MHT CET 2026 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ, $\lambda_m T = \text{અચળ}$, તેથી $\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2$.
અહીં $\lambda_1 = \lambda$ અને $\lambda_2 = \frac{2\lambda}{3}$ આપેલ છે.
તેથી, $\lambda T_1 = \frac{2\lambda}{3} T_2$, જેનો અર્થ છે કે $T_2 = \frac{3}{2} T_1$.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ, કૃષ્ણ પદાર્થની ઉત્સર્જન શક્તિ $E$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના ચતુર્થ ઘાતને સમપ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે $E \propto T^4$.
તેથી, $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$.
$T_2 = \frac{3}{2} T_1$ મૂકતા, આપણને મળે છે $\frac{E_2}{E} = \left( \frac{3/2 T_1}{T_1} \right)^4 = \left( \frac{3}{2} \right)^4 = \frac{81}{16}$.
આમ, નવી ઉત્સર્જન શક્તિ $E_2 = \frac{81}{16} E$ થશે.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેનનો નિયમ મુજબ, કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉર્જા ઉત્સર્જનનો દર (પાવર $P$) તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ ના ચતુર્થ ઘાત (Kelvin માં) ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$P \propto T^4$
અહીં આપેલ તાપમાન $827^{\circ}\text{C}$ છે.
તેને કેલ્વિન $(T)$ માં ફેરવતા:
$T = 827 + 273 = 1100 \text{ K}$
તેથી, ઉર્જા ઉત્સર્જનનો દર $(1100)^4$ ના પ્રમાણમાં છે.

(C) કુલ આપાત ઉર્જા $Q = 170 \text{ J}$ છે.
પરાવર્તિત ઉર્જા $Q_r = 17 \text{ J}$ છે.
પરાવર્તનનો ગુણાંક $r = Q_r / Q = 17 / 170 = 0.1$ છે.
શોષણનો ગુણાંક $a = 0.7$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ સપાટી માટે, $r + a + t = 1$, જ્યાં $t$ એ પારગમનનો ગુણાંક છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.1 + 0.7 + t = 1$.
$0.8 + t = 1 \implies t = 0.2$.
પારગમિત ઉર્જા $Q_t = t \times Q = 0.2 \times 170 = 34 \text{ J}$ થાય.

(B) કૃષ્ણ પદાર્થ (black body) એ એક આદર્શ ભૌતિક પદાર્થ છે જે તેના પર આપાત થતા તમામ વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણોનું શોષણ કરે છે.
પ્લાન્કના કૃષ્ણ પદાર્થના વિકિરણના નિયમ મુજબ, કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત વિકિરણની તીવ્રતા તેની તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ અને તાપમાન $(T)$ પર આધાર રાખે છે.
તીવ્રતાનું વિતરણ બધી તરંગલંબાઇઓ માટે સમાન હોતું નથી.
ચોક્કસ તાપમાન માટે, તીવ્રતા તરંગલંબાઇ સાથે વધે છે અને એક મહત્તમ મૂલ્ય (જે મહત્તમ તરંગલંબાઇ $\lambda_{max}$ ને અનુરૂપ છે) સુધી પહોંચે છે, ત્યારબાદ તરંગલંબાઇ વધતા તીવ્રતા ઘટે છે.
તેથી,'બધી જ તરંગલંબાઇ માટે તીવ્રતા સમાન હોય છે' તે વિધાન ખોટું છે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ, ઉષ્મા ગુમાવવાનો ચોખ્ખો દર $P = \sigma A e (T^4 - T_0^4)$ છે.
આપેલ છે:
ગોળાનું પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 600 \text{ K}$.
પર્યાવરણનું તાપમાન $T_0 = 200 \text{ K}$.
ઠંડા પડવાનો દર $R \propto (T_1^4 - T_0^4)$.
તેથી, $R = k(600^4 - 200^4)$.
જ્યારે તાપમાન ઘટીને $T_2 = 400 \text{ K}$ થાય, ત્યારે નવો દર $R' = k(400^4 - 200^4)$.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{R'}{R} = \frac{400^4 - 200^4}{600^4 - 200^4} = \frac{(400^2 - 200^2)(400^2 + 200^2)}{(600^2 - 200^2)(600^2 + 200^2)}$
$= \frac{120000 \times 200000}{320000 \times 400000} = \frac{240}{1280} = \frac{3}{16}$.
આમ, $R' = \frac{3}{16}R$.

(A) વિનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ, જે તરંગલંબાઈ $\lambda_m$ પર કૃષ્ણ પદાર્થની વર્ણપટ ઉત્સર્જન શક્તિ મહત્તમ હોય છે તે $\lambda_m = \frac{b}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $b = 2.89 \times 10^6 \text{ nm K}$ અને $T = 5780 \text{ K}$ આપેલ છે.
તેથી, $\lambda_m = \frac{2.89 \times 10^6}{5780} \approx 500 \text{ nm}$.
કારણ કે મહત્તમ ઉત્સર્જન $\lambda_m = 500 \text{ nm}$ પર થાય છે, તેથી $500 \text{ nm}$ પર ઉર્જા ઘનતા $U_2$ એ મહત્તમ છે.
$\lambda_m$ કરતા નાની તરંગલંબાઈ $(300 \text{ nm})$ અને મોટી તરંગલંબાઈ $(900 \text{ nm})$ માટે, ઉર્જા ઘનતા મહત્તમ મૂલ્ય કરતા ઓછી હોય છે.
આમ, $U_2$ એ મહત્તમ છે, અને $U_1$ તથા $U_3$ ની સરખામણી કરતા, કૃષ્ણ પદાર્થના વિકિરણનો વક્ર ટૂંકી તરંગલંબાઈ તરફ વધુ તીવ્ર હોય છે.
તેથી, $U_1 < U_2$ અને $U_3 < U_2$, એટલે કે $U_1 < U_2 > U_3$.

(D) ન્યૂટનના શીતલન (ઠંડા પડવાના) નિયમ મુજબ, વિકિરણ માટે ઠંડા પડવાનો દર $\frac{dT}{dt}$ એ $(T^4 - T_0^4)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે, જ્યાં $T$ એ પદાર્થનું તાપમાન છે અને $T_0$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
આપેલ છે કે $T_1 = 600 \text{ K}$, $T_0 = 300 \text{ K}$, અને ઠંડા પડવાનો દર $R = k(T_1^4 - T_0^4)$.
$R = k(600^4 - 300^4) = k(300^4)(2^4 - 1^4) = k(300^4)(15)$.
હવે, $T_2 = 400 \text{ K}$ તાપમાને, ઠંડા પડવાનો દર $R' = k(400^4 - 300^4) = k(300^4)((\frac{4}{3})^4 - 1^4) = k(300^4)(\frac{256}{81} - 1) = k(300^4)(\frac{175}{81})$.
$R'$ ને $R$ વડે ભાગતા:
$\frac{R'}{R} = \frac{k(300^4)(\frac{175}{81})}{k(300^4)(15)} = \frac{175}{81 \times 15} = \frac{175}{1215} = \frac{35}{243}$.
આપેલ છે કે $R' = \frac{x}{243}R$, તેથી $\frac{x}{243} = \frac{35}{243}$, એટલે કે $x = 35$.

(D) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ, કૃષ્ણ પદાર્થની મહત્તમ ઉત્સર્જન તરંગલંબાઈ $(\lambda_m)$ અને નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ નો ગુણાકાર અચળ હોય છે.
$\lambda_m T = b$ (જ્યાં $b$ એ વીનનો અચળાંક છે).
તેથી, $T \propto \frac{1}{\lambda_m}$.
આપેલ છે:
$\lambda_A = 3.9 \times 10^{-7} \text{ m}$
$\lambda_B = 5.2 \times 10^{-7} \text{ m}$
તાપમાનનો ગુણોત્તર $\frac{T_A}{T_B} = \frac{\lambda_B}{\lambda_A}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{T_A}{T_B} = \frac{5.2 \times 10^{-7}}{3.9 \times 10^{-7}} = \frac{5.2}{3.9} = \frac{52}{39} = \frac{4}{3}$.
આમ, ગુણોત્તર $4:3$ છે.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં, દરેક સળિયામાંથી ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $(H)$ સમાન હોય છે કારણ કે તેઓ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H = \frac{KA(T_{high} - T_{low})}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સળિયા સમાન હોવાથી, બધા માટે $A$ અને $L$ સમાન છે.
પ્રથમ સળિયા માટે: $H = \frac{(2K)A(3T - T_1)}{L}$
બીજા સળિયા માટે: $H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{L}$
ત્રીજા સળિયા માટે: $H = \frac{(2K)A(T_2 - T)}{L}$
ઉષ્મા પ્રવાહના દરોને સરખાવતા:
$2(3T - T_1) = (T_1 - T_2) = 2(T_2 - T)$
$2(3T - T_1) = (T_1 - T_2)$ પરથી:
$6T - 2T_1 = T_1 - T_2 \implies 3T_1 - T_2 = 6T$ --- $(1)$
$(T_1 - T_2) = 2(T_2 - T)$ પરથી:
$T_1 - T_2 = 2T_2 - 2T \implies T_1 - 3T_2 = -2T$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણતા: $3T_1 - 9T_2 = -6T$ --- $(3)$
$(1)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા: $(3T_1 - T_2) + (3T_1 - 9T_2) = 6T - 6T$
$6T_1 - 10T_2 = 0 \implies 6T_1 = 10T_2$
તેથી, $T_1/T_2 = 10/6 = 5/3$.

(C) ઉષ્મીય વાહકતાનો ગુણાંક, જેને $K$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે, તે દ્રવ્યનો આંતરિક ગુણધર્મ છે.
તે પદાર્થની ઉષ્માનું વહન કરવાની ક્ષમતા દર્શાવે છે.
તે દ્રવ્યનો ગુણધર્મ હોવાથી, તે પદાર્થના ભૌતિક પરિમાણો જેવા કે તેની લંબાઈ, આડછેદનું ક્ષેત્રફળ કે દળ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી, તે માત્ર સળિયાના દ્રવ્ય પર જ આધાર રાખે છે.

(B) સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R_{th}$ સૂત્ર $R_{th} = \frac{L}{kA}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $L$ એ લંબાઈ છે, $k$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે, અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે કે બંને સળિયાઓનો ઉષ્મીય અવરોધ સમાન છે $(R_{th1} = R_{th2})$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ સમાન છે $(A_1 = A_2 = A)$, તેથી:
$\frac{L_1}{k_1 A} = \frac{L_2}{k_2 A}$
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{L_1}{k_1} = \frac{L_2}{k_2}$ મળે, અથવા $\frac{L_1}{L_2} = \frac{k_1}{k_2}$.
ઉષ્મીય વાહકતાનો ગુણોત્તર $\frac{k_1}{k_2} = \frac{6}{5}$ આપેલ હોવાથી, તેમની લંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{L_1}{L_2} = \frac{6}{5}$ થશે.

(C) નળાકાર સળિયામાંથી ઉષ્માના વહનનો દર $H$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $H = \frac{kA(T_1 - T_2)}{L}$, જ્યાં $k$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે, $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $L$ એ સળિયાની લંબાઈ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી, સૂત્ર $H = \frac{k \pi r^2 (T_1 - T_2)}{L}$ બને છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ માટે: $H_1 = \frac{k \pi r^2 (T_1 - T_2)}{L}$.
જ્યારે તમામ પરિમાણો બમણા કરવામાં આવે, ત્યારે નવી ત્રિજ્યા $r' = 2r$ અને નવી લંબાઈ $L' = 2L$ થાય છે.
ઉષ્માના વહનનો નવો દર $H_2$ આ મુજબ છે: $H_2 = \frac{k \pi (2r)^2 (T_1 - T_2)}{2L} = \frac{k \pi (4r^2) (T_1 - T_2)}{2L} = 2 \left[ \frac{k \pi r^2 (T_1 - T_2)}{L} \right]$.
તેથી, $H_2 = 2H_1$.

