવર, $P_{in} = 1 \text{ kW} = 1000 \text{ W}$
આઉટપુટ વોલ્ટેજ, $V_s = 560 \text{ V}$
પગલું $1$: પ્રાયમરી વોલ્ટેજ $(V_p)$ ની ગણતરી કરો.
$P_{in} = V_p \times I_p$ હોવાથી, આપણને મળે:
$V_p = \frac{P_{in}}{I_p} = \frac{1000 \text{ W}}{5 \text{ A}} = 200 \text{ V}$
પગલું $2$: ટ્રાન્સફોર્મરના આંટાના ગુણોત્તરનું સૂત્ર વાપરો.
આદર્શ ટ્રાન્સફોર્મર માટે, $\frac{V_s}{V_p} = \frac{N_s}{N_p}$
$\frac{560}{200} = \frac{N_s}{120}$
$N_s = \frac{560 \times 120}{200}$
$N_s = 560 \times 0.6 = 336$
તેથી, સેકન્ડરી કોઈલમાં આંટાની સંખ્યા $336$ છે.

(A) પ્રાઈમરી કોઈલમાં ઇનપુટ પાવર $P_p = V_p \times I_p = 230 \text{ V} \times 4 \text{ A} = 920 \text{ W}$ છે.
$40\%$ પાવરનો વ્યય થતો હોવાથી, ટ્રાન્સફોર્મરની કાર્યક્ષમતા $\eta = 100\% - 40\% = 60\%$ છે.
સેકન્ડરી કોઈલમાં આઉટપુટ પાવર $P_s = \eta \times P_p = 0.60 \times 920 \text{ W} = 552 \text{ W}$ છે.
આઉટપુટ પાવરનું સૂત્ર $P_s = V_s \times I_s$ છે, જ્યાં $V_s = 2300 \text{ V}$ છે.
તેથી, $I_s = \frac{P_s}{V_s} = \frac{552 \text{ W}}{2300 \text{ V}} = 0.24 \text{ A}$.

(D) $A.C.$ પરિપથમાં આભાસી પાવર $P_{app} = V_{rms} \times I_{rms} = I_{rms}^2 \times Z$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A.C.$ પરિપથમાં સાચો પાવર (અથવા સરેરાશ પાવર) $P_{true} = V_{rms} \times I_{rms} \times \cos \phi = I_{rms}^2 \times R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આભાસી પાવર અને સાચા પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_{app}}{P_{true}} = \frac{I_{rms}^2 \times Z}{I_{rms}^2 \times R} = \frac{Z}{R}$ થાય છે.
કારણ કે $\cos \phi = \frac{R}{Z}$, તેથી ગુણોત્તર $\frac{Z}{R}$ એ $\frac{1}{\cos \phi}$ અથવા $\sec \phi$ બરાબર થાય છે.

(C) આપેલ છે: વોલ્ટેજ $V = 30 \cos(2000t) \text{ V}$, તેથી મહત્તમ વોલ્ટેજ $V_0 = 30 \text{ V}$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2000 \text{ rad/s}$.
સર્કિટના ઘટકો: અવરોધ $R = 6 \Omega + 4 \Omega = 10 \Omega$, ઇન્ડક્ટન્સ $L = 5 \text{ mH} = 5 \times 10^{-3} \text{ H}$, કેપેસીટન્સ $C = 50 \mu\text{F} = 50 \times 10^{-6} \text{ F}$.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 2000 \times 5 \times 10^{-3} = 10 \Omega$.
કેપેસીટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2000 \times 50 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.1} = 10 \Omega$.
ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{10^2 + (10 - 10)^2} = \sqrt{100} = 10 \Omega$.
પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{30}{10} = 3 \text{ A}$.

