Parabola Questions in Hindi

(D) माना परवलय $y^2 = 4x$ का शीर्ष $O(0, 0)$ है।
शीर्ष से गुजरने वाली जीवा का दूसरा सिरा $P(h, k)$ है।
चूंकि $P(h, k)$ परवलय पर स्थित है,इसलिए $k^2 = 4h$ है।
जीवा $OP$ का मध्यबिंदु $(a, b)$ है,अतः $a = \frac{0+h}{2} = \frac{h}{2}$ और $b = \frac{0+k}{2} = \frac{k}{2}$ होगा।
इसका अर्थ है $h = 2a$ और $k = 2b$ है।
इन मानों को परवलय के समीकरण $k^2 = 4h$ में रखने पर,$(2b)^2 = 4(2a)$ प्राप्त होता है।
$4b^2 = 8a$,जिसे सरल करने पर $b^2 = 2a$ या $2a = b^2$ प्राप्त होता है।

(A) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,$4a = 2/3$ है,जिसका अर्थ है $a = 1/6$।
दिए गए समांतर जीवाओं के निकाय $y + 2x + 1 = 0$ की ढाल $m = -2$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए $m$ ढाल वाली समांतर जीवाओं के व्यास का समीकरण $y = \frac{2a}{m}$ होता है।
$a = 1/6$ और $m = -2$ का मान रखने पर:
$y = \frac{2(1/6)}{-2} = \frac{1/3}{-2} = -1/6$।
अतः,व्यास का समीकरण $y = -1/6$ है।

(B) दी गई रेखा $x + y - 1 = 0$ है,जिसे $y = -x + 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। इसे ढाल-अंतःखंड रूप $y = mx + c$ से तुलना करने पर,हमें $m = -1$ और $c = 1$ प्राप्त होता है।
रेखा $y = mx + c$ के परवलय $y^2 = 4ax$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c = \frac{a}{m}$ है।
यहाँ,परवलय $y^2 = kx$ है,इसलिए $4a = k$,जिसका अर्थ है $a = \frac{k}{4}$।
शर्त $c = \frac{a}{m}$ में मान रखने पर:
$1 = \frac{k/4}{-1}$
$1 = -\frac{k}{4}$
$k = -4$.

(D) दी गई स्पर्शरेखा $y = x + 2$ है,जो $y = mx + c$ के रूप में है जहाँ $m = 1$ और $c = 2$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,$y = mx + c$ के स्पर्शरेखा होने की शर्त $c = a/m$ है।
यहाँ,$4a = 8$,इसलिए $a = 2$ है। शर्त की जाँच करने पर: $c = 2/1 = 2$,जो संतुष्ट होती है।
परवलय की दो परस्पर लंबवत स्पर्शरेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ उसकी नियता (directrix) होती है।
परवलय $y^2 = 8x$ की नियता $x = -a$ अर्थात $x = -2$ है।
हमें रेखा $y = x + 2$ पर वह बिंदु ज्ञात करना है जो नियता $x = -2$ पर भी स्थित हो।
रेखा के समीकरण में $x = -2$ रखने पर: $y = -2 + 2 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(-2, 0)$ है।

(C) परवलय $y^2 = 4ax$ के अभिलंब का समीकरण $y = mx - 2am - am^3$ होता है।
यहाँ $a = 1$ है और यह $(3, 0)$ बिंदु से गुजरता है।
मान रखने पर: $0 = 3m - 2(1)m - (1)m^3$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $0 = m - m^3$ या $m(1 - m^2) = 0$ मिलता है।
अतः $m = 0$ या $m = \pm 1$ है।
$m = 0$ के लिए,समीकरण $y = 0$ है।
$m = 1$ के लिए,समीकरण $y = x - 3$ है।
$m = -1$ के लिए,समीकरण $y = -x + 3$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$y = -x + 3$ सही विकल्प $C$ है।

(D) परवलय $y^2 = 4ax$ पर बिंदु $(a, 2a)$ के लिए प्राचल $t'$ है,जहाँ $2at' = 2a$,जिससे $t' = 1$ प्राप्त होता है।
अभिलंब जिस बिंदु पर खींचा जाता है उसका प्राचल $t'$ और जहाँ वह पुनः मिलता है उसका प्राचल $t$ के बीच संबंध $t = -t' - \frac{2}{t'}$ होता है।
$t' = 1$ रखने पर:
$t = -1 - \frac{2}{1} = -1 - 2 = -3$.