(B) વહન દ્વારા સળિયામાંથી ઉષ્મા વહનનો દર (અથવા ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{L}$
જ્યાં $K$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે, $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે, $(T_1 - T_2)$ એ તાપમાનનો તફાવત છે અને $L$ એ સળિયાની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે બંને સળિયા માટે ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર સમાન છે:
$H_1 = H_2$
$\frac{K_1 A_1 (T_1 - T_2)}{L} = \frac{K_2 A_2 (T_1 - T_2)}{L}$
કારણ કે બંને સળિયા માટે લંબાઈ $L$ અને તાપમાનનો તફાવત $(T_1 - T_2)$ સમાન છે, તેથી આપણે તેમને બંને બાજુથી દૂર કરી શકીએ છીએ:
$K_1 A_1 = K_2 A_2$
તેથી, સાચો સંબંધ $A_1 K_1 = A_2 K_2$ છે.

(D) સ્થાયી અવસ્થામાં, શ્રેણીમાં જોડાયેલા બંને સ્લેબમાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $(H)$ સમાન હોય છે.
ધારો કે સંપર્ક સપાટીનું તાપમાન $T$ છે.
પ્રથમ સ્લેબમાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $H = \frac{KA(T_2 - T)}{x}$ છે.
બીજા સ્લેબમાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $H = \frac{(2K)A(T - T_1)}{4x} = \frac{KA(T - T_1)}{2x}$ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{KA(T_2 - T)}{x} = \frac{KA(T - T_1)}{2x}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $T_2 - T = \frac{T - T_1}{2}$ મળે, જે $2T_2 - 2T = T - T_1$ અથવા $3T = 2T_2 + T_1$ આપે છે, તેથી $T = \frac{2T_2 + T_1}{3}$.
$T$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $H = \frac{KA}{x} \left( T_2 - \frac{2T_2 + T_1}{3} \right) = \frac{KA}{x} \left( \frac{3T_2 - 2T_2 - T_1}{3} \right) = \frac{KA(T_2 - T_1)}{3x}$.
આને આપેલ સમીકરણ $\left[ \frac{A(T_2 - T_1)K}{x} \right] \cdot f$ સાથે સરખાવતા, આપણને $f = 1/3$ મળે છે.

(B) સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R_{th}$ સૂત્ર $R_{th} = \frac{L}{kA}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $L$ એ લંબાઈ છે, $k$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે, અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે કે બંને સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ સમાન છે $(R_{th1} = R_{th2})$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ સમાન છે $(A_1 = A_2 = A)$, તેથી:
$\frac{L_1}{k_1 A} = \frac{L_2}{k_2 A}$
આ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતા $\frac{L_1}{k_1} = \frac{L_2}{k_2}$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $\frac{L_1}{L_2} = \frac{k_1}{k_2}$.
ઉષ્મીય વાહકતાનો ગુણોત્તર $\frac{k_1}{k_2} = \frac{4}{3}$ આપેલ હોવાથી, લંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{L_1}{L_2} = \frac{4}{3}$ થશે.

(C) ધારો કે દરેક સળિયાની લંબાઈ '$L$',આડછેદનું ક્ષેત્રફળ '$A$' અને ઉષ્મીય વાહકતા '$K$' છે.
કિસ્સો $(1)$: સળિયા સમાંતર જોડાયેલા છે.
સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ '$R_{p}$' નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{p}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{2}{R}$, જ્યાં $R = \frac{L}{KA}$.
તેથી, $R_{p} = \frac{R}{2} = \frac{L}{2KA}$.
વહન પામતી ઉષ્મા $Q = \frac{\Delta T}{R_{p}} \times t = \frac{2KA \Delta T}{L} \times t$.
કિસ્સો $(2)$: સળિયા શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ '$R_{s}$' નીચે મુજબ મળે છે:
$R_{s} = R + R = 2R = \frac{2L}{KA}$.
વહન પામતી ઉષ્મા $Q = \frac{\Delta T}{R_{s}} \times t'$, જ્યાં '$t'$' એ નવો સમય છે.
$Q = \frac{\Delta T}{2L/KA} \times t' = \frac{KA \Delta T}{2L} \times t'$.
બંને કિસ્સાઓમાં વહન પામતી ઉષ્માને સરખાવતા:
$\frac{2KA \Delta T}{L} \times t = \frac{KA \Delta T}{2L} \times t'$
$2t = \frac{t'}{2}$
$t' = 4t$.

(C) પગલું $1$: $0^{\circ}\text{C}$ તાપમાનના $15 \text{ g}$ બરફને $0^{\circ}\text{C}$ તાપમાનના પાણીમાં ઓગળવા માટે જરૂરી ઉષ્માની ગણતરી કરો.
$Q_1 = m_{\text{ice}} \times L_{\text{ice}} = 15 \text{ g} \times 80 \text{ cal/g} = 1200 \text{ cal}$.
પગલું $2$: પાણી અને પાત્ર દ્વારા $40^{\circ}\text{C}$ થી $0^{\circ}\text{C}$ સુધી ઠંડા થતી વખતે મુક્ત થતી ઉષ્માની ગણતરી કરો.
$Q_2 = m_{\text{total}} \times S_{\text{water}} \times \Delta T = 60 \text{ g} \times 1 \text{ cal/g}^{\circ}\text{C} \times (40^{\circ}\text{C} - 0^{\circ}\text{C}) = 2400 \text{ cal}$.
પગલું $3$: અહીં $Q_2 > Q_1$ હોવાથી, બરફ સંપૂર્ણપણે ઓગળી જશે અને બાકી રહેલી ઉષ્મા કુલ પાણીનું તાપમાન વધારશે.
બરફ ઓગળ્યા પછી બાકી રહેલી ઉષ્મા = $2400 \text{ cal} - 1200 \text{ cal} = 1200 \text{ cal}$.
પગલું $4$: પાણીનું કુલ દળ = $15 \text{ g} + 60 \text{ g} = 75 \text{ g}$.
ધારો કે અંતિમ તાપમાન $T_f$ છે.
$1200 \text{ cal} = 75 \text{ g} \times 1 \text{ cal/g}^{\circ}\text{C} \times (T_f - 0^{\circ}\text{C})$.
$T_f = 1200 / 75 = 16^{\circ}\text{C}$.

(A) કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ, ધાતુ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
ધાતુ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = $C_{metal} \times \Delta T_{metal} = C_{metal} \times (850 - 350) = 500 \times C_{metal}$.
પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = $m_{water} \times c_{water} \times \Delta T_{water} = 1 \text{ kg} \times 4200 \text{ J/kg} \cdot \text{K} \times (350 - 300) = 1 \times 4200 \times 50 = 210000 \text{ J}$.
બંનેને સરખાવતા: $500 \times C_{metal} = 210000$.
$C_{metal} = \frac{210000}{500} = 420 \text{ J/K}$.

(B) પાણીનું ઉત્કલનબિંદુ સેલ્સિયસ માપક્રમ પર $100^{\circ}C$ અને ફેરનહીટ માપક્રમ પર $212^{\circ}F$ છે.
શરૂઆતમાં, બંને થર્મોમીટર ઉત્કલનબિંદુ પર છે: $T_C = 100^{\circ}C$ અને $T_F = 212^{\circ}F$.
તાપમાન ત્યાં સુધી ઘટાડવામાં આવે છે જ્યાં સુધી ફેરનહીટ થર્મોમીટર $140^{\circ}F$ વાંચે.
રૂપાંતરણ સૂત્ર $T_C = \frac{5}{9}(T_F - 32)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_C = \frac{5}{9}(140 - 32) = \frac{5}{9}(108) = 5 \times 12 = 60^{\circ}C$.
સેલ્સિયસ માપક્રમ પર શરૂઆતનું તાપમાન $100^{\circ}C$ હતું અને અંતિમ તાપમાન $60^{\circ}C$ છે.
તેથી, તાપમાનમાં થયેલો ઘટાડો $100^{\circ}C - 60^{\circ}C = 40^{\circ}C$ છે.

(A) સેલ્સિયસ સ્કેલ પર તાપમાનનો ફેરફાર $(\Delta C)$ અને ફેરનહીટ સ્કેલ $(\Delta F)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta C = \frac{5}{9} \times \Delta F$
અહીં આપેલ છે કે ફેરનહીટ સ્કેલ પર તાપમાનનો તફાવત $\Delta F = 54^{\circ}\text{F}$ છે.
આ કિંમતને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta C = \frac{5}{9} \times 54$
$\Delta C = 5 \times 6$
$\Delta C = 30^{\circ}\text{C}$
તેથી, સેલ્સિયસ સ્કેલ પર તાપમાનનો તફાવત $30^{\circ}\text{C}$ છે.

(A) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે, જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
આપેલ છે કે, $\eta_1 = 0.2 = 1 - \frac{T_2}{T_1} \implies \frac{T_2}{T_1} = 0.8 \implies T_2 = 0.8 T_1$ (સમીકરણ $1$).
જ્યારે $T_2$ માં $45 \text{ K}$ નો ઘટાડો કરવામાં આવે, ત્યારે નવું સિંક તાપમાન $T_2' = T_2 - 45$ થાય છે. નવી કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = 0.5$ છે.
તેથી, $0.5 = 1 - \frac{T_2 - 45}{T_1} \implies \frac{T_2 - 45}{T_1} = 0.5 \implies T_2 - 45 = 0.5 T_1$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ માંથી $T_2 = 0.8 T_1$ ની કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$0.8 T_1 - 45 = 0.5 T_1$
$0.3 T_1 = 45$
$T_1 = \frac{45}{0.3} = 150 \text{ K}$.
હવે, સમીકરણ $1$ નો ઉપયોગ કરીને $T_2$ શોધીએ:
$T_2 = 0.8 \times 150 = 120 \text{ K}$.
આમ, તાપમાન $T_1 = 150 \text{ K}$ અને $T_2 = 120 \text{ K}$ છે.

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે, $\eta_1 = \frac{1}{6} = 1 - \frac{T_C}{T_H}$, જે સૂચવે છે કે $\frac{T_C}{T_H} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$, તેથી $T_C = \frac{5}{6} T_H$.
બીજા કિસ્સા માટે, સિંકનું તાપમાન $T_C' = T_C - 64$ થાય છે. નવી કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = \frac{1}{3} = 1 - \frac{T_C - 64}{T_H}$ છે.
આ સૂચવે છે કે $\frac{T_C - 64}{T_H} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$, તેથી $T_C - 64 = \frac{2}{3} T_H$.
બીજા સમીકરણમાં $T_C = \frac{5}{6} T_H$ મૂકતા: $\frac{5}{6} T_H - 64 = \frac{2}{3} T_H$.
ગોઠવતા $(\frac{5}{6} - \frac{4}{6}) T_H = 64$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{6} T_H = 64$, તેથી $T_H = 384 \text{ K}$.
ત્યારબાદ $T_C = \frac{5}{6} \times 384 = 5 \times 64 = 320 \text{ K}$.
આમ, $T_H = 384 \text{ K}$ અને $T_C = 320 \text{ K}$ છે.