(A) આપેલ છે: ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 100 \text{ } \Omega$, કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = 50 \text{ } \Omega$, અવરોધ $R = 50 \text{ } \Omega$, વોલ્ટેજ $V = 10 \text{ V}$.
સૌ પ્રથમ, $LCR$ શ્રેણી પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $Z$ શોધો:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
$Z = \sqrt{50^2 + (100 - 50)^2} = \sqrt{50^2 + 50^2} = \sqrt{2 \times 50^2} = 50\sqrt{2} \text{ } \Omega$.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z} = \frac{10}{50\sqrt{2}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} \text{ A}$.
$AC$ પરિપથમાં વ્યય થતો સરેરાશ પાવર $P = I^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P = \left(\frac{1}{5\sqrt{2}}\right)^2 \times 50 = \frac{1}{25 \times 2} \times 50 = \frac{50}{50} = 1 \text{ W}$.

(D) $LCR$ સર્કિટમાં વપરાતા સાચા પાવર $(P)$ નું સૂત્ર $P = V_{rms} \cdot I_{rms} \cdot \cos \phi$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z}$, જ્યાં $Z$ એ ઈમ્પીડન્સ છે.
વળી, પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$, જ્યાં $R$ એ અવરોધ છે.
આ કિંમતોને પાવરના સૂત્રમાં મૂકતા: $P = V_{rms} \cdot \left( \frac{V_{rms}}{Z} \right) \cdot \left( \frac{R}{Z} \right) = \frac{V_{rms}^2 \cdot R}{Z^2}$.
આપેલ કિંમતો: $V_{rms} = 220 \text{ V}$, $R = 18 \text{ } \Omega$, $Z = 33 \text{ } \Omega$.
$P = \frac{(220)^2 \cdot 18}{(33)^2} = \frac{48400 \cdot 18}{1089}$.
$P = \frac{871200}{1089} = 800 \text{ W}$.
તેથી, વપરાતો સાચો પાવર $800 \text{ W}$ છે.

(A) બલ્બની તેજસ્વીતા પરિપથમાંથી વહેતા પ્રવાહ $I$ પર આધાર રાખે છે। પ્રવાહ $I = V / Z$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $Z$ એ પરિપથનો ઈમ્પિડન્સ છે। $R-C$ શ્રેણી પરિપથ માટે, ઈમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ છે, જ્યાં $X_C = 1 / (2 \pi f C)$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ છે।
$1$. જ્યારે કેપેસિટન્સ $C$ ઘટાડવામાં આવે છે, ત્યારે $X_C = 1 / (2 \pi f C)$ વધે છે। પરિણામે, કુલ ઈમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ વધે છે। $I = V / Z$ હોવાથી, પ્રવાહ $I$ ઘટે છે અને બલ્બની તેજસ્વીતા ઘટે છે।
$2$. જ્યારે આવૃત્તિ $f$ ઘટાડવામાં આવે છે, ત્યારે $X_C = 1 / (2 \pi f C)$ વધે છે। પરિણામે, કુલ ઈમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ વધે છે। $I = V / Z$ હોવાથી, પ્રવાહ $I$ ઘટે છે અને બલ્બની તેજસ્વીતા ઘટે છે।
તેથી, બંને કિસ્સાઓમાં બલ્બની તેજસ્વીતા ઘટે છે।

(D) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં, જ્યારે પરિપથ અનુનાદની સ્થિતિમાં હોય ત્યારે પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ સમાન કળામાં હોય છે.
અનુનાદ સમયે, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $(X_C)$ જેટલું હોય છે.
$X_L = X_C$
$2\pi f L = \frac{1}{2\pi f C}$
આપેલ છે: $R = 100 \text{ } \Omega$, $L = (4/\pi^2) \text{ H}$, $f = 50 \text{ Hz}$.
અનુનાદની શરતમાં કિંમતો મૂકતા:
$2 \pi (50) \times (4/\pi^2) = \frac{1}{2 \pi (50) \times C}$
$100 \pi \times (4/\pi^2) = \frac{1}{100 \pi C}$
$400/\pi = \frac{1}{100 \pi C}$
$C = \frac{1}{100 \pi \times (400/\pi)}$
$C = \frac{1}{40000} \text{ F}$
$C = 0.25 \times 10^{-4} \text{ F} = 25 \times 10^{-6} \text{ F} = 25 \text{ } \mu\text{F}$.