(B) किसी भी परवलय के लिए,नाभिलंब नियता के समानांतर एक रेखा होती है।
चूंकि नियता का समीकरण $2x - 3y + 1 = 0$ है,इसलिए नाभिलंब का समीकरण $2x - 3y + k = 0$ के रूप में होगा।
चूंकि नाभिलंब नाभि $(2, 1)$ से होकर गुजरती है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(2) - 3(1) + k = 0$
$4 - 3 + k = 0$
$1 + k = 0$
$k = -1$
अतः,नाभिलंब का समीकरण $2x - 3y - 1 = 0$ है।

(D) परवलय के नाभिलंब की लंबाई $= 2 \times$ नाभि से नियता पर डाले गए लंब की दूरी।
यहाँ नाभि $(2, 3)$ है और नियता $x - 4y + 3 = 0$ है।
लंबवत दूरी $d = \frac{|1(2) - 4(3) + 3|}{\sqrt{1^2 + (-4)^2}} = \frac{|2 - 12 + 3|}{\sqrt{1 + 16}} = \frac{|-7|}{\sqrt{17}} = \frac{7}{\sqrt{17}}$.
अतः,नाभिलंब की लंबाई $= 2 \times \frac{7}{\sqrt{17}} = \frac{14}{\sqrt{17}}$.

(C) परवलय का दिया गया समीकरण: $x^2 + 4x + 2y = 0$.
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x^2 + 4x + 4) = -2y + 4$.
$(x + 2)^2 = -2(y - 2)$.
इसे मानक रूप $(x - h)^2 = -4a(y - k)$ के साथ तुलना करने पर,$4a = 2$,अतः $a = 1/2$ प्राप्त होता है।
शीर्ष $(h, k) = (-2, 2)$ है।
नाभिलंब $y = k - a$ पर एक क्षैतिज रेखा है।
$y = 2 - 1/2 = 3/2$.
अतः,$2y = 3$.

(C) माना कि नाभि-जीवा का मध्य बिंदु $(h, k)$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए मध्य बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T = yk - 2a(x + h)$ और $S_1 = k^2 - 4ah$ है।
अतः,समीकरण $yk - 2a(x + h) = k^2 - 4ah$ है।
चूंकि यह जीवा नाभि $(a, 0)$ से होकर गुजरती है,हम समीकरण में $x = a$ और $y = 0$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$0(k) - 2a(a + h) = k^2 - 4ah$
$-2a^2 - 2ah = k^2 - 4ah$
$k^2 = 2ah - 2a^2$
$k^2 = 2a(h - a)$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $y^2 = 2a(x - a)$ प्राप्त होता है।

(A) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,बिंदु $(2, 4)$ उस पर स्थित है,इसलिए $4^2 = 4a(2) \implies 16 = 8a \implies a = 2$.
$(2, 4)$ की तुलना $(at^2, 2at)$ से करने पर,हमें $2t = 4 \implies t_1 = 2$ प्राप्त होता है।
$t_1$ पर अभिलंब परवलय को $t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1}$ पर काटता है।
$t_1 = 2$ रखने पर,$t_2 = -2 - \frac{2}{2} = -2 - 1 = -3$ प्राप्त होता है।
बिंदु के निर्देशांक $(at_2^2, 2at_2) = (2(-3)^2, 2(2)(-3)) = (2 \times 9, -12) = (18, -12)$ होंगे।

(A) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए मध्यबिंदु $(x_1, y_1)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ होता है।
यहाँ $y^2 = 6x$ है,इसलिए $4a = 6$,जिसका अर्थ है $a = 3/2$.
मध्यबिंदु $(x_1, y_1) = (-1, 1)$ है।
समीकरण $T = S_1$ के अनुसार: $yy_1 - 2a(x + x_1) = y_1^2 - 4ax_1$.
मान रखने पर: $y(1) - 2(3/2)(x - 1) = (1)^2 - 6(-1)$.
$y - 3(x - 1) = 1 + 6$.
$y - 3x + 3 = 7$.
$y - 3x = 4$.

(A) परवलय $y^2 = 4x$ के लिए,$a = 1$ है।
नाभिलंब के सिरे $(1, 2)$ और $(1, -2)$ हैं।
$y^2 = 4ax$ के लिए $T_1$ पर अभिलंब पुनः $T_2$ पर मिलता है,तो $T_2 = -T_1 - \frac{2}{T_1}$ होता है।
$T_1 = 1$ के लिए,$T_2 = -3$,बिंदु $(9, -6)$ प्राप्त होता है।
$T_1 = -1$ के लिए,$T_2 = 3$,बिंदु $(9, 6)$ प्राप्त होता है।
$PP' = \sqrt{(9-9)^2 + (6 - (-6))^2} = 12$ इकाई।
$A$ और $R$ दोनों सत्य हैं और $R$,$A$ की सही व्याख्या है।