(C) કાર્નો એન્જિનની કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે, જ્યાં $T_1$ એ ઉષ્મા પ્રાપ્તિસ્થાનનું તાપમાન અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
શરૂઆતમાં, $\eta_1 = 50\% = 0.5$ અને $T_1 = 600\text{ K}$ છે.
$0.5 = 1 - \frac{T_2}{600} \implies \frac{T_2}{600} = 0.5 \implies T_2 = 300\text{ K}$.
કાર્યક્ષમતામાં $20\%$ નો વધારો થાય છે, તેથી નવી કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = 50\% + 20\% = 70\% = 0.7$ થાય.
સિંકનું તાપમાન $T_2 = 300\text{ K}$ અચળ રાખીને, નવું ઉષ્મા પ્રાપ્તિસ્થાનનું તાપમાન $T_1'$ શોધીએ:
$0.7 = 1 - \frac{300}{T_1'} \implies \frac{300}{T_1'} = 1 - 0.7 = 0.3$.
$T_1' = \frac{300}{0.3} = 1000\text{ K}$.

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંક (એક્ઝોસ્ટ) તાપમાન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\eta_1 = 0.40$, $T_1 = 600\text{ K}$.
$0.40 = 1 - \frac{T_2}{600} \implies \frac{T_2}{600} = 0.60 \implies T_2 = 360\text{ K}$.
બીજા કિસ્સા માટે: $\eta_2 = 0.60$, $T_2 = 360\text{ K}$.
$0.60 = 1 - \frac{360}{T_1'} \implies \frac{360}{T_1'} = 1 - 0.60 = 0.40$.
$T_1' = \frac{360}{0.40} = 900\text{ K}$.
આમ, જરૂરી ઇનટેક તાપમાન $900\text{ K}$ છે.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $(\eta)$ શોધવાનું સૂત્ર: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે.
આપેલ છે:
$T_1 = 500 \text{ K}$ (સ્ત્રોતનું તાપમાન)
$T_2 = 300 \text{ K}$ (સિંકનું તાપમાન)
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\eta = 1 - \frac{300}{500}$
$\eta = 1 - 0.6 = 0.4$
કાર્યક્ષમતાને ટકાવારીમાં દર્શાવવા માટે:
$\eta = 0.4 \times 100\% = 40\%$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) વાયુ $A$ ના સમતાપી સંકોચન માટે: $P_i V_i = P_f V_f$. આપેલ છે કે $V_i = V$ અને $V_f = V/2$, તેથી $P_A = P_i (V / (V/2)) = 2P_i$ મળે છે.
વાયુ $B$ ના સમોષ્મી સંકોચન માટે: $P_i V_i^\gamma = P_f V_f^\gamma$. આપેલ છે કે $V_i = V$ અને $V_f = V/2$, તેથી $P_B = P_i (V / (V/2))^\gamma = 2^\gamma P_i$ મળે છે.
બધા વાયુઓ માટે એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ (સમોષ્મી ઘાતાંક) $\gamma > 1$ હોવાથી (દા.ત.,એકપરમાણ્વિક માટે $\gamma = 1.67$, દ્વિપરમાણ્વિક માટે $\gamma = 1.4$), તેથી $2^\gamma > 2$ થાય છે.
આમ, $P_B > P_A$ અથવા $P_A < P_B$ સાચો સંબંધ છે.

(B) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $p-V$ લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આપેલ $p-V$ આલેખમાં, પ્રક્રિયા $ABCDA$ એક લંબચોરસ બનાવે છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V$-અક્ષ પર લંબચોરસની પહોળાઈ $(5V_0 - 3V_0) = 2V_0$ છે.
$p$-અક્ષ પર લંબચોરસની ઊંચાઈ $(4P_0 - 2P_0) = 2P_0$ છે.
તેથી, થયેલ કાર્યનું મૂલ્ય $\text{Area} = (2V_0) \times (2P_0) = 4P_0V_0$ છે.
ચક્ર ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં હોવાથી, વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય ધન છે.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, દબાણ $P$ અને તાપમાન $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને $P \propto T^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આને $P \propto T^x$ સાથે સરખાવતા, આપણને $x = \frac{\gamma}{\gamma-1}$ મળે છે.
દ્રઢ દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે, મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ છે.
એડિબેટિક ઘાતાંક $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{5} = 1.4 = \frac{7}{5}$ છે.
$\gamma$ ની કિંમત $x$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$x = \frac{7/5}{(7/5) - 1} = \frac{7/5}{2/5} = \frac{7}{2} = 3.5$.

(C) થર્મલી ઇન્સ્યુલેટેડ પાત્ર માટે, પ્રક્રિયા એડિબેટિક (ઉષ્માઅવાહક) હોય છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે.
મોનોએટોમિક વાયુ માટે, $\gamma = \frac{5}{3}$ છે.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક કદ $V_1$ છે અને અંતિમ કદ $V_2 = \frac{V_1}{8}$ છે.
સંબંધ $P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે:
$\frac{P_2}{P_1} = (\frac{V_1}{V_2})^{\gamma} = (\frac{V_1}{V_1/8})^{\gamma} = 8^{\gamma}$.
$\gamma = \frac{5}{3}$ મૂકતા, આપણને મળે છે:
$\frac{P_2}{P_1} = 8^{5/3} = (2^3)^{5/3} = 2^5 = 32$.
આમ, અંતિમ દબાણ અને પ્રારંભિક દબાણનો ગુણોત્તર $32:1$ છે.

(C) સમદાબી પ્રક્રિયા એ એવી થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયા છે જેમાં દબાણ અચળ રહે છે $(P = \text{અચળ})$.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
સમદાબી પ્રક્રિયામાં, થયેલું કાર્ય $\Delta W = P \Delta V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે સામાન્ય રીતે શૂન્ય હોતું નથી સિવાય કે કદમાં ફેરફાર શૂન્ય હોય.
આપવામાં આવેલી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_p \Delta T$, જે તાપમાનના ફેરફાર માટે શૂન્ય હોતી નથી.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ કે $\Delta U$ એ તાપમાનના ફેરફાર $(\Delta T)$ પર આધાર રાખે છે, તેથી તે સામાન્ય રીતે સમદાબી પ્રક્રિયામાં શૂન્ય હોતું નથી જ્યાં તાપમાન બદલાય છે.
તેથી, આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર શૂન્ય હોતો નથી તે વિધાન સાચું છે.

(B) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં, તંત્ર તેની પ્રારંભિક અવસ્થામાં પાછું ફરે છે. તેથી, તંત્રની આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $(\Delta U)$ શૂન્ય હોય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
અહીં $\Delta U = 0$ હોવાથી, $\Delta Q = \Delta W$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે તંત્રને આપેલી કુલ ઉષ્મા $(\Delta Q)$ એ તંત્ર દ્વારા થયેલા કુલ કાર્ય $(\Delta W)$ જેટલી હોય છે.

(C) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે, તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ છે.
આપેલ છે: પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ}\text{C} = 27 + 273 = 300\text{ K}$.
અંતિમ કદ $V_2 = (8/27) V_1$.
સમોષ્મી અચળાંક $\gamma = 5/3$, તેથી $\gamma - 1 = 5/3 - 1 = 2/3$.
કિંમતો મૂકતા: $300 \times V_1^{2/3} = T_2 \times ((8/27) V_1)^{2/3}$.
$300 = T_2 \times (8/27)^{2/3}$.
$300 = T_2 \times ((2/3)^3)^{2/3} = T_2 \times (2/3)^2 = T_2 \times (4/9)$.
$T_2 = 300 \times (9/4) = 75 \times 9 = 675\text{ K}$.
તાપમાનમાં થતો વધારો $\Delta T = T_2 - T_1 = 675\text{ K} - 300\text{ K} = 375\text{ K}$ થાય.

(D) પગલું $1$: $V$ થી $3V$ કદ સુધી સમતાપી વિસ્તરણ.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે, $P_1V_1 = P_2V_2$.
અહીં $P_1 = P$, $V_1 = V$, અને $V_2 = 3V$ છે.
તેથી, $P \cdot V = P_2 \cdot (3V) \implies P_2 = P/3$.
પગલું $2$: $3V$ થી $81V$ કદ સુધી એડિબેટિક વિસ્તરણ.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, $P_2V_2^\gamma = P_3V_3^\gamma$.
અહીં $P_2 = P/3$, $V_2 = 3V$, $V_3 = 81V$, અને $\gamma = 5/3$ છે.
$P_3 = P_2 \cdot (V_2 / V_3)^\gamma = (P/3) \cdot (3V / 81V)^{5/3} = (P/3) \cdot (1/27)^{5/3} = (P/3) \cdot (1/243) = P/729$.
વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા, સાચો જવાબ $P/243$ છે.

(A) જ્યારે પાત્રને અચાનક સ્થિર કરવામાં આવે છે, ત્યારે પાત્રની ગતિઊર્જા વાયુની આંતરિક ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ધારો કે વાયુના મોલની સંખ્યા $n$ છે. પાત્રની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} M_{total} V^2$ છે, જ્યાં $M_{total} = nM$.
તેથી, $K = \frac{1}{2} n M V^2$.
આ ગતિઊર્જા વાયુની આંતરિક ઊર્જામાં વધારો કરે છે: $\Delta U = n C_v \Delta T$.
એક પરમાણ્વિક વાયુ માટે, અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{3}{2} R$ છે.
ગતિઊર્જાને આંતરિક ઊર્જાના ફેરફાર સાથે સરખાવતા: $\frac{1}{2} n M V^2 = n (\frac{3}{2} R) \Delta T$.
$\Delta T$ માટે ઉકેલતા: $\Delta T = \frac{\frac{1}{2} n M V^2}{n (\frac{3}{2} R)} = \frac{MV^2}{3R}$.

(A) દ્રઢ દ્વિપરમાણ્વિક વાયુ માટે, મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ છે.
અચળ દબાણે, આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_p \Delta T$ છે.
આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ છે.
કરેલું કાર્ય $\Delta W = n R \Delta T$ છે.
સંબંધો $C_v = \frac{f}{2}R = \frac{5}{2}R$ અને $C_p = C_v + R = \frac{7}{2}R$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Delta U = n (\frac{5}{2}R) \Delta T = \frac{5}{2} n R \Delta T$
$\Delta Q = n (\frac{7}{2}R) \Delta T = \frac{7}{2} n R \Delta T$
$\Delta W = n R \Delta T$
આમ, ગુણોત્તર $\Delta W : \Delta U : \Delta Q = n R \Delta T : \frac{5}{2} n R \Delta T : \frac{7}{2} n R \Delta T$ થાય.
$n R \Delta T$ વડે ભાગતા, આપણને $1 : \frac{5}{2} : \frac{7}{2}$ મળે.
$2$ વડે ગુણતા, આપણને $2 : 5 : 7$ મળે છે.

(A) આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ એ સૂત્ર $\Delta U = nC_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી, આપણને $n \Delta T = \frac{\Delta(PV)}{R}$ મળે છે.
અહીં દબાણ $P$ અચળ હોવાથી, $\Delta(PV) = P(V_f - V_i) = P(2V - V) = PV$ થાય.
તેથી, $n \Delta T = \frac{PV}{R}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$.
આ કિંમતોને આંતરિક ઉર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા: $\Delta U = n \left( \frac{R}{\gamma - 1} \right) \Delta T = \frac{R}{\gamma - 1} \left( \frac{PV}{R} \right) = \frac{PV}{\gamma - 1}$.

(D) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે, તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ છે।
આપેલ છે કે પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = T$ અને પ્રારંભિક કદ $V_1 = V$ છે।
અંતિમ કદ $V_2 = 2V$ અને $\gamma = 3/2$ છે।
તેથી, $\gamma - 1 = 3/2 - 1 = 1/2$.
$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $T(V)^{1/2} = T_2(2V)^{1/2}$ મળે।
$T_2 = T \times (V/2V)^{1/2} = T / \sqrt{2}$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયામાં થયેલું કાર્ય $W = \frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
ધારો કે $n = 1$ મોલ છે, તો $W = \frac{R(T - T/\sqrt{2})}{3/2 - 1} = \frac{R(T - T/\sqrt{2})}{1/2} = 2R(T - T/\sqrt{2}) = 2RT(1 - 1/\sqrt{2})$.
$W = 2RT - \frac{2RT}{\sqrt{2}} = 2RT - \sqrt{2}RT = RT(2 - \sqrt{2})$.