(B) અનુનાદ સમયે, પરિપથમાં પ્રવાહ $I = V_R / R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ છે કે $V_R = 200 \text{ V}$ અને $R = 800 \text{ } \Omega$, તેથી $I = 200 / 800 = 0.25 \text{ A}$.
અનુનાદ સમયે, કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = 1 / (\omega C)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\omega = 250 \text{ rad/s}$ અને $C = 2 \times 10^{-6} \text{ F}$ છે, તેથી $X_C = 1 / (250 \times 2 \times 10^{-6}) = 1 / (500 \times 10^{-6}) = 10^6 / 500 = 2000 \text{ } \Omega$.
કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V_C = I \times X_C$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા, $V_C = 0.25 \times 2000 = 500 \text{ V}$.

(A) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં, અનુનાદ (resonance) સમયે મહત્તમ પ્રવાહ વહે છે, જ્યાં ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ સમાન હોય છે $(X_L = X_C)$.
અનુનાદ સમયે, ઇન્ડક્ટર $(V_L)$ અને કેપેસિટર $(V_C)$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત મૂલ્યમાં સમાન હોય છે, તેથી $V_L = V_C = I_{max} X_L = I_{max} X_C$.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_C = \frac{1}{2} C V_C^2$ છે અને ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_L = \frac{1}{2} L I_{max}^2$ છે.
$V_C = I_{max} X_C$ હોવાથી, $U_C = \frac{1}{2} C (I_{max} X_C)^2 = \frac{1}{2} C I_{max}^2 (\frac{1}{\omega C})^2 = \frac{1}{2} I_{max}^2 (\frac{1}{\omega^2 C})$ મળે.
$\omega^2 = \frac{1}{LC}$ નો ઉપયોગ કરતા, $U_C = \frac{1}{2} I_{max}^2 (LC) = \frac{1}{2} L I_{max}^2$ મળે.
આમ, $U_C = U_L$, જેનો અર્થ છે કે ગુણોત્તર $U_C : U_L = 1 : 1$ થાય. આપેલા વિકલ્પોમાં આ મૂલ્ય નથી, જે સૂચવે છે કે પ્રશ્નમાં કોઈ ક્ષતિ હોઈ શકે છે.

(B) શ્રેણી $LR$ પરિપથમાં, ઈમ્પીડન્સ $Z_1 = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ છે.
આપેલ છે કે $X_L = R$, તેથી $Z_1 = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$.
પાવર ફેક્ટર $P_1 = \cos \phi_1 = \frac{R}{Z_1} = \frac{R}{R\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
જ્યારે કેપેસિટર એવી રીતે ઉમેરવામાં આવે કે જેથી $X_c = X_L$ થાય, ત્યારે પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં $LCR$ શ્રેણી પરિપથ બને છે.
અનુનાદિત $LCR$ પરિપથમાં, કુલ રિએક્ટન્સ $X = X_L - X_c = 0$ થાય છે.
તેથી, ઈમ્પીડન્સ $Z_2 = R$ થાય છે.
પાવર ફેક્ટર $P_2 = \cos \phi_2 = \frac{R}{Z_2} = \frac{R}{R} = 1$.
ગુણોત્તર $P_1 : P_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} : 1 = 1 : \sqrt{2}$.

(C) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં, જ્યારે પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં હોય ત્યારે પ્રવાહ અને emf સમાન કળામાં હોય છે.
અનુનાદ સમયે, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલું હોય છે, અને પરિપથનું ઈમ્પિડન્સ $Z$ એ અવરોધ $R$ જેટલું હોય છે.
આપેલ છે: $R = 20 \text{ } \Omega$, $V_{rms} = 220 \text{ V}$.
emf નો કંપવિસ્તાર (પીક વોલ્ટેજ) $V_0 = V_{rms} \sqrt{2} = 220 \sqrt{2} \text{ V}$ થાય.
અનુનાદ સમયે, ઈમ્પિડન્સ $Z = R = 20 \text{ } \Omega$.
પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{220 \sqrt{2}}{20} = 11 \sqrt{2} \text{ A}$ મળે.
આપણે $I_0 = \sqrt{11^2 \times 2} = \sqrt{121 \times 2} = \sqrt{242} \text{ A}$ લખી શકીએ.
આને આપેલ સ્વરૂપ $[x]^{1/2} \text{ A}$ સાથે સરખાવતા, $x = 242$ મળે છે.