(B) माना $S$ परवलय $y^2 = 4ax$ की नाभि है।
माना $T$,$P$ और $Q$ पर स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
परवलय के लिए,दो बिंदुओं $P$ और $Q$ पर स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु की नाभि $S$ से दूरी,$P$ और $Q$ की नाभि दूरियों के गुणोत्तर माध्य के बराबर होती है।
अतः,$ST^2 = SP \times SQ$।
यहाँ $SP = 4$ और $SQ = 9$ दिया गया है।
$ST^2 = 4 \times 9 = 36$।
इसलिए,$ST = \sqrt{36} = 6$।

(A) दिया गया समीकरण $(y - 1)^2 = 4(x + 1)$ है।
इसे मानक रूप $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ से तुलना करने पर,शीर्ष $(h, k) = (-1, 1)$ प्राप्त होता है और $4a = 4$,इसलिए $a = 1$ है।
परवलय $Y^2 = 4aX$ के नाभिलंब के सिरे $(a, 2a)$ और $(a, -2a)$ होते हैं।
यहाँ,$X = x - h = x + 1$ और $Y = y - k = y - 1$ है।
$a = 1$ रखने पर,$(X, Y)$ के रूप में सिरे $(1, 2)$ और $(1, -2)$ प्राप्त होते हैं।
अब,$(x, y)$ निर्देशांकों में वापस बदलने पर:
$(1, 2)$ के लिए: $x + 1 = 1 \implies x = 0$ और $y - 1 = 2 \implies y = 3$.
$(1, -2)$ के लिए: $x + 1 = 1 \implies x = 0$ और $y - 1 = -2 \implies y = -1$.
अतः,सिरे $(0, 3)$ और $(0, -1)$ हैं।

(A) परवलय $y^2 = 4ax$ के बिंदु $(at^2, 2at)$ पर अभिलंब का समीकरण $y + tx = 2at + at^3$ होता है।
यहाँ $4a = 4$ है,इसलिए $a = 1$ है।
अतः,$(t^2, 2t)$ पर अभिलंब $y + tx = 2t + t^3$ है।
दी गई रेखा $y = 2x + k$ से तुलना करने पर,$-t = 2$ अर्थात $t = -2$ प्राप्त होता है।
अब $k = 2t + t^3$ में $t = -2$ रखने पर,$k = 2(-2) + (-2)^3 = -4 - 8 = -12$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = -12$ और $t = -2$ है।

(B) परवलय $x^2 = 16y$ की किसी भी स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx - 4m^2$ के रूप में होता है,जहाँ $x^2 = 4ay$ में $a = 4$ है।
यदि यह रेखा परवलय $y^2 = 2x$ (जहाँ $a = 1/2$) की भी स्पर्शरेखा है,तो स्पर्शरेखा होने की शर्त $c = a/m$ संतुष्ट होनी चाहिए।
यहाँ,$c = -4m^2$ और $a = 1/2$ है,इसलिए $-4m^2 = (1/2)/m$.
इसे सरल करने पर $m^3 = -1/8$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $m = -1/2$.
$m = -1/2$ को स्पर्शरेखा के समीकरण में रखने पर: $y = (-1/2)x - 4(-1/2)^2$.
$y = -x/2 - 1$.
$2$ से गुणा करने पर,हमें $2y = -x - 2$ प्राप्त होता है,जिसे व्यवस्थित करने पर $x + 2y + 2 = 0$ मिलता है।

(B) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए बिंदु $t$ पर अभिलंब का समीकरण $y + tx = 2at + at^3$ होता है।
यहाँ $y^2 = 12x$ दिया गया है,इसलिए $4a = 12$ अर्थात $a = 3$ है।
अभिलंब का समीकरण $y + tx = 2(3)t + 3t^3$ अर्थात $y + tx = 6t + 3t^3$ होगा।
दिए गए अभिलंब $x + y = k$ के साथ तुलना करने पर,$x$ और $y$ के गुणांक समानुपाती हैं:
$\frac{t}{1} = \frac{1}{1} \implies t = 1$।
$t = 1$ का मान अचर पद में रखने पर:
$k = 6(1) + 3(1)^3 = 6 + 3 = 9$।