(C) અવસ્થા પરિવર્તન દરમિયાન થતું કાર્ય $W = P \Delta V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $P = 3 \times 10^5 \text{ Pa}$ અને $\Delta V = 1600 \text{ cm}^3 = 1600 \times 10^{-6} \text{ m}^3 = 1.6 \times 10^{-3} \text{ m}^3$ છે.
તેથી, $W = (3 \times 10^5) \times (1.6 \times 10^{-3}) = 480 \text{ J}$.
પ્રશ્ન મુજબ, પૂરી પાડવામાં આવેલી કુલ ઉષ્મા $(Q)$ ના $10\%$ ભાગનો ઉપયોગ આ કાર્ય માટે થાય છે, તેથી $0.1 Q = W$.
આમ, $Q = W / 0.1 = 480 / 0.1 = 4800 \text{ J}$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $Q = \Delta U + W$, જ્યાં $\Delta U$ એ આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે.
તેથી, $\Delta U = Q - W = 4800 - 480 = 4320 \text{ J}$.

(C) આદર્શ દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે, અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{5}{2}R$ અને અચળ દબાણ પર $C_P = \frac{7}{2}R$ છે.
સિલિન્ડર $B$ માં પિસ્ટન સ્થિર હોવાથી, પ્રક્રિયા સમકદ (isochoric) છે. આપેલી ઉષ્મા $Q = n C_V \Delta T_B$ છે.
સિલિન્ડર $A$ માં પિસ્ટન મુક્ત હોવાથી, પ્રક્રિયા સમદાબી (isobaric) છે. આપેલી ઉષ્મા $Q = n C_P \Delta T_A$ છે.
બંનેને સમાન ઉષ્મા આપવામાં આવતી હોવાથી, $n C_V \Delta T_B = n C_P \Delta T_A$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $C_V \Delta T_B = C_P \Delta T_A$.
$\frac{5}{2}R \times 63 = \frac{7}{2}R \times \Delta T_A$.
$5 \times 63 = 7 \times \Delta T_A$.
$\Delta T_A = \frac{5 \times 63}{7} = 5 \times 9 = 45 \text{ K}$.

(D) આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે, જ્યાં $n$ એ વાયુના મોલની સંખ્યા છે.
મોલની સંખ્યા $n = \frac{\text{દળ}}{\text{આણ્વીય દળ}}$.
અહીં ઓક્સિજનનું દળ = $7 \text{ g}$ અને આણ્વીય દળ = $32$ આપેલ છે.
તેથી, $n = \frac{7}{32}$.
આદર્શ વાયુના સમીકરણમાં $n$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $PV = (\frac{7}{32}) RT$ મળે છે.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થિર લિફ્ટ માટે, $g_{eff} = g$, તેથી $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
જ્યારે લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપર જાય છે, ત્યારે $g_{eff} = g + a$, તેથી $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g+a}}$.
જ્યારે લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે નીચે જાય છે, ત્યારે $g_{eff} = g - a$, તેથી $T_3 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g-a}}$.
સમીકરણોનો વર્ગ કરતા, આપણને $T_2^2 = 4\pi^2 \frac{l}{g+a}$ અને $T_3^2 = 4\pi^2 \frac{l}{g-a}$ મળે છે.
વ્યસ્ત લેતા: $\frac{1}{T_2^2} = \frac{g+a}{4\pi^2 l}$ અને $\frac{1}{T_3^2} = \frac{g-a}{4\pi^2 l}$.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા: $\frac{1}{T_2^2} + \frac{1}{T_3^2} = \frac{g+a+g-a}{4\pi^2 l} = \frac{2g}{4\pi^2 l} = \frac{2}{T_1^2}$.
આમ, $\frac{T_3^2 + T_2^2}{T_2^2 T_3^2} = \frac{2}{T_1^2}$, જે સૂચવે છે કે $T_1^2 = \frac{2T_2^2 T_3^2}{T_2^2 + T_3^2}$.
વર્ગમૂળ લેતા, આપણને $T_1 = \frac{\sqrt{2}T_2T_3}{\sqrt{T_2^2 + T_3^2}}$ મળે છે.

(A) ધારો કે લોલકનું દળ $m$ છે અને દોરીની લંબાઈ $l$ છે.
ન્યૂનતમ તણાવ $(T_{min})$ અંતિમ સ્થાન પર જોવા મળે છે જ્યાં વેગ શૂન્ય હોય છે: $T_{min} = mg \cos \theta$.
મહત્તમ તણાવ $(T_{max})$ સૌથી નીચલા બિંદુ (મધ્યમાન સ્થાન) પર જોવા મળે છે. ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, સૌથી નીચલા બિંદુ પર વેગ $v$ એ $\frac{1}{2}mv^2 = mgl(1 - \cos \theta)$ દ્વારા મળે છે, તેથી $v^2 = 2gl(1 - \cos \theta)$.
સૌથી નીચલા બિંદુ પર તણાવ $T_{max} = mg + \frac{mv^2}{l} = mg + 2mg(1 - \cos \theta) = mg(3 - 2 \cos \theta)$ છે.
આપેલ છે કે $T_{max} = 2T_{min}$, તેથી $mg(3 - 2 \cos \theta) = 2mg \cos \theta$.
$3 - 2 \cos \theta = 2 \cos \theta$.
$3 = 4 \cos \theta$.
$\cos \theta = 0.75$.
તેથી, $\theta = \cos^{-1}(0.75)$.

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વોચ ગ્લાસમાં દોલન કરતો નાનો ગોળો સાદા લોલક જેવી વર્તણૂક દર્શાવે છે.
$R$ ત્રિજ્યાના વોચ ગ્લાસમાં ગબડતા કે સરકતા ગોળા માટે, લોલકની અસરકારક લંબાઈ $L = R - r$ થાય છે.
જો ગોળો ખૂબ નાનો હોય $(r \approx 0)$, તો અસરકારક લંબાઈ $L = R = 1.6 \text{ m}$ લેવાય.
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T$ શોધવાનું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ છે.
આપેલ કિંમતો $L = 1.6 \text{ m}$ અને $g = 10 \text{ m/s}^2$ મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{1.6}{10}}$
$T = 2\pi \sqrt{0.16}$
$T = 2\pi \times 0.4$
$T = 0.8\pi \text{ s}$.

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T$ સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $L$ એ લોલકની લંબાઈ છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
જો ઘડિયાળ ધીમી ચાલતી હોય, તો તેનો અર્થ એ છે કે તેનો આવર્તકાળ $T$ ખૂબ વધારે છે (તેને એક દોલન પૂર્ણ કરવામાં વધુ સમય લાગે છે).
આને સુધારવા માટે, આપણે આવર્તકાળ $T$ ઘટાડવાની જરૂર છે.
સૂત્ર $T \propto \sqrt{L}$ પરથી, લંબાઈ $L$ ઘટાડવાથી આવર્તકાળ $T$ ઘટશે.
તેથી, ઘડિયાળને ઝડપી બનાવવા માટે આપણે લોલકની લંબાઈ ઘટાડવી જોઈએ.

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર, $g = \frac{GM}{R^2}$, તેથી $T = 2\pi \sqrt{\frac{LR^2}{GM}}$.
સપાટીથી $h = R$ ઊંચાઈ પર, ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ એ $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$h = R$ મૂકતા, $g' = g \left( \frac{R}{2R} \right)^2 = \frac{g}{4}$ મળે છે.
નવો આવર્તકાળ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g/4}} = 2 \times 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} = 2T$.
$T' = 2T$ ને $T' = xT$ સાથે સરખાવતા, $x = 2$ મળે છે.

(B) $L$ લંબાઈના સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી, $T^2 = 4\pi^2 \frac{L}{g}$, જેનો અર્થ છે કે $L = \frac{T^2 g}{4\pi^2}$.
આપેલા બે લોલકો માટે:
$L_1 = \frac{T_1^2 g}{4\pi^2}$ અને $L_2 = \frac{T_2^2 g}{4\pi^2}$.
આપણે $L' = L_1 - L_2$ લંબાઈના લોલક માટે આવર્તકાળ $T'$ શોધવો છે.
$L_1$ અને $L_2$ ના પદો મૂકતા:
$L' = \frac{T_1^2 g}{4\pi^2} - \frac{T_2^2 g}{4\pi^2} = \frac{g}{4\pi^2} (T_1^2 - T_2^2)$.
$T' = 2\pi \sqrt{\frac{L'}{g}}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$T' = 2\pi \sqrt{\frac{g(T_1^2 - T_2^2)}{4\pi^2 g}} = 2\pi \sqrt{\frac{T_1^2 - T_2^2}{4\pi^2}} = \sqrt{T_1^2 - T_2^2}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $k$ એ સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે, $T = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}}$.
બીજા કિસ્સા માટે, કુલ દળ $(m_1 + m_2)$ છે, તેથી નવો આવર્તકાળ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{m_1 + m_2}{k}} = \frac{3}{2} T$ છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{T'}{T} = \sqrt{\frac{m_1 + m_2}{m_1}} = \frac{3}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{m_1 + m_2}{m_1} = \frac{9}{4}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $1 + \frac{m_2}{m_1} = \frac{9}{4}$ મળે, જેનો અર્થ છે કે $\frac{m_2}{m_1} = \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4}$.
તેથી, ગુણોત્તર $\frac{m_1}{m_2} = \frac{4}{5}$ થાય.

(D) દળ-સ્પ્રિંગ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K_{eq}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $K_{eq}$ એ સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.
આકૃતિ $(a)$ માટે: તંત્રમાં $K$ અચળાંક ધરાવતી એક સ્પ્રિંગ છે. તેથી, $K_{eq,a} = K$. આવર્તકાળ $T_a = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}$ છે.
આકૃતિ $(b)$ માટે: બે સ્પ્રિંગો શ્રેણીમાં જોડાયેલી છે. સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $\frac{1}{K_{eq,b}} = \frac{1}{K} + \frac{1}{K} = \frac{2}{K}$ છે, તેથી $K_{eq,b} = \frac{K}{2}$. આવર્તકાળ $T_b = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K/2}} = 2\pi \sqrt{\frac{2m}{K}} = \sqrt{2} T_a$ છે.
આકૃતિ $(c)$ માટે: બે સ્પ્રિંગો સમાંતરમાં જોડાયેલી છે. સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{eq,c} = K + K = 2K$ છે. આવર્તકાળ $T_c = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2K}} = \frac{1}{\sqrt{2}} (2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}) = \frac{T_a}{\sqrt{2}}$ છે.
પરિણામોની સરખામણી કરતા: $T_a = \sqrt{2} T_c$, જેનો અર્થ છે કે $T_c = \frac{T_a}{\sqrt{2}}$. તેમજ, $T_b = \sqrt{2} T_a$. $T_c = \frac{T_a}{\sqrt{2}}$ અને $T_b = \sqrt{2} T_a$ પરથી, આપણને $T_b = 2 T_c$ મળે છે. આમ, વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(B) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.
શરૂઆતમાં, દળ $m_1 = 100 \text{ g}$, $m_2 = 300 \text{ g}$ અને $m_3 = 500 \text{ g}$ છે.
જ્યારે $500 \text{ g}$ નું દળ દૂર કરવામાં આવે છે, ત્યારે બાકી રહેલું દળ $M_1 = 100 \text{ g} + 300 \text{ g} = 400 \text{ g}$ થાય છે.
આવર્તકાળ $T_1 = 3 \text{ s}$ છે.
તેથી, $3 = 2\pi \sqrt{\frac{400}{k}}$.
જ્યારે $300 \text{ g}$ નું દળ પણ દૂર કરવામાં આવે છે, ત્યારે બાકી રહેલું દળ $M_2 = 100 \text{ g}$ થાય છે.
ધારો કે નવો આવર્તકાળ $T_2$ છે.
તેથી, $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{100}{k}}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{T_2}{3} = \frac{2\pi \sqrt{100/k}}{2\pi \sqrt{400/k}} = \sqrt{\frac{100}{400}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
તેથી, $T_2 = 3 \times \frac{1}{2} = 1.5 \text{ s}$.