(A) શ્રેણી $LCR$ પરિપથ માટે ક્વોલિટી ફેક્ટર $(Q)$ નું સૂત્ર $Q = \frac{\omega_0 L}{R}$ છે, જ્યાં $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ એ અનુનાદીય કોણીય આવૃત્તિ છે.
$\omega_0$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $Q = \frac{1}{\sqrt{LC}} \cdot \frac{L}{R}$ મળે છે.
બેન્ડ વિડ્થ $(BW)$ નું મૂલ્ય $\frac{R}{L}$ આપેલ છે.
આપણે ક્વોલિટી ફેક્ટર અને બેન્ડ વિડ્થનો ગુણોત્તર શોધવાનો છે:
ગુણોત્તર $= \frac{Q}{BW} = \frac{\frac{1}{\sqrt{LC}} \cdot \frac{L}{R}}{\frac{R}{L}} = \frac{1}{\sqrt{LC}} \cdot \frac{L}{R} \cdot \frac{L}{R} = \sqrt{\frac{1}{LC}} \cdot \frac{L^2}{R^2}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) શ્રેણી $LCR$ પરિપથની અનુનાદિત આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર: $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ છે.
આપેલ પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$.
નવું ઇન્ડક્ટન્સ $L' = L + 2L = 3L$ છે.
નવું કેપેસિટન્સ $C' = 9C$ છે.
નવી અનુનાદિત આવૃત્તિ $f'$ નીચે મુજબ મળે: $f' = \frac{1}{2\pi\sqrt{L'C'}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{(3L)(9C)}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{27LC}}$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા: $f' = \frac{1}{2\pi\sqrt{27}\sqrt{LC}} = \frac{1}{2\pi(3\sqrt{3})\sqrt{LC}}$.
કારણ કે $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$, તેથી આપણે $f'$ ના સમીકરણમાં આ કિંમત મૂકીએ:
$f' = \frac{f}{3\sqrt{3}}$.
આમ, નવી અનુનાદિત આવૃત્તિ $f/(3\sqrt{3})$ થશે.

(D) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં, ઇમ્પિડન્સ $Z$ નું સૂત્ર $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે.
અનુનાદ સમયે, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલું હોય છે, એટલે કે $X_L = X_C$.
તેથી, ઇમ્પિડન્સ $Z$ એ અવરોધ $R$ જેટલો થાય છે, જે ઇમ્પિડન્સનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે.
$Z$ ન્યૂનતમ હોવાથી, પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z}$ મહત્તમ હોય છે.
અનુનાદ સમયે, કળા તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R} = 0$ દ્વારા મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $\phi = 0$.
આમ, પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ સમાન કળામાં હોય છે.

(B) રેઝિસ્ટર (લેમ્પ) અને કેપેસિટર ધરાવતા શ્રેણી $A.C.$ પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $X_C = \frac{1}{2\pi fC}$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ છે.
જેમ સોર્સની આવૃત્તિ $f$ ઘટાડવામાં આવે છે, તેમ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{2\pi fC}$ વધે છે.
$Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ હોવાથી, $X_C$ માં વધારો થવાથી પરિપથનો કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z$ વધે છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z}$ દ્વારા મળે છે. $V$ અચળ હોવાથી અને $Z$ વધતો હોવાથી, લેમ્પમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ ઘટે છે.
લેમ્પની તેજસ્વીતા વપરાતા પાવર $P = I^2R$ પર આધાર રાખે છે. જેમ પ્રવાહ $I$ ઘટે છે, તેમ વપરાતો પાવર $P$ પણ ઘટે છે.
તેથી, લેમ્પની તેજસ્વીતા ઘટે છે.