(A) परवलय $y^2 = 4ax$ के अभिलंब का समीकरण $y = mx - 2am - am^3$ होता है।
यदि यह शीर्ष $(0, 0)$ से $4a$ की दूरी पर अक्ष पर स्थित बिंदु $(4a, 0)$ से गुजरता है,तो:
$0 = m(4a) - 2am - am^3$
$0 = 2am - am^3$
चूंकि $a \neq 0$,इसलिए $2m - m^3 = 0$,जिसका अर्थ है $m(2 - m^2) = 0$।
अतः,प्रवणताएँ $m = 0$ और $m = \pm \sqrt{2}$ हैं।
इस प्रकार,प्रवणताएँ $-\sqrt{2}, 0, \sqrt{2}$ हैं,जो $A.P.$ में हैं।

(B) रेखा का समीकरण $y = -x + 1$ है,जो $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ $m = -1$ और $c = 1$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,रेखा $y = mx + c$ के अभिलंब होने की शर्त $c = -2am - am^3$ है।
$y^2 = kx$ की तुलना $y^2 = 4ax$ से करने पर,हमें $4a = k$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = k/4$।
$m = -1$ और $c = 1$ को शर्त में रखने पर:
$1 = -2(k/4)(-1) - (k/4)(-1)^3$
$1 = (k/2) + (k/4)$
$1 = (2k + k) / 4$
$1 = 3k / 4$
$k = 4/3$.

(C) शीर्ष से नियता की दूरी $a$ होती है।
दिए गए शीर्ष $(x_1, y_1) = (0, 0)$ और नियता $Ax + By + C = 0$ के लिए,दूरी $a$ इस प्रकार है:
$a = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
$a = \frac{|3(0) - 4(0) + 2|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{2}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{2}{5}$
नाभिलंब की लंबाई $4a$ होती है।
लंबाई $= 4 \times \frac{2}{5} = \frac{8}{5}$.

(A) परवलय $y^2 = 4x$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2y \frac{dy}{dx} = 4$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$। बिंदु $(16, 8)$ पर,ढाल $m_1 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ है।
परवलय $x^2 = 32y$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2x = 32 \frac{dy}{dx}$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{16}$। बिंदु $(16, 8)$ पर,ढाल $m_2 = \frac{16}{16} = 1$ है।
वक्रों के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = |\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tan \theta = |\frac{1 - 1/4}{1 + (1)(1/4)}| = |\frac{3/4}{5/4}| = \frac{3}{5}$।
अतः,$\theta = \tan^{-1}(3/5)$।

(A) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,$m$ ढाल वाली स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx + a/m$ होता है।
यहाँ,$y^2 = -4x$ है,इसलिए $4a = -4$,जिसका अर्थ है $a = -1$।
स्पर्शरेखा के समीकरण में $a = -1$ रखने पर,हमें $y = mx - 1/m$ प्राप्त होता है।
अतः,कथन $- 1$ सत्य है।
परवलय $y^2 = -4x$ के लिए,बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $yy_1 = -2(x + x_1)$ है।
$x$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए $y = 0$ रखने पर,$0 = -2(x + x_1)$,जिससे $x = -x_1$ प्राप्त होता है।
चूंकि परवलय $y^2 = -4x$ क्षेत्र $x \leq 0$ में स्थित है,परवलय पर किसी भी बिंदु का $x$-निर्देशांक ऋणात्मक या शून्य $(x_1 \leq 0)$ होता है।
इसलिए,$x$-अंतःखंड $x = -x_1$ ऋणेतर $(x \geq 0)$ है।
कथन $- 2$ सत्य है और यह कथन $- 1$ की सही व्याख्या करता है।

(D) परवलय का समीकरण $y^2 = 4x$ है।
दिए गए शीर्षों के $y-$ निर्देशांक $y_1 = 1, y_2 = 2$ और $y_3 = 4$ हैं।
चूंकि बिंदु परवलय पर स्थित हैं,इसलिए उनके $x-$ निर्देशांक $x = y^2/4$ होंगे।
अतः,शीर्ष $A(1/4, 1), B(1, 2)$ और $C(4, 4)$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
मान रखने पर:
क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} |\frac{1}{4}(2 - 4) + 1(4 - 1) + 4(1 - 2)|$
क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} |-\frac{1}{2} + 3 - 4| = \frac{3}{4}$

(D) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,बिंदु के निर्देशांक $(at^2, 2at)$ होते हैं।
$(2a, 2\sqrt{2}a)$ की तुलना $(at^2, 2at)$ से करने पर,$t^2 = 2$ प्राप्त होता है,अतः $t = \sqrt{2}$।
अभिलंब जीवा की लंबाई का सूत्र $L = \frac{4a}{m^2}(1+m^2)^{3/2}$ है,जहाँ $m = -t$ अभिलंब की ढाल है।
यहाँ $m = -\sqrt{2}$ रखने पर,
$L = \frac{4a}{(-\sqrt{2})^2}(1 + (-\sqrt{2})^2)^{3/2} = \frac{4a}{2}(1+2)^{3/2} = 2a(3)^{3/2} = 6\sqrt{3}a$.