(D) $LCR$ શ્રેણી પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $Z$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$, જ્યાં $X_L = \omega L = 2\pi f L$ અને $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C}$ છે.
જેમ જેમ આવૃત્તિ $f$ વધે છે, તેમ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ રેખીય રીતે વધે છે, જ્યારે કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ ઘટે છે.
ઓછી આવૃત્તિઓ પર, $X_C$ પ્રભાવી હોય છે, તેથી જેમ $f$ વધે છે તેમ $Z$ ઘટે છે.
રેઝોનન્ટ આવૃત્તિ $f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ પર, $X_L = X_C$ થાય છે, જેનાથી ઈમ્પીડન્સ $Z = R$ થાય છે, જે શક્ય ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે.
જેમ જેમ આવૃત્તિ $f_0$ થી આગળ વધે છે, તેમ $X_L$ પ્રભાવી બને છે, જેના કારણે ઈમ્પીડન્સ $Z$ ફરીથી વધે છે.
તેથી, ઈમ્પીડન્સ પહેલા ઘટે છે, રેઝોનન્સ પર ન્યૂનતમ થાય છે અને પછી વધે છે.

(B) $LR$ સર્કિટમાં, ઈમ્પીડન્સ (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $X_L = \omega L$ એ ઈન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ છે.
જ્યારે કેપેસિટરને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે, ત્યારે સર્કિટ $LCR$ સર્કિટ બની જાય છે.
$LCR$ સર્કિટનો નવો ઈમ્પીડન્સ $Z' = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે, જ્યાં $X_C = \frac{1}{\omega C}$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ છે.
સામાન્ય રીતે, $LR$ સર્કિટમાં કેપેસિટર ઉમેરવાથી સર્કિટનો કુલ ઈમ્પીડન્સ વધે છે, જેના પરિણામે પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z}$ ઘટે છે.
તેથી, સર્કિટમાં વહેતો એસી $(AC)$ પ્રવાહ ઘટે છે.

(A) સર્કિટમાં મહત્તમ પ્રવાહ ત્યારે વહે છે જ્યારે તે અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં હોય.
અનુનાદની સ્થિતિમાં, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $(X_C)$ જેટલું હોય છે.
$X_L = X_C \implies \omega L = \frac{1}{\omega C}$
અહીં, $\omega = 2\pi f$ છે.
તેથી, $C = \frac{1}{\omega^2 L} = \frac{1}{(2\pi f)^2 L} = \frac{1}{4\pi^2 f^2 L}$
આપેલ છે: $L = 2 \times 10^{-6} \text{ H}$, $f = 10 \text{ kHz} = 10^4 \text{ Hz}$, $\pi^2 = 10$
$C = \frac{1}{4 \times 10 \times (10^4)^2 \times 2 \times 10^{-6}}$
$C = \frac{1}{40 \times 10^8 \times 2 \times 10^{-6}} = \frac{1}{80 \times 10^2} = \frac{1}{8000}$
તેથી, $x = 8000$.

(A) આપેલ છે: સ્ત્રોત વોલ્ટેજ $V = 100 \text{ V}$, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 24 \text{ } \Omega$, કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = 16 \text{ } \Omega$, અવરોધ $R = 6 \text{ } \Omega$.
સૌ પ્રથમ, $LCR$ પરિપથનો ઇમ્પિડન્સ $Z$ શોધો:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{6^2 + (24 - 16)^2} = \sqrt{36 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ } \Omega$.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = V / Z = 100 / 10 = 10 \text{ A}$.
ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટરના શ્રેણી જોડાણ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{LC} = I |X_L - X_C|$ છે.
$V_{LC} = 10 \times |24 - 16| = 10 \times 8 = 80 \text{ V}$.

(D) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં, ઇમ્પિડન્સ $Z$ નું સૂત્ર $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે.
અનુનાદ સમયે, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલું હોય છે, એટલે કે $X_L = X_C$.
તેથી, ઇમ્પિડન્સ $Z$ નું મૂલ્ય $Z = \sqrt{R^2 + 0} = R$ થાય છે, જે ઇમ્પિડન્સનું લઘુત્તમ મૂલ્ય છે.
જેથી પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z}$ મહત્તમ બને છે.
વળી, અનુનાદ સમયે, કળા તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R} = 0$ દ્વારા મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $\phi = 0$.
કળા તફાવત $0$ હોવાથી, પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ સમાન કળામાં હોય છે.

(B) $LC$ પરિપથની અનુનાદિત આવૃત્તિ $f = 1 / (2\pi \sqrt{LC})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં નવું ઇન્ડક્ટન્સ $L' = 3L$ અને નવું કેપેસિટન્સ $C' = C + 3C = 4C$ છે.
નવી અનુનાદિત આવૃત્તિ $f' = 1 / (2\pi \sqrt{L'C'}) = 1 / (2\pi \sqrt{3L \times 4C})$ થશે.
$f' = 1 / (2\pi \sqrt{12LC}) = 1 / (2\pi \sqrt{4 \times 3 \times LC}) = 1 / (2 \times 2\pi \sqrt{3LC}) = 1 / (2\sqrt{3} \times 2\pi \sqrt{LC})$.
આમ, $f = 1 / (2\pi \sqrt{LC})$ હોવાથી, $f' = f / (2\sqrt{3})$ મળે છે.

(D) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં, કળા તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{|X_L - X_C|}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $L$ દૂર કરવામાં આવે છે, ત્યારે પરિપથ $RC$ પરિપથ બને છે. કળા તફાવત $\tan(\pi/3) = \frac{X_C}{R} = \sqrt{3}$ છે, તેથી $X_C = R\sqrt{3}$.
જ્યારે $C$ દૂર કરવામાં આવે છે, ત્યારે પરિપથ $RL$ પરિપથ બને છે. કળા તફાવત $\tan(\pi/3) = \frac{X_L}{R} = \sqrt{3}$ છે, તેથી $X_L = R\sqrt{3}$.
અહીં $X_L = X_C$ હોવાથી, જ્યારે ત્રણેય ઘટકો જોડાયેલા હોય ત્યારે પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં હોય છે.
અનુનાદ સમયે, ઈમ્પીડન્સ $Z = R$ થાય છે અને કળા તફાવત $\phi = 0$ થાય છે.
તેથી પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \cos(0) = 1$ થાય છે.

(B) શુદ્ધ કેપેસિટિવ પરિપથમાં, પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $\pi/2$ રેડિયન જેટલો આગળ હોય છે.
તત્કાલીન વોલ્ટેજ $E = E_0 \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ છે.
તત્કાલીન પ્રવાહ $I = \frac{E}{X_C} = \frac{E_0 \sin(\omega t)}{1/(\omega C)} = E_0 \omega C \sin(\omega t)$ થાય.
પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $\pi/2$ જેટલો આગળ હોવાથી, આપણે વોલ્ટેજના ફેઝમાં $\pi/2$ ઉમેરીએ છીએ.
તેથી, તત્કાલીન પ્રવાહ $I = E_0 \omega C \sin(\omega t + \pi/2)$ મળે છે.

(A) અનુનાદિત કોણીય આવૃત્તિ $\omega_0$ પર, કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ અને ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ સમાન હોય છે, તેથી $X_C = X_L$ થાય.
આપેલ છે કે $X_C = 1/(\omega_0 C)$ અને $X_L = \omega_0 L$, તેથી $\omega_0$ પર $1/(\omega_0 C) = \omega_0 L$ થાય.
જ્યારે કોણીય આવૃત્તિ બમણી કરીને $\omega' = 2\omega_0$ કરવામાં આવે, ત્યારે નવો કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C' = 1/(2\omega_0 C) = X_C / 2$ થાય.
નવો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L' = (2\omega_0) L = 2 X_L$ થાય.
કેમ કે $X_C = X_L$ છે, તેથી નવા કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ અને નવા ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સનો ગુણોત્તર $X_C' / X_L' = (X_C / 2) / (2 X_L) = 1/4$ થાય.

(B) $L-R$ શ્રેણી પરિપથમાં, વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$.
અહીં આપેલ છે કે કળા તફાવત $\phi = 45^\circ$ છે.
સૂત્રમાં $\phi$ ની કિંમત મૂકતા: $\tan 45^\circ = \frac{X_L}{R}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 45^\circ = 1$, તેથી $1 = \frac{X_L}{R}$.
આમ, $X_L = R$ મળે છે.

(D) $LR$ પરિપથનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = R / Z$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ છે.
શરૂઆતના $LR$ પરિપથ માટે, $X_L = 3R$, તેથી $Z_1 = \sqrt{R^2 + (3R)^2} = \sqrt{10R^2} = R\sqrt{10}$.
આમ, $X_1 = R / (R\sqrt{10}) = 1 / \sqrt{10}$.
કેપેસિટરને શ્રેણીમાં ઉમેર્યા પછી, પરિપથ $LCR$ પરિપથ બને છે જેમાં $X_{net} = X_L - X_C = 3R - R = 2R$ થાય છે.
નવો ઈમ્પીડન્સ $Z_2 = \sqrt{R^2 + (2R)^2} = \sqrt{5R^2} = R\sqrt{5}$ છે.
આમ, $X_2 = R / (R\sqrt{5}) = 1 / \sqrt{5}$.
ગુણોત્તર $X_1 / X_2 = (1 / \sqrt{10}) / (1 / \sqrt{5}) = \sqrt{5} / \sqrt{10} = 1 / \sqrt{2}$ થાય.

(B) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં, સપ્લાય વોલ્ટેજ $V$ એ રઝિસ્ટર $(V_R)$, ઇન્ડક્ટર $(V_L)$ અને કેપેસિટર $(V_C)$ પરના વ્યક્તિગત વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતોના ફેઝર સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૂત્ર છે: $V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$
આપેલ કિંમતો:
$V_L = 60 \text{ V}$
$V_C = 30 \text{ V}$
$V_R = 40 \text{ V}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \sqrt{40^2 + (60 - 30)^2}$
$V = \sqrt{1600 + (30)^2}$
$V = \sqrt{1600 + 900}$
$V = \sqrt{2500}$
$V = 50 \text{ V}$
તેથી, સપ્લાય વોલ્ટેજ $50 \text{ V}$ થશે.

(B) આપેલ છે: ઇન્ડક્ટન્સ $L = 1 \text{ H}$, કેપેસિટન્સ $C = 20 \mu \text{F} = 20 \times 10^{-6} \text{ F}$, અવરોધ $R = 300 \Omega$, આવૃત્તિ $f = \frac{50}{\pi} \text{ Hz}$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi f = 2\pi \times \frac{50}{\pi} = 100 \text{ rad/s}$.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 100 \times 1 = 100 \Omega$.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times 20 \times 10^{-6}} = \frac{10^6}{2000} = 500 \Omega$.
ઈમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_C - X_L)^2}$.
$Z = \sqrt{300^2 + (500 - 100)^2} = \sqrt{300^2 + 400^2} = \sqrt{90000 + 160000} = \sqrt{250000} = 500 \Omega$.