(A) परवलय का समीकरण $y^2 = 4ax$ है। इसकी तुलना $y^2 = 4x$ से करने पर,हमें $a = 1$ प्राप्त होता है।
रेखा $y = mx + c$ के परवलय $y^2 = 4ax$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c = \frac{a}{m}$ है।
दी गई रेखा $y = mx + 1$ के लिए,$c = 1$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर: $1 = \frac{1}{m}$।
अतः,$m = 1$।

(C) परवलय का अक्ष नियता $x + y = 5$ के लंबवत है। अतः,अक्ष का समीकरण $x - y = k$ के रूप में है।
चूंकि अक्ष नाभि $(1, 0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $1 - 0 = k$,अर्थात $k = 1$ है। अक्ष का समीकरण $x - y = 1$ है।
अक्ष $x - y = 1$ और नियता $x + y = 5$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $Z$ है। दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2x = 6 \implies x = 3$। $x = 3$ को $x - y = 1$ में रखने पर,$y = 2$ प्राप्त होता है। अतः,$Z = (3, 2)$ है।
शीर्ष $V$,नाभि $S(1, 0)$ और बिंदु $Z(3, 2)$ का मध्य-बिंदु है।
$V = \left( \frac{1 + 3}{2}, \frac{0 + 2}{2} \right) = (2, 1)$।

(B) माना स्पर्श बिंदु $(x_1, y_1)$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ होता है।
यहाँ $4a = 4$ है,इसलिए $a = 1$ है। स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_1 = 2(x + x_1)$ है,जिसे $2x - yy_1 + 2x_1 = 0$ लिखा जा सकता है।
दी गई रेखा $4x - 7y + 10 = 0$ है।
दोनों समीकरणों के गुणांकों की तुलना करने पर:
$\frac{2}{4} = \frac{-y_1}{-7} = \frac{2x_1}{10}$
$\frac{2}{4} = \frac{y_1}{7}$ से,$y_1 = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$ प्राप्त होता है।
$\frac{2}{4} = \frac{2x_1}{10}$ से,$x_1 = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,स्पर्श बिंदु $\left( \frac{5}{2}, \frac{7}{2} \right)$ है।

(C) परवलय का दिया गया समीकरण $x^2 = -12y$ है।
इसे मानक रूप $x^2 = -4ay$ के साथ तुलना करने पर,हमें $4a = 12$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 3$।
इस परवलय की नाभि $(0, -a) = (0, -3)$ है।
नाभिलंब वह रेखा है जो नाभि से होकर गुजरती है और परवलय के अक्ष के लंबवत होती है।
चूंकि परवलय का अक्ष $y$-अक्ष है,इसलिए नाभिलंब एक क्षैतिज रेखा है जो $y = -a$ द्वारा दी जाती है।
अतः,नाभिलंब का समीकरण $y = -3$ है।

(B) परवलय का दिया गया समीकरण $x^2 - x - 8y + 19 = 0$ है।
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$x^2 - x + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 8y + 19 = 0$
$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} - 8y + 19 = 0$
$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 = 8y - 19 + \frac{1}{4}$
$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 = 8y - \frac{75}{4}$
$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 = 8\left(y - \frac{75}{32}\right)$
इसे मानक रूप $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ से तुलना करने पर,शीर्ष $(h, k) = \left(\frac{1}{2}, \frac{75}{32}\right)$ प्राप्त होता है।

(B) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,जहाँ $a = 1$,और बाहरी बिंदु $(x_1, y_1) = (-2, -1)$ है।
स्पर्श जीवा की लंबाई का सूत्र $L = \frac{1}{a} \sqrt{(y_1^2 - 4ax_1)(y_1^2 + 4a^2)}$ है।
मान रखने पर: $L = \frac{1}{1} \sqrt{((-1)^2 - 4(1)(-2))((-1)^2 + 4(1)^2)}$.
$L = \sqrt{(1 + 8)(1 + 4)} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$.

(B) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए बिंदु $(x_1, y_1)$ से खींची गई स्पर्श रेखाओं और उनके स्पर्श जीवा द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{Area} = \frac{(y_1^2 - 4ax_1)^{3/2}}{2a}$।
यहाँ परवलय $y^2 = 8x$ है,इसलिए $4a = 8$ अर्थात $a = 2$ है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (4, 6)$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\text{Area} = \frac{(6^2 - 4(2)(4))^{3/2}}{2(2)}$
$\text{Area} = \frac{(36 - 32)^{3/2}}{4}$
$\text{Area} = \frac{(4)^{3/2}}{4}$
$\text{Area} = \frac{8}{4} = 2$।

(B) परवलय $y^2 = 4x$ की किसी भी स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{1}{m}$ होता है।
चूंकि स्पर्श रेखा $(1, 4)$ से गुजरती है,इसलिए $4 = m(1) + \frac{1}{m}$।
$m$ से गुणा करने पर,$m^2 - 4m + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
माना दो स्पर्श रेखाओं की ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं। तब $m_1 + m_2 = 4$ और $m_1m_2 = 1$।
ढालों का अंतर $|m_1 - m_2| = \sqrt{(m_1 + m_2)^2 - 4m_1m_2} = \sqrt{4^2 - 4(1)} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ है।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{3}}{1 + 1} \right| = \sqrt{3}$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$।

(A) माना मूलबिंदु से गुजरने वाली रेखा $y = mx$ है।
यदि यह रेखा परवलय $y^2 = 4a(x - a)$ की स्पर्श रेखा है,तो $y = mx$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(mx)^2 = 4a(x - a)$
$m^2x^2 - 4ax + 4a^2 = 0$
स्पर्श रेखा होने के लिए,इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर (discriminant) शून्य होना चाहिए:
$D = (-4a)^2 - 4(m^2)(4a^2) = 0$
$16a^2 - 16a^2m^2 = 0$
$16a^2(1 - m^2) = 0$
चूंकि $a \neq 0$,इसलिए $m^2 = 1$,जिसका अर्थ है $m = 1$ या $m = -1$ है।
दो स्पर्श रेखाओं की ढाल $m_1 = 1$ और $m_2 = -1$ हैं।
चूंकि $m_1 \times m_2 = 1 \times (-1) = -1$,इसलिए स्पर्श रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,उनके बीच का कोण $90^o$ है।

(C) परवलय का दिया गया समीकरण $y^2 = kx - 8$ है,जिसे $y^2 = k(x - 8/k)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे मानक रूप $Y^2 = 4AX$ से तुलना करने पर,जहाँ $Y = y$ और $X = x - 8/k$,हमें $4A = k$ प्राप्त होता है,इसलिए $A = k/4$ है।
परवलय $Y^2 = 4AX$ की नियता $X + A = 0$ होती है।
$X$ और $A$ के मान रखने पर,हमें $(x - 8/k) + k/4 = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x = 8/k - k/4$ हो जाता है।
हमें दिया गया है कि नियता $x - 1 = 0$ है,अर्थात $x = 1$ है।
$x$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,$8/k - k/4 = 1$ प्राप्त होता है।
$4k$ से गुणा करने पर,$32 - k^2 = 4k$ प्राप्त होता है,जो द्विघात समीकरण $k^2 + 4k - 32 = 0$ में बदल जाता है।
गुणनखंड करने पर,$(k + 8)(k - 4) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$k$ के संभावित मान $k = -8$ या $k = 4$ हैं।

(B) परवलय का समीकरण $y^2 = 4ax$ है,जहाँ $a = 1$ है।
जीवा शीर्ष $(0, 0)$ से होकर गुजरती है और $x$-अक्ष के साथ $\theta = 45^{\circ}$ का कोण बनाती है।
जीवा की ढाल $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ है।
$(0, 0)$ से गुजरने वाली और $m = 1$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y = x$ है।
परवलय के समीकरण $y^2 = 4x$ में $y = x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 = 4x$
$x^2 - 4x = 0$
$x(x - 4) = 0$
अतः,$x = 0$ या $x = 4$ प्राप्त होता है।
यदि $x = 0$,तो $y = 0$। बिंदु $(0, 0)$ है।
यदि $x = 4$,तो $y = 4$। बिंदु $(4, 4)$ है।
जीवा की लंबाई $(0, 0)$ और $(4, 4)$ के बीच की दूरी है:
$L = \sqrt{(4 - 0)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$।

(C) माना परवलय का समीकरण $S(x, y) = y^2 - 8x = 0$ है।
बिंदु $(2, 5)$ की स्थिति ज्ञात करने के लिए,हम $S(2, 5)$ का मान निकालते हैं:
$S(2, 5) = (5)^2 - 8(2) = 25 - 16 = 9$.
चूंकि $S(2, 5) > 0$ है,इसलिए बिंदु $(2, 5)$ परवलय $y^2 = 8x$ के बाहर स्थित है।