(D) $RC$ શ્રેણી પરિપથનું ઈમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $X_C = 1/(\omega C)$ છે.
પ્રારંભિક પ્રવાહ $I_1 = V / \sqrt{R^2 + X_C^2}$.
જ્યારે આવૃત્તિ બદલાઈને $\omega' = \omega/3$ થાય છે, ત્યારે નવો કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C' = 1/((\omega/3)C) = 3X_C$ થાય છે.
નવો પ્રવાહ $I_2 = V / \sqrt{R^2 + (3X_C)^2}$ છે.
આપેલ છે કે $I_2 = I_1/2$, તેથી $2I_2 = I_1$.
સમીકરણો મૂકતા: $2V / \sqrt{R^2 + 9X_C^2} = V / \sqrt{R^2 + X_C^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4 / (R^2 + 9X_C^2) = 1 / (R^2 + X_C^2)$.
$4(R^2 + X_C^2) = R^2 + 9X_C^2$.
$4R^2 + 4X_C^2 = R^2 + 9X_C^2$.
$3R^2 = 5X_C^2$.
$X_C^2 / R^2 = 3/5 = 0.6$.
તેથી, ગુણોત્તર $X_C / R = \sqrt{0.6}$ થાય.

(A) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં, ઈમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે. અનુનાદ સમયે, $X_L = X_C$, તેથી $Z = R$ (ન્યૂનતમ) થાય છે. $I = V/Z$ હોવાથી, પ્રવાહ $I$ મહત્તમ મળે છે.
સમાંતર $LCR$ સર્કિટમાં, એડમિટન્સ $Y = \sqrt{(1/R)^2 + (1/X_C - 1/X_L)^2}$ છે. અનુનાદ સમયે, $1/X_C = 1/X_L$, તેથી $Y = 1/R$ (ન્યૂનતમ) થાય છે, જેનો અર્થ છે કે ઈમ્પિડન્સ $Z = 1/Y = R$ મહત્તમ છે. $I = V/Z$ હોવાથી, પ્રવાહ $I$ ન્યૂનતમ મળે છે.

(C) આપેલ છે: $X_L = R$ અને $X_L = 2X_C$.
આથી, $X_C = X_L / 2 = R / 2$ મળે.
શ્રેણી $LCR$ પરિપથનો ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $Z = \sqrt{R^2 + (R - R/2)^2} = \sqrt{R^2 + (R/2)^2} = \sqrt{R^2 + R^2/4} = \sqrt{5R^2/4} = \frac{\sqrt{5}R}{2}$.
કળા તફાવત $\phi$ માટેનું સૂત્ર $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \phi = \frac{R - R/2}{R} = \frac{R/2}{R} = 1/2$.
તેથી, $\phi = \tan^{-1}(1/2)$.

(C) આપેલ ઓલ્ટરનેટિંગ વોલ્ટેજ $e = 150\sqrt{2} \sin 100t \text{ V}$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સમીકરણ $e = E_0 \sin \omega t$ સાથે સરખાવતા, પીક વોલ્ટેજ $E_0 = 150\sqrt{2} \text{ V}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100 \text{ rad/s}$ મળે છે.
રૂટ મીન સ્ક્વેર $(RMS)$ વોલ્ટેજ $V_{rms} = E_0 / \sqrt{2} = 150 \text{ V}$ થાય.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ નું સૂત્ર $X_C = 1 / (\omega C)$ છે.
અહીં $C = 2 \mu F = 2 \times 10^{-6} \text{ F}$ આપેલ છે, તેથી $X_C = 1 / (100 \times 2 \times 10^{-6}) = 1 / (2 \times 10^{-4}) = 5000 \Omega$.
$RMS$ પ્રવાહ $I_{rms} = V_{rms} / X_C = 150 / 5000 = 0.03 \text{ A}$ મળે.
મિલીએમ્પિયરમાં ફેરવતા, $I_{rms} = 0.03 \times 1000 \text{ mA} = 30 \text{ mA}$ થાય.

(C) પરિપથમાં $r.m.s.$ પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $I_{rms} = \frac{210 \text{ V}}{30 \ \Omega} = 7 \text{ A}$.
$AC$ પરિપથમાં વપરાતો સાચો પાવર $(P)$ શોધવાનું સૂત્ર $P = I_{rms}^2 \times R$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P = (7 \text{ A})^2 \times 10 \ \Omega = 49 \times 10 = 490 \text{ W}$.

(C) આપેલ છે: $q = t^2 - 5$, $C = 4 \ F$, $L = 0.5 \ H$, $R = 2 \ \Omega$.
$t = 3 \ s$ સમયે, $q = (3)^2 - 5 = 9 - 5 = 4 \ C$.
પ્રવાહ $i = \frac{dq}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 - 5) = 2t$.
$t = 3 \ s$ સમયે, $i = 2(3) = 6 \ A$.
પ્રવાહમાં ફેરફારનો દર $\frac{di}{dt} = \frac{d}{dt}(2t) = 2 \ A/s$.
કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V_C = \frac{q}{C} = \frac{4}{4} = 1 \ V$.
ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $V_L = L \frac{di}{dt} = 0.5 \times 2 = 1 \ V$.
અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $V_R = iR = 6 \times 2 = 12 \ V$.
કુલ વોલ્ટેજ $V_{AB} = V_C + V_L + V_R = 1 + 1 + 12 = 14 \ V$.

(B) આપેલ છે: વોલ્ટેજ $V = 25 \ V$, પ્રવાહ $I = 0.5 \ A$, કળા તફાવત $\phi = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$.
સૌ પ્રથમ, ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $LR$ શ્રેણી પરિપથનો કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z$ શોધો: $Z = \frac{V}{I} = \frac{25}{0.5} = 50 \ \Omega$.
$LR$ શ્રેણી પરિપથમાં, અવરોધ $R$ અને ઈમ્પીડન્સ $Z$ વચ્ચેનો સંબંધ $R = Z \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $R = 50 \times \cos 60^{\circ}$.
કારણ કે $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$, તેથી $R = 50 \times \frac{1}{2} = 25 \ \Omega$.
આમ, $R$ નું મૂલ્ય $25 \ \Omega$ છે.

(B) શ્રેણી $LCR$ પરિપથમાં, ઈમ્પિડન્સ (પ્રતિબાધા) $Z$ એ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $X_L = 2\pi fL$ અને $X_C = \frac{1}{2\pi fC}$ છે.
r.m.s. પ્રવાહ $i = \frac{V}{Z} = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (2\pi fL - \frac{1}{2\pi fC})^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અનુનાદ આવૃત્તિ $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ પર, ઈમ્પિડન્સ $Z$ ન્યૂનતમ $(Z = R)$ હોય છે, અને તેથી પ્રવાહ $i$ મહત્તમ હોય છે.
જેમ જેમ આવૃત્તિ $f$ એ $f_0$ થી દૂર જાય છે (વધે અથવા ઘટે), તેમ ઈમ્પિડન્સ $Z$ વધે છે, જેના કારણે પ્રવાહ $i$ ઘટે છે.
આવૃત્તિ $f$ સાથે પ્રવાહ $i$ નો આ ફેરફાર ઘંટ આકારના વક્ર (bell-shaped curve) દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, જે આલેખ $(P)$ ને અનુરૂપ છે.

(C) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં, પ્રવાહ $I = V_R / R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। આપેલ છે કે $V_R = 100 \text{ V}$ અને $R = 1000 \Omega$, તેથી $I = 100 / 1000 = 0.1 \text{ A}$.
અનુનાદ સમયે, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલું હોય છે।
કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C = 1 / (\omega C) = 1 / (200 \times 2 \times 10^{-6}) = 1 / (400 \times 10^{-6}) = 10^6 / 400 = 2500 \Omega$ છે।
સર્કિટ અનુનાદમાં હોવાથી, $X_L = X_C = 2500 \Omega$ થાય.
ઇન્ડક્ટર $L$ પરનો વોલ્ટેજ $V_L = I \times X_L = 0.1 \text{ A} \times 2500 \Omega = 250 \text{ V}$ મળે છે।

(C) આપેલ છે: ઇન્ડક્ટન્સ $L = 4 \text{ mH} = 4 \times 10^{-3} \text{ H}$, અવરોધ $R = 3 \text{ } \Omega$, અને e.m.f. $E = \cos(1000t) \text{ V}$.
$E = \cos(1000t)$ ને $E = E_0 \cos(\omega t)$ સાથે સરખાવતા, મહત્તમ વોલ્ટેજ $E_0 = 1 \text{ V}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 1000 \text{ rad/s}$ મળે છે.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 1000 \times 4 \times 10^{-3} = 4 \text{ } \Omega$.
$L-R$ સર્કિટનો ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ } \Omega$.
પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર $I_0 = \frac{E_0}{Z} = \frac{1}{5} = 0.2 \text{ A}$ થાય.

(D) સર્કિટ $(A)$ માં, ઈમ્પીડન્સ $Z_A = R = 30 \ \Omega$ છે. r.m.s. પ્રવાહ $I_A = V/Z_A = 210/30 = 7 \ A$ છે.
સર્કિટ $(B)$ માં, ઈમ્પીડન્સ $Z_B = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે.
અહીં, $X_L = 2\pi fL = 2 \times 3.14 \times 50 \times 40 \times 10^{-3} \ \Omega \approx 12.56 \ \Omega$ છે.
$X_C = 1/(2\pi fC) = 1/(2 \times 3.14 \times 50 \times 0.4 \times 10^{-6}) \ \Omega \approx 7961.78 \ \Omega$ છે.
કારણ કે $X_C \gg X_L$, ઈમ્પીડન્સ $Z_B$ એ $R$ કરતા ઘણો મોટો છે, તેથી $I_B = V/Z_B < I_A$ છે.
જો કે, જો આવૃત્તિ $f$ ને એવી રીતે બદલવામાં આવે કે સર્કિટ $(B)$ અનુનાદ $(X_L = X_C)$ સુધી પહોંચે, તો $Z_B = R = 30 \ \Omega$ થશે. અનુનાદ પર, $I_B = V/R = 7 \ A$ થશે, જે $I_A$ ની બરાબર છે. $LCR$ શ્રેણી સર્કિટમાં મહત્તમ પ્રવાહ અવરોધ $R$ દ્વારા મર્યાદિત છે, જે સર્કિટ $(A)$ માં સમાન છે. તેથી, $(B)$ માં પ્રવાહ ક્યારેય $(A)$ માં પ્રવાહ કરતા વધારે હોઈ શકે નહીં. તેથી, સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(C) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં, ફેઝ એંગલ $\phi$ નું સૂત્ર $\tan \phi = \frac{X_C - X_L}{R}$ છે.
અહીં પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $45^{\circ}$ આગળ હોવાથી, ફેઝ એંગલ $\phi = -45^{\circ}$ થાય.
તેથી, $\tan(-45^{\circ}) = \frac{X_C - X_L}{R} \implies -1 = \frac{X_C - X_L}{R}$.
આના પરથી $X_L - X_C = R$ મળે છે.
$X_L = 2\pi FL$ અને $X_C = \frac{1}{2\pi FC}$ મૂકતા, $2\pi FL - \frac{1}{2\pi FC} = R$ મળે.
$2\pi FL = R + \frac{1}{2\pi FC} = \frac{2\pi FCR + 1}{2\pi FC}$.
$L$ માટે સાદું રૂપ આપતા, $L = \frac{1 + 2\pi FCR}{4\pi^2 F^2 C}$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણો $E = 50 \sin(500t)$ અને $I = 600 \sin(500t + \frac{\pi}{3}) \text{ mA}$ છે.
મહત્તમ વોલ્ટેજ $E_0 = 50 \text{ V}$.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = 600 \text{ mA} = 0.6 \text{ A}$.
ફેઝ તફાવત $\phi = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$.
$AC$ સર્કિટમાં સરેરાશ પાવર $P = E_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$E_{rms} = \frac{E_0}{\sqrt{2}}$ અને $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$.
$P = \frac{E_0 I_0}{2} \cos \phi$.
કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{50 \times 0.6}{2} \times \cos 60^{\circ}$.
$P = 15 \times 0.5 = 7.5 \text{ W}$.

(C) અલ્ટરનેટિંગ e.m.f. માટેનું આપેલ સમીકરણ $e = e_0 \sin \omega t$ છે.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે $e = \frac{e_0}{2}$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{e_0}{2} = e_0 \sin \omega t$.
$\sin \omega t = \frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 30^{\circ} = 0.5$, તેથી $\omega t = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6}$ રેડિયન.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$, જ્યાં $T$ એ આવર્તકાળ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા: $(\frac{2\pi}{T}) \cdot t = \frac{\pi}{6}$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{T}{2\pi} = \frac{T}{12}$.

(C) કોઈલનું ઇન્ડક્ટન્સ $L = 3 \ H$ છે.
$a.c.$ સ્ત્રોત માટે, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 2 \pi f L$ છે.
$d.c.$ સ્ત્રોત માટે, આવૃત્તિ $f = 0$ હોય છે, તેથી ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_{dc} = 2 \pi (0) L = 0$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ, $a.c.$ રિએક્ટન્સ અને $d.c.$ રિએક્ટન્સનો ગુણોત્તર $\frac{X_L}{X_{dc}} = \frac{\omega L}{0} = \infty$ (અનંત) થાય.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ નું સૂત્ર: $X_C = \frac{1}{2\pi f C}$ છે.
આપેલ કિંમતો: $C = 10 \mu F = 10 \times 10^{-6} F = 10^{-5} F$ અને $X_C = 2 \times 10^{-3} \Omega$.
આવૃત્તિ $f$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $f = \frac{1}{2\pi X_C C}$.
કિંમતો મૂકતા: $f = \frac{1}{2 \times \pi \times (2 \times 10^{-3}) \times 10^{-5}}$.
$f = \frac{1}{4 \times \pi \times 10^{-8}} = \frac{10^8}{4\pi} = \frac{100 \times 10^6}{4\pi} = \frac{25}{\pi} \times 10^6$ Hz.
$10^6$ Hz = $1$ MHz હોવાથી, આવૃત્તિ $\frac{25}{\pi}$ MHz મળે છે.

(C) અલ્ટરનેટિંગ e.m.f. માટેનું આપેલ સમીકરણ $e = e_0 \sin \omega t$ છે.
આપણે તે સમય $t$ શોધવાનો છે જ્યારે e.m.f. $e$ તેના મહત્તમ મૂલ્ય $e_0$ ના અડધા થાય, એટલે કે $e = \frac{e_0}{2}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{e_0}{2} = e_0 \sin \omega t$.
આથી $\sin \omega t = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \theta = \frac{1}{2}$ ત્યારે થાય જ્યારે $\theta = \frac{\pi}{6}$ હોય.
તેથી, $\omega t = \frac{\pi}{6}$.
ચૂક $\omega = \frac{2\pi}{T}$ હોવાથી, આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $(\frac{2\pi}{T}) t = \frac{\pi}{6}$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{\pi}{6} \times \frac{T}{2\pi} = \frac{T}{12}$.

(D) $AC$ સર્કિટમાં વ્યય થતો સરેરાશ પાવર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P_{avg} = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$.
અહીં, $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$ અને $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$ છે.
વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો ફેઝ તફાવત $\phi = \frac{\pi}{3}$ (અથવા $60^{\circ}$) છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$P_{avg} = \left(\frac{V_0}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{I_0}{\sqrt{2}}\right) \cos 60^{\circ}$.
$P_{avg} = \frac{V_0 I_0}{2} \times 0.5$.
$P_{avg} = \frac{V_0 I_0}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{V_0 I_0}{4}$.

(B) જ્યારે એક અલ્ટરનેટિંગ કરંટ $(a.c.)$ સ્ત્રોતને શુદ્ધ કેપેસિટર સાથે જોડવામાં આવે છે, ત્યારે કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $(e_c)$ પ્રવાહ $(I_c)$ કરતા $90^{\circ}$ (અથવા $\pi/2$ રેડિયન) જેટલો કળામાં પાછળ રહે છે.
બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $90^{\circ}$ આગળ હોય છે.
ગાણિતિક રીતે, જો વોલ્ટેજ $e_c = E_0 \sin(\omega t)$ હોય, તો પ્રવાહ $I_c = I_0 \sin(\omega t + \pi/2)$ થાય છે.
ફેઝર ડાયાગ્રામમાં, જો વોલ્ટેજ વેક્ટર ધન $x$-અક્ષ પર હોય, તો પ્રવાહ વેક્ટર ધન $y$-અક્ષ પર હોય છે, જે $90^{\circ}$ નો તફાવત દર્શાવે છે.
તેથી, વિકલ્પ $B$ આ કળા સંબંધને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(C) પાતળા પ્રિઝમ માટે, લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta$ નું સૂત્ર છે: $\delta = (n - 1)A$, જ્યાં $n$ એ આસપાસના માધ્યમની સાપેક્ષ પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક છે અને $A$ એ પ્રિઝમ કોણ છે.
હવામાં, $\delta_1 = (^a n_g - 1)A = (\frac{3}{2} - 1)A = \frac{1}{2}A$.
જ્યારે પ્રિઝમને પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે છે, ત્યારે પ્રવાહીની સાપેક્ષ પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક $^l n_g = \frac{^a n_g}{^a n_l} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{9}{8}$ થાય છે.
નવો લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_2 = (^l n_g - 1)A = (\frac{9}{8} - 1)A = \frac{1}{8}A$.
$\delta_1$ અને $\delta_2$ ની સરખામણી કરતા: $\frac{\delta_2}{\delta_1} = \frac{1/8 A}{1/2 A} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
તેથી, $\delta_2 = \frac{1}{4} \delta_1$.

(B) સામાન્ય ગોઠવણમાં ખગોળીય ટેલિસ્કોપની મોટવણી $(m)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $m = -f_o / f_e$, જ્યાં $f_o$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે અને $f_e$ એ આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
મોટી મોટવણી $(m)$ મેળવવા માટે, અંશ $(f_o)$ મોટો હોવો જોઈએ અને છેદ $(f_e)$ નાનો હોવો જોઈએ.
તેથી, ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ મોટી હોવી જોઈએ.

(A) સાદા માઇક્રોસ્કોપની મોટવણી શક્તિ $(M)$ નું સૂત્ર $M = 1 + \frac{D}{f}$ છે, જ્યાં $D$ એ સ્પષ્ટ દ્રષ્ટિનું લઘુત્તમ અંતર છે અને $f$ એ બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
કોશીના સમીકરણ મુજબ, દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક $(\mu)$ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ પર આધાર રાખે છે: $\mu = A + \frac{B}{\lambda^2}$.
લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda_R)$ એ વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda_B)$ કરતા વધારે હોવાથી, લાલ પ્રકાશ માટેનો વક્રીભવનાંક $(\mu_R)$ એ વાદળી પ્રકાશના વક્રીભવનાંક $(\mu_B)$ કરતા ઓછો હોય છે.
લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $(f)$ અને વક્રીભવનાંક વચ્ચેનો સંબંધ: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
$\mu_R < \mu_B$ હોવાથી, લાલ પ્રકાશ માટેની કેન્દ્રલંબાઈ $(f_R)$ એ વાદળી પ્રકાશની કેન્દ્રલંબાઈ $(f_B)$ કરતા વધારે હોય છે.
સૂત્ર $M = 1 + \frac{D}{f}$ પરથી જોઈ શકાય છે કે $M$ એ $f$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
તેથી, જ્યારે પ્રકાશ વાદળીમાંથી લાલમાં બદલાય છે, ત્યારે કેન્દ્રલંબાઈ વધે છે, જેના કારણે મોટવણી શક્તિ ઘટે છે.

(A) ટેલિસ્કોપની વિભેદન શક્તિ (resolving power) એ બે પદાર્થો વચ્ચેના લઘુત્તમ કોણીય અંતરના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેને ટેલિસ્કોપ દ્વારા અલગ પાડી શકાય છે. કોણીય વિભેદન મર્યાદા $(\Delta \theta)$ માટેનું સૂત્ર $\Delta \theta = 1.22 \lambda / D$ છે, જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $D$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ અથવા અરીસાનો વ્યાસ (એપર્ચર) છે।
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $\Delta \theta \propto 1/D$.
જેમ એપર્ચર $D$ વધે છે, તેમ $\Delta \theta$ નું મૂલ્ય ઘટે છે, જેનો અર્થ છે કે ટેલિસ્કોપ એકબીજાની નજીક રહેલા બે પદાર્થોને અલગ પાડી શકે છે. તેથી, મોટું એપર્ચર વધારે રિઝોલ્યુશન પ્રદાન કરે છે.

(C) પાતળા પ્રિઝમ માટે, લઘુત્તમ વિચલનકોણ $\delta$ નું સૂત્ર: $\delta = (\mu - 1)A$ છે, જ્યાં $\mu$ એ આસપાસના માધ્યમની સાપેક્ષ પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક છે અને $A$ એ પ્રિઝમનો ખૂણો છે.
હવામાં, પ્રિઝમનો હવાની સાપેક્ષ વક્રીભવનાંક $\mu_a = \frac{\mu_g}{\mu_{air}} = \frac{3/2}{1} = 3/2$ છે.
તેથી, $\delta = (3/2 - 1)A = \frac{1}{2}A$.
જ્યારે પ્રિઝમને પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે, ત્યારે પાણીની સાપેક્ષ પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક $\mu_w = \frac{\mu_g}{\mu_w} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{9}{8}$ થાય છે.
નવો લઘુત્તમ વિચલનકોણ $\delta'$ આ મુજબ મળે: $\delta' = (\mu_w - 1)A = (9/8 - 1)A = \frac{1}{8}A$.
$\delta'$ અને $\delta$ ની સરખામણી કરતા: $\frac{\delta'}{\delta} = \frac{(1/8)A}{(1/2)A} = \frac{1}{4}$.
તેથી, $\delta' = \frac{\delta}{4}$.

(A) સમબાજુ પ્રિઝમ માટે, પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 60^{\circ}$ છે.
આપેલ વક્રીભવનાંક $\mu = \sqrt{2}$ છે.
બહાર નીકળતું કિરણ બીજી સપાટીને સ્પર્શીને જાય છે, એટલે કે નિર્ગમન કોણ $e = 90^{\circ}$ છે.
બીજી સપાટી પર, સ્નેલના નિયમ મુજબ: $\mu \sin r_2 = 1 \cdot \sin e$.
$\sqrt{2} \sin r_2 = \sin 90^{\circ} = 1 \implies \sin r_2 = 1/\sqrt{2} \implies r_2 = 45^{\circ}$.
$r_1 + r_2 = A$ હોવાથી, $r_1 + 45^{\circ} = 60^{\circ} \implies r_1 = 15^{\circ}$.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $1 \cdot \sin i = \mu \sin r_1$.
$\sin i = \sqrt{2} \sin 15^{\circ} \implies i = \sin^{-1} (\sqrt{2} \sin 15^{\circ})$.

(B) ધારો કે પ્રથમ સપાટી પરનો આપાતકોણ $i = 2A$ છે અને વક્રીભૂતકોણ $r_1$ છે.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમ મુજબ: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r_1} = \frac{\sin 2A}{\sin r_1}$.
પ્રિઝમ માટે, વક્રીભવનકારક કોણ $A = r_1 + r_2$ થાય.
પ્રકાશનું કિરણ બીજી સપાટી પર પરાવર્તન પામ્યા બાદ તે જ માર્ગે પાછું ફરે છે, તેનો અર્થ એ કે તે બીજી સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થાય છે.
તેથી, બીજી સપાટી પરનો આપાતકોણ $0$ છે, જેનો અર્થ છે કે વક્રીભૂતકોણ $r_2 = 0$ છે.
$r_2 = 0$ ને પ્રિઝમના સમીકરણમાં મૂકતા: $A = r_1 + 0$, તેથી $r_1 = A$.
હવે, $r_1 = A$ ને સ્નેલના નિયમના સમીકરણમાં મૂકતા: $\mu = \frac{\sin 2A}{\sin A}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin 2A = 2 \sin A \cos A$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે: $\mu = \frac{2 \sin A \cos A}{\sin A} = 2 \cos A$.
આમ, પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક $2 \cos A$ છે.

(C) પાતળા પ્રિઝમ માટે, લઘુત્તમ વિચલન કોણ $(\delta_m)$ નું સૂત્ર $\delta_m = (\mu - 1)A$ છે, જ્યાં $\mu$ વક્રીભવનાંક છે અને $A$ એ પ્રિઝમનો કોણ છે.
અહીં $\mu = 1.5$ આપેલ છે, તેથી $\delta_m = (1.5 - 1)A = 0.5A = \frac{A}{2}$ થાય.
પાતળા પ્રિઝમ માટે, વક્રીભવન કોણ $r$ અને પ્રિઝમ કોણ $A$ વચ્ચેનો સંબંધ $A = 2r$ છે (કારણ કે લઘુત્તમ વિચલન સ્થિતિમાં $r_1 = r_2 = r$ અને $A = r_1 + r_2$ હોય છે).
હવે, $A = 2r$ ને $\delta_m$ ના સૂત્રમાં મૂકતા, આપણને $\delta_m = \frac{2r}{2} = r$ મળે છે.
આમ, સાચો સંબંધ $\delta_m = r$ છે.

(B) જે ઘટનામાં લેન્સ બધા રંગોને એક જ બિંદુ પર કેન્દ્રિત કરવામાં નિષ્ફળ જાય છે તેને વર્ણવિપથન (chromatic aberration) કહેવામાં આવે છે.
આ ઘટના એટલા માટે થાય છે કારણ કે લેન્સના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક પ્રકાશની તરંગલંબાઇ સાથે બદલાય છે (વર્ણવિભાજન).
લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ વક્રીભવનાંક $n$ પર આધાર રાખતી હોવાથી, જુદા જુદા રંગો (જેની તરંગલંબાઇ અલગ હોય છે) નું વક્રીભવન અલગ-અલગ પ્રમાણમાં થાય છે, જેના કારણે તેઓ મુખ્ય અક્ષ પર અલગ-અલગ બિંદુઓ પર કેન્દ્રિત થાય છે.

(C) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{F} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે, $R_1 = R$ અને $R_2 = -R$ હોવાથી, $\frac{1}{F} = (\mu - 1) \left( \frac{2}{R} \right)$ થાય.
જ્યારે લેન્સને ઉભી ધરી પર કાપવામાં આવે છે, ત્યારે નવી સપાટીઓની વક્રતા ત્રિજ્યા મૂળ સપાટી જેવી જ રહે છે (નવા સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે $R_1 = R$ અને $R_2 = \infty$ થાય છે).
નવા ભાગ માટે લેન્સ મેકરનું સૂત્ર વાપરતા: $\frac{1}{F'} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{\mu - 1}{R}$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા, આપણને $\frac{1}{F'} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{F}$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $F' = 2F$.

(B) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (n_l - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
હવામાં $(n_a = 1)$: $\frac{1}{f_a} = (n_g - 1) K$, જ્યાં $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
આપેલ છે કે $f_a = 12 \text{ cm}$ અને $n_g = 1.6$, તેથી $\frac{1}{12} = (1.6 - 1) K = 0.6 K$, એટલે કે $K = \frac{1}{12 \times 0.6} = \frac{1}{7.2}$.
પાણીમાં $(n_w = 1.28)$: $\frac{1}{f_w} = (\frac{n_g}{n_w} - 1) K$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f_w} = (\frac{1.6}{1.28} - 1) \times \frac{1}{7.2} = (1.25 - 1) \times \frac{1}{7.2} = 0.25 \times \frac{1}{7.2} = \frac{1}{4 \times 7.2} = \frac{1}{28.8}$.
આમ, $f_w = 28.8 \text{ cm} = 288 \text{ mm}$.

(D) લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ, હવામાં ($1$ વક્રીભવનાંક) લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ '$f$' નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
જ્યારે લેન્સને '$\mu_0$' વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે, ત્યારે નવી કેન્દ્રલંબાઈ '$f_0$' નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{f_0} = \left( \frac{\mu}{\mu_0} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
$\frac{1}{f_0} = \left( \frac{\mu - \mu_0}{\mu_0} \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{f_0}{f} = \frac{(\mu - 1)}{\frac{\mu - \mu_0}{\mu_0}} = \frac{\mu_0(\mu - 1)}{\mu - \mu_0}$
તેથી, $f_0 = \frac{\mu_0(\mu - 1)f}{\mu - \mu_0}$.

(B) સંપર્કમાં રહેલા બે લેન્સના સંયોજનનો અસરકારક પાવર $P = P_1 + P_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $P_1 = +20$ $D$ અને $P_2 = -4$ $D$ આપેલ છે, તેથી અસરકારક પાવર $P = 20 - 4 = 16$ $D$ થાય.
સંયોજનની કેન્દ્રલંબાઈ $f = 1/P = 1/16$ m = $100/16$ cm = $6.25$ cm થાય.
સાદા માઇક્રોસ્કોપ માટે, મોટવણી $M = 1 + D/f$ દ્વારા મળે છે, જ્યાં $D = 25$ cm એ સ્પષ્ટ દ્રષ્ટિનું અંતર છે.
$M = 1 + 25/6.25 = 1 + 4 = 5$.
મોટવણી $M$ એ પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ $h_i$ અને વસ્તુની ઊંચાઈ $h_o$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે, એટલે કે $M = h_i / h_o$.
અહીં $h_o = 3$ mm = $0.3$ cm આપેલ છે, તેથી $h_i = M \times h_o = 5 \times 0.3$ cm = $1.5$ cm.
આમ, પ્રતિબિંબનું કદ $1.5$ cm છે.

(B) લેન્સનો પાવર $P = \frac{1}{f} = (\mu_l - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\mu_l$ એ આસપાસના માધ્યમની સાપેક્ષમાં લેન્સના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક છે.
હવામાં રહેલા બહિર્ગોળ લેન્સ માટે, $\mu_l = \frac{\mu_g}{\mu_a} = \frac{1.5}{1} = 1.5$. ત્રિજ્યાઓ $R_1 = 40 \text{ cm}$ અને $R_2 = -40 \text{ cm}$ છે.
$P_{air} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{40} - \frac{1}{-40} \right) = 0.5 \times \left( \frac{2}{40} \right) = 0.5 \times 0.05 = 0.025 \text{ cm}^{-1}$.
જ્યારે $\mu_m = 1.25$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે, ત્યારે સાપેક્ષ વક્રીભવનાંક $\mu_l' = \frac{\mu_g}{\mu_m} = \frac{1.5}{1.25} = 1.2$ થાય છે.
$P_{liquid} = (1.2 - 1) \left( \frac{1}{40} - \frac{1}{-40} \right) = 0.2 \times 0.05 = 0.01 \text{ cm}^{-1}$.
પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_{liquid}}{P_{air}} = \frac{0.01}{0.025} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$ થાય છે.

(B) ધારો કે હવા, પાણી અને કાચના વક્રીભવનાંક અનુક્રમે $n_a$, $n_w$ અને $n_g$ છે.
આપેલ છે:
$1$. હવાની સાપેક્ષે પાણીનો વક્રીભવનાંક: $x = \frac{n_w}{n_a}$
$2$. પાણીની સાપેક્ષે કાચનો વક્રીભવનાંક: $y = \frac{n_g}{n_w}$
$3$. કાચની સાપેક્ષે હવાનો વક્રીભવનાંક: $z = \frac{n_a}{n_g}$
આ ત્રણેય પદોનો ગુણાકાર કરતા:
$x \times y \times z = \left( \frac{n_w}{n_a} \right) \times \left( \frac{n_g}{n_w} \right) \times \left( \frac{n_a}{n_g} \right)$
$x \times y \times z = 1$
તેથી, સાચો સંબંધ $xyz = 1$ છે.

(B) સ્નેલના નિયમ મુજબ, $n_1 \sin(i) = n_2 \sin(r)$, જ્યાં $n_1$ અને $n_2$ એ બે માધ્યમોના વક્રીભવનાંક છે, $i$ એ આપાતકોણ છે અને $r$ એ વક્રીભવનકોણ છે.
માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $n$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ (અથવા રંગ) પર આધાર રાખે છે (જેને વિભાજનની ઘટના કહેવાય છે), તેથી અલગ-અલગ રંગો માટે $n$ નું મૂલ્ય બદલાય છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો, આપેલ માધ્યમ માટે, જાંબલી પ્રકાશ માટે વક્રીભવનાંક વધારે અને લાલ પ્રકાશ માટે ઓછો હોય છે.
તેથી, અચળ આપાતકોણ $i$ માટે, સમીકરણ $\sin(r) = \frac{n_1}{n_2} \sin(i)$ ને સંતોષવા માટે વક્રીભવનકોણ $r$ બદલાવો જોઈએ.
આમ, વક્રીભવનકોણ અલગ-અલગ રંગો માટે અલગ-અલગ હોય છે.

(A) સ્નેલના નિયમ મુજબ, $n_1 \sin(i) = n_2 \sin(r)$.
અહીં, $n_1 = 1$ (શૂન્યાવકાશ) અને $n_2 = n$ (માધ્યમ).
આપેલ છે કે, $i = 2r$, તેથી $r = i/2$.
આ કિંમતો સ્નેલના નિયમમાં મૂકતા: $1 \cdot \sin(i) = n \cdot \sin(i/2)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(i) = 2 \sin(i/2) \cos(i/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin(i/2) \cos(i/2) = n \sin(i/2)$.
અહીં $\sin(i/2) \neq 0$ હોવાથી, બંને બાજુથી તેને દૂર કરતા:
$2 \cos(i/2) = n$.
$\cos(i/2) = n/2$.
$i/2 = \cos^{-1} (n/2)$.
તેથી, $i = 2 \cos^{-1} (n/2)$.

(A) કાચના સ્લેબનો વક્રીભવનાંક $\mu$ એ હવામાં પ્રકાશની ઝડપ $(c)$ અને કાચમાં પ્રકાશની ઝડપ $(v)$ ના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\mu = \frac{c}{v} = \frac{3 \times 10^8 \text{ m/s}}{2 \times 10^8 \text{ m/s}} = 1.5$.
$t = 6.0 \text{ cm}$ જાડાઈ ધરાવતા કાચના સ્લેબ દ્વારા જોવામાં આવતા શાહીના ટપકાની આભાસી ઊંડાઈ $(d')$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$d' = \frac{t}{\mu} = \frac{6.0 \text{ cm}}{1.5} = 4.0 \text{ cm}$.
શાહીનું ટપકું જેટલા અંતરે ઉપર આવેલું દેખાય છે તે સ્થાનાંતર $(\Delta d)$ છે, જેની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$\Delta d = t - d' = 6.0 \text{ cm} - 4.0 \text{ cm} = 2.0 \text{ cm}$.
તેથી, શાહીનું ટપકું $2.0 \text{ cm}$ જેટલું ઉપર આવેલું દેખાશે.