(C) दिया गया परवलय $x^2 = 12y$ है। इसे $x^2 = 4ay$ से तुलना करने पर,$4a = 12$,अतः $a = 3$ प्राप्त होता है।
परवलय का शीर्ष $(0, 0)$ है।
नाभिलंब के अंतिम बिंदु $(2a, a)$ और $(-2a, a)$ अर्थात $(6, 3)$ और $(-6, 3)$ हैं।
शीर्ष $(0, 0)$ और बिंदुओं $(6, 3)$ तथा $(-6, 3)$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
यहाँ,आधार नाभिलंब की लंबाई है,जो $|6 - (-6)| = 12$ है।
ऊंचाई नाभिलंब का $y$-निर्देशांक है,जो $3$ है।
अतः,$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 12 \times 3 = 18$ वर्ग इकाई।

(D) दी गई रेखा का समीकरण $2x - 3y = k$ है,जिसे $x = \frac{3y + k}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे परवलय के समीकरण $y^2 = 6x$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^2 = 6 \left( \frac{3y + k}{2} \right)$
$y^2 = 3(3y + k)$
$y^2 - 9y - 3k = 0$।
चूंकि रेखा परवलय की स्पर्श रेखा है,इसलिए द्विघात समीकरण के मूल समान होने चाहिए,जिसका अर्थ है कि विविक्तकर $D = 0$ होगा।
$D = (-9)^2 - 4(1)(-3k) = 0$
$81 + 12k = 0$
$12k = -81$
$k = -\frac{81}{12} = -\frac{27}{4}$।

(D) परवलय के नाभिलंब और अक्ष का प्रतिच्छेदन बिंदु उसका नाभि (focus) होता है।
परवलय का दिया गया समीकरण: $y^2 - 4y - 2x - 8 = 0$ है।
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाकर समीकरण को फिर से लिखने पर:
$(y^2 - 4y + 4) - 4 - 2x - 8 = 0$
$(y - 2)^2 = 2x + 12$
$(y - 2)^2 = 2(x + 6)$
इसे मानक रूप $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ से तुलना करने पर:
$h = -6$,$k = 2$,और $4a = 2 \implies a = 1/2$ प्राप्त होता है।
परवलय की नाभि $(h + a, k)$ द्वारा दी जाती है।
नाभि $= (-6 + 1/2, 2) = (-11/2, 2)$।

(A) परवलय का समीकरण $y^2 = 16x$ है। इसे $y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,$4a = 16$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = 4$ है।
माना नाभिलंब जीवा के सिरों के निर्देशांक $(at_1^2, 2at_1)$ और $(at_2^2, 2at_2)$ हैं।
नाभिलंब जीवा के लिए,प्राचलों के बीच संबंध $t_1 t_2 = -1$ होता है।
दिया गया है कि एक सिरा $(1, -4)$ है,इसलिए $2at_1 = -4$ है।
$a = 4$ रखने पर,$2(4)t_1 = -4$ प्राप्त होता है,जिससे $t_1 = -1/2$ मिलता है।
चूंकि $t_1 t_2 = -1$ है,इसलिए $t_2 = -1 / t_1 = -1 / (-1/2) = 2$ है।
दूसरा सिरा $(at_2^2, 2at_2) = (4(2)^2, 2(4)(2)) = (4 \times 4, 16) = (16, 16)$ है।

(B) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,यहाँ $a = 1$ है। बिंदु $(4, 4)$ के लिए $at^2 = 4$ और $2at = 4$ लेने पर,$t_1 = 2$ प्राप्त होता है।
$t_1$ पर अभिलंब परवलय को $t_2$ बिंदु पर पुनः काटता है,जहाँ $t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1}$ होता है।
$t_1 = 2$ रखने पर,$t_2 = -2 - \frac{2}{2} = -2 - 1 = -3$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु के निर्देशांक $(at_2^2, 2at_2) = (1 \times (-3)^2, 2 \times 1 \times (-3)) = (9, -6)$ होंगे।

(A) परवलय का अक्ष $x$-अक्ष है,क्योंकि यह शीर्ष $(-3, 0)$ से गुजरता है और नियता $x + 5 = 0$ के लंबवत है।
मान लीजिए परवलय की नाभि $S(a, 0)$ है। शीर्ष $(-3, 0)$,नाभि $S(a, 0)$ और नियता पर स्थित बिंदु $Z(-5, 0)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु है।
$-3 = \frac{a - 5}{2}$
$-6 = a - 5$
$a = -1$
अतः,नाभि $S(-1, 0)$ है।
परवलय की परिभाषा का उपयोग करते हुए,परवलय पर स्थित किसी भी बिंदु $P(x, y)$ की नाभि से दूरी,नियता से दूरी के बराबर होती है:
$\sqrt{(x + 1)^2 + (y - 0)^2} = |x + 5|$
$(x + 1)^2 + y^2 = (x + 5)^2$
$x^2 + 2x + 1 + y^2 = x^2 + 10x + 25$
$y^2 = 8x + 24$
$y^2 = 8(x + 3)$

(A) स्पर्श रेखा की ढाल $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ है।
परवलय $y^2 = 4Ax$ के लिए,बिंदु $(At^2, 2At)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = 1/t$ होती है।
$y^2 = ax$ की तुलना $y^2 = 4Ax$ से करने पर,$4A = a$,इसलिए $A = a/4$ प्राप्त होता है।
चूंकि $m = 1/t = 1$,इसलिए $t = 1$ है।
स्पर्श बिंदु $(At^2, 2At) = (\frac{a}{4}(1)^2, 2(\frac{a}{4})(1)) = (\frac{a}{4}, \frac{a}{2})$ है।

(D) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,उस पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक $(at^2, 2at)$ द्वारा दिए जाते हैं।
यदि $t_1$ और $t_2$ नाभिलंब जीवा के सिरों के प्राचल (parameters) हैं,तो शर्त $t_1 t_2 = -1$ होती है।
यहाँ $t_1 = t$ दिया गया है,इसलिए दूसरे सिरे का प्राचल $t_2 = -\frac{1}{t}$ होगा।
प्राचलिक निर्देशांक $(at_2^2, 2at_2)$ में $t_2 = -\frac{1}{t}$ रखने पर:
$x = a\left(-\frac{1}{t}\right)^2 = \frac{a}{t^2}$
$y = 2a\left(-\frac{1}{t}\right) = -\frac{2a}{t}$
अतः,दूसरे सिरे के निर्देशांक $\left( \frac{a}{t^2}, -\frac{2a}{t} \right)$ होंगे।

(A) परवलय का दिया गया समीकरण $(y - 2)^2 = 12(x - 4)$ है।
इसे मानक रूप $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ से तुलना करने पर,हमें $h = 4$,$k = 2$ और $4a = 12$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 3$।
$(y - k)^2 = 4a(x - h)$ रूप के परवलय के लिए प्राचलिक समीकरण $x = h + at^2$ और $y = k + 2at$ होते हैं।
$h = 4$,$k = 2$ और $a = 3$ का मान रखने पर:
$x = 4 + 3t^2$
$y = 2 + 2(3)t = 2 + 6t$
अतः,प्राचलिक समीकरण $x = 4 + 3t^2$ और $y = 2 + 6t$ हैं।

(D) परवलय का दिया गया समीकरण $y^2 + 2y + x = 0$ है।
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर,हमें $(y^2 + 2y + 1) - 1 + x = 0$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $(y + 1)^2 = -(x - 1)$ हो जाता है।
इसे मानक रूप $(y - k)^2 = -4a(x - h)$ के साथ तुलना करने पर,शीर्ष $(h, k) = (1, -1)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x$-निर्देशांक धनात्मक है और $y$-निर्देशांक ऋणात्मक है,इसलिए शीर्ष $(1, -1)$ $IV$ चतुर्थांश में स्थित है।

(B) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{a}{m}$ होता है।
यहाँ,$4a = 9$,इसलिए $a = \frac{9}{4}$।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{9}{4m}$ है।
चूंकि यह स्पर्श रेखा बिंदु $(4, 10)$ से गुजरती है,इसलिए:
$10 = 4m + \frac{9}{4m}$
$4m$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$40m = 16m^2 + 9$
$16m^2 - 40m + 9 = 0$
$(4m - 1)(4m - 9) = 0$
अतः,$m = \frac{1}{4}$ या $m = \frac{9}{4}$।

(A) परवलय का दिया गया समीकरण: $9y^2 - 12y - 16x - 57 = 0$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $9y^2 - 12y = 16x + 57$.
$y$ पदों के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(3y)^2 - 2(3y)(2) + 2^2 = 16x + 57 + 4$.
$(3y - 2)^2 = 16x + 61$.
$9(y - 2/3)^2 = 16(x + 61/16)$.
$(y - 2/3)^2 = \frac{16}{9}(x + 61/16)$.
परवलय का अक्ष वर्ग के भीतर के रैखिक पद द्वारा दिया जाता है: $3y - 2 = 0$,जो सरल होकर $3y = 2$ हो जाता है।

(D) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए बिंदु $(x_1, y_1)$ से खींची गई स्पर्श जीवा का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ होता है।
यहाँ परवलय $y^2 = 4x$ दिया गया है,इसलिए $a = 1$ है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (2, 4)$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$y(4) = 2(1)(x + 2)$
$4y = 2(x + 2)$
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2y = x + 2